高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数8 三角函数的简单应用习题

1.8三角函数的简单应用

1.(多选)如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断不正确的是(　　)

A.该质点的振动周期为0.7 s

B.该质点的振幅为-5 cm

C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大

D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零

【解析】该质点的振动周期为T=2×(0.7-0.3)=0.8 s，故A是错误的;该质点的振幅为5 cm，故B是错误的;该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，所以C是错误的，D正确.

【答案】ABC

2.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y=Asin(ωt+φ)+2，则(　　)

A.ω=，A=3 B.ω=，A=3

C.ω=，A=5 D.ω=，A=5

【解析】因为y=Asin(ωx+φ)+2，最高点离平衡位置距离是3，

所以A=3.因为水轮每分钟旋转4圈，

所以转动一周为一个周期，

所以T=15秒，ω=.

故ω=，A=3.

【答案】B

3.动点A(x，y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s旋转一周，已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是(　　)

A.[0，1] B.[1，7]

C.[7，12] D.[0，1]和[7，12]

【解析】因为T=12，所以ω=，从而可设y关于t的函数为y=sin.

又t=0时，y=，所以φ=，

所以y=sin，

所以当2kπ-t+≤2kπ+(k∈Z)，

即12k-5≤t≤12k+1(k∈Z)时，函数单调递增.

因为0≤t≤12，

所以函数y的单调递增区间为[0，1]和[7，12].

【答案】D

4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(单位:cm)表示成时间t(单位:s)的函数，则d=　　　　　，其中t∈[0，60]. 

【解析】解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式，由题意易知A=10，当t=0时，d=0，得φ=0;当t=30时，d=10，可得ω=，所以d=10sin.

【答案】10sin

1.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220sin来表示.

求:(1)开始时的电压;

(2)电压值重复出现一次的时间间隔;

(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间.

解(1)当t=0 s时，E=220sin=110(V)，即开始时的电压为110 V.

(2)T==0.02 s，即电压值重复出现一次的时间间隔为0.02 s.

(3)电压的最大值为220 V，令100πt+，解得t=.即t= s时第一次取得这个最大值.

2.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=，此矩形沿地面上一直线滚动，在滚动过程中始终与地面垂直，设直线BC与地面所成的角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ).

求:(1)θ的取值范围;(2)f(θ)的解析式;

(3)f(θ)的值域.

解(1)观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为0，.

(2)如图，连接BD，已知AB=1，BC=，则∠DBC=，过D作地面的垂线，垂足为E，在Rt△BED中，∠DBE=θ+，DB=2，

所以f(θ)=2sinθ+0≤θ≤.

(3)由(2)知f(θ)=2sinθ+0≤θ≤，

所以≤θ+，

所以≤sinθ+≤1，

即f(θ)的值域为[1，2].

3.少林寺作为国家五A级旅游景区，每年都会接待大批游客.在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律:①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400;③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;

(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物?

解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|<π)，其中x=1，2，…，12.

根据①，可知这个函数的周期是12;

由②，可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)-f(2)=400，故该函数的振幅为200;

由③，可知f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)=100，所以f(8)=500.

根据上述分析可得=12，故ω=，A=200，B=500-200=300.

当x=2时，f(x)最小，当x=8时，f(x)最大，

故sin2×+φ=-1，且sin8×+φ=1.

又|φ|<π，故φ=-.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为f(x)=200sinx-+300(x=1，2，…，12).

(2)由条件，可知200sinx-+300≥400，

化简得sinx-≥，

即2kπ+x-≤2kπ+，k∈Z，

解得12k+6≤x≤12k+10，k∈Z.

因为x∈N+，且1≤x≤12，故x=6，7，8，9，10.

即客栈在6，7，8，9，10月份要准备400份以上的食物.