2021学年4.2 平面向量及运算的坐标表示习题

2.4.2　平面向量及运算的坐标表示

1.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，c=(3，4)，且c=λ1a+λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)

A.-2，1 B.1，-2

C.2，-1 D.-1，2

【解析】因为c=λ1a+λ2b，

所以(3，4)=λ1(1，2)+λ2(2，3).

所以解得λ1=-1，λ2=2.

【答案】D

2.(2020北京房山高一期末)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基{a，b}表示c，则(　　)

A.c=3a-2b

B.c=-3a+2b

C.c=-2a+3b

D.c=2a-3b

【解析】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，

则a=(1，1)，b=(-2，3)，c=(7，-3)，

设向量c=ma+nb，则解得

所以c=3a-2b.

【答案】A

3.已知点A(1，3)，B(4，-1)，则与同方向的单位向量是(　　)

A. B. 

C. D.

【解析】易得=(4-1，-1-3)=(3，-4)，所以与同方向的单位向量为(3，-4)=，故选A.

【答案】A

4.在下列向量组中，可以把向量a=(3，2)表示出来的是 (　　)

A.e1=(0，0)，e2=(1，2)

B.e1=(-1，2)，e2=(5，-2)

C.e1=(3，5)，e2=(6，10)

D.e1=(2，-3)，e2=(-2，3)

【解析】设a=k1e1+k2e2，

A选项，因为(3，2)=(k2，2k2)，所以无解.

B选项，因为(3，2)=(-k1+5k2，2k1-2k2)，

所以解得

故B中的e1，e2可把a表示出来.

同理，C，D选项同A选项，无解.

【答案】B

5.(2020山东临沂高一期中)已知点A(1，2)，B(3，x)，向量a=(2-x，-1)，∥a，则(　　)

A.x=3时与a方向相同

B.x=与a方向相同

C.x=3时与a方向相反

D.x=-与a方向相反

【解析】A(1，2)，B(3，x)，可得=(2，x-2)，

又a=(2-x，-1)，∥a，

可得(2-x)(x-2)=-2，解得x=2±，

当x=2+时，=(2，)与a=(-，-1)方向相反，当x=2-时，=(2，-)与a=(，-1)方向相同.

【答案】BD

6.(2020北京房山高一期末)已知点A(0，1)，B(2，5)，C(x，-3)，则向量的坐标是　　　　;若A，B，C三共点线，则实数x=　　　　. 

【解析】因为A(0，1)，B(2，5)，

所以=(2-0，5-1)=(2，4);

向量=(x-0，-3-1)=(x，-4)，

因为A，B，C三点共线，所以，

所以2×(-4)-4x=0，解得x=-2.

【答案】(2，4)　-2

7.设=(1，-2)，=(a，-1)，=(-b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则a+的值是　　　. 

【解析】因为A，B，C三点共线，所以共线，所以存在实数λ，使(a-1，1)=λ(-b-1，2)，所以解得λ=，a+.

【答案】

1.若{i，j}为正交基，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)

A.第一、二象限 B.第二、三象限

C.第三象限 D.第四象限

【解析】x2+x+1=x+2+>0，

x2-x+1=x-2+>0，

所以向量a对应的坐标位于第四象限.

【答案】D

2.设m=(a，b)，n=(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“?”为m?n=(ac-bd，ad+bc)，若已知p=(1，2)，p?q=(-4，-3)，则q等于(　　)

A.(-2，1) B.(2，1)

C.(2，-1) D.(-2，-1)

【解析】设q=(x，y)，由题设中运算法则，得

p?q=(x-2y，y+2x)=(-4，-3)，

即解得故q=(-2，1).

【答案】A

3.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，若表示向量4a，3b-2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于(　　)

A.(1，-1) B.(-1，1)

C.(-4，6) D.(4，-6)

【解析】因为4a，3b-2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a+3b-2a+c=0，故有c=-2a-3b=-2(1，-3)-3(-2，4)=(4，-6).

【答案】D

4.已知向量a=(1，3)，b=(m，2m-3)，平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μb(λ，μ∈R)，则实数m的取值范围是(　　)

A.(-∞，0)∪(0，+∞)

B.(-∞，3)

C.(-∞，-3)∪(-3，+∞)

D.[-3，3)

【解析】因为平面上任意向量c都可以用a，b唯一表示，所以a，b是平面向量的一组基，即a，b为不共线的非零向量，则3m≠2m-3，即m≠-3，故选C.

【答案】C

5.如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设=m=n，m，n∈R，则的值为　　　　　. 

【解析】设=a，=b，由题意知)=(a+b)，=nb-ma，a+b，由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得=λ，即nb-ma=λa+λb，从而消去λ，得=3.

【答案】3

6.如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标.

解(方法一)设=t=t(4，4)=(4t，4t)，

则=(4t，4t)-(4，0)=(4t-4，4t)，

=(2，6)-(4，0)=(-2，6).

由共线的条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0，

解得t=，所以=(4t，4t)=(3，3)，

所以点P的坐标为(3，3).

(方法二)设P(x，y)，则=(x，y)，

因为共线，=(4，4)，所以4x-4y=0. ①

又=(x-2，y-6)，

=(2，-6)，且向量共线，

所以-6(x-2)+2(6-y)=0. ②

解由①②组成的方程组，得x=3，y=3，

所以点P的坐标为(3，3).

7.已知向量u=(x，y)与向量v=(y，2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.

(1)证明:对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;

(2)设a=(1，1)，b=(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标;

(3)求使f(c)=(3，5)成立的向量c.

(1)证明设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2).

则f(mx1+nx2，my1+ny2)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2)，

又mf(a)=(my1，2my1-mx1)，nf(b)=(ny2，2ny2-nx2)，

所以mf(a)+nf(b)=(my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2)，

所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b).

(2)解f(a)=(1，1)，f(b)=(0，-1).

(3)解设向量c=(x3，y3)，则

解得所以c=(1，3).