北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用课时作业

4.2.3　三角函数的叠加及其应用

1.cos--sin-的值是(　　)

A. B.- C.0 D.

【解析】cos--sin-=cos+sinsin=sin.

【答案】A

2.函数f(x)=sin x-cosx+的值域为(　　)

A.[-2，2] B.[-]

C.[-1，1] D.-

【解析】f(x)=sin x-cosx+

=sin x-cos x+sin x=sin x-cos x

=sinx-，

所以函数f(x)的值域为[-].

【答案】B

3.已知f(x)=sinx+-cosx+，则f(1)+f(2)+…+f(2 020)的值为(　　)

A.2 B.

C.1 D.0

【解析】f(x)=sinx+-cosx+

=2sinx+-=2sinx，所以周期为6，且f(1)+f(2)+…+f(6)=0，

所以f(1)+f(2)+…+f(2 020)=f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=.

【答案】B

4.已知向量a=sinα+，1，b=4，4cos α-，若a⊥b，则sinα+等于(　　)

A.- B.-

C. D.

【解析】因为a⊥b，所以a·b=4sinα++4cos α-=2sin α+6cos α-=4sinα+-=0，所以sinα+=，sinα+=-sinα+=-.

【答案】B

5.在△ABC中，A=15°，则sin A-cos(B+C)的值为 (　　)

A. B.

C. D.2

【解析】因为A+B+C=π，所以B+C=π-A.

所以sin A-cos(B+C)=sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin(15°+30°)=.

【答案】C

6.(多选)关于函数f(x)=cos2x-+cos2x+，下列说法正确的是(　　)

A.函数f(x)的最大值是

B.函数f(x)是以π为最小正周期的周期函数

C.函数f(x)在区间上单调递增

D.函数f(x)在区间上单调递减

【解析】因为f(x)=cos2x-+cos2x+

=cos2x-+cos2x-+

=cos2x--sin2x-

=cos2x--sin2x-

=cos2x-=cos2x-.

所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为T==π，选项A，B正确;

由2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)，得

kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)，

所以函数f(x)在区间上单调递减，所以C错误，D正确.

【答案】ABD

7.化简:sincos=　. 

【解析】sincos

=

=×2

=

=sinsin.

【答案】sin

8.已知cosx-=-，则cos x+cosx-的值为　　　　. 

【解析】cos x+cosx-=cos x+cos x+sin x

=cos x+sin x=cos x+sin x

=cosx-=-1.

【答案】-1

9.已知函数f(x)=sinx++sinx-+acos x+b(a，b∈R，且均为常数)，

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若f(x)在区间-，0上单调递增，且恰好能够取到f(x)的最小值2，试求a，b的值.

解(1)f(x)=sinx++sinx-+acos x+b=2sin xcos +acos x+b=sin x+acos x+b=sin(x+φ)+b.所以，函数f(x)的最小正周期为2π.

(2)由(1)可知:

f(x)的最小值为-+b.

所以，-+b=2.

另外，由f(x)在区间-，0上单调递增.

可知，f(x)在区间-，0上的最小值为f-.

所以，f-=-+b=2.

解得a=-1，b=4.

1.已知cosα-+sin α=，则sinα+的值是 (　　)

A.- B. C.- D.

【解析】因为cosα-+sin α=，

所以cos α+sin α=.

所以cos α+sin α=.

所以sin+α=.

所以sinα+=-sin+α=-.

【答案】C

2.已知函数f(x)=sin(2ωx+φ)+cos(2ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，若f(x)的最小正周期为π，且f(-x)=-f(x)，则f(x)的解析式为(　　)

A.f(x)=-sin 2x B.f(x)=sin 2x

C.f(x)=-cos 2x D.f(x)=cos 2x

【解析】由三角函数的叠加公式可得f(x)=sin2ωx+φ+，因为f(x)的最小正周期为π，所以2|ω|==2，因为ω>0，所以ω=1，则f(x)=sin2x+φ+.

又因为f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，

所以φ+=kπ(k∈Z)，即φ=kπ-.

又因为0<φ<π，则令k=1，所以φ=，

所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.

【答案】A

3.已知sin x+cos x=2a-3，则a的取值范围是(　　)

A.≤a≤ B.a≤

C.a> D.-≤a≤-

【解析】因为sin x+cos x=2sinx+=2a-3，

所以sinx+=a-.所以-1≤a-≤1，

即≤a≤.

【答案】A

4.若动直线x=a与函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为(　　)

A.1 B. C. D.2

【解析】依题意得点M，N的坐标分别为(a，sin a)，(a，cos a)，

所以|MN|=|sin a-cos a|

=sin a·-cos a·

=sina-≤(a∈R).

所以|MN|max=.

【答案】B

5.(多选)设f(x)=asin 2x+bcos 2x，ab≠0，若f(x)≤对任意x∈R成立，则下列命题中正确的是 (　　)

A.f=0

B.

C.f(x)是非奇非偶函数

D.可能存在经过点(a，b)的直线与函数的图象不相交

【解析】依题意f(x)=sin(2x+θ)，由于f(x)≤对任意x∈R成立，

故x=是函数f(x)的对称轴，

所以2×+θ=kπ+，θ=kπ+.

所以f(x)=sin2x+kπ+

=±sin2x+.

因为f=±sin2×=0，所以A正确.

显然，所以B错误.

根据f(x)的解析式可知f(x)是非奇非偶函数，所以C正确.

要使经过点(a，b)的直线与函数f(x)没有交点，则此直线和x轴平行，且|b|>，两边平方得b2>a2+b2，这不可能，矛盾，所以不存在经过点(a，b)的直线与函数的图象不相交，所以D错误.故选AC.

【答案】AC

6.若方程12x2+πx-12π=0的两个根分别是α，β，则α+β=　　　　，cos αcos β-sin αcos β-cos αsin β-sin αsin β=　　　　. 

【解析】由题意知α+β=-.

所以cos α·cos β-sin α·cos β-cos αsin β-sin α·sin β=cos(α+β)-sin(α+β)

=2cos(α+β)-sin(α+β)

=2sin-(α+β)=2sin=2sin.

【答案】-

7.已知向量a=(，cos 2ωx)，b=(sin 2ωx，1)(ω>0)，令f(x)=a·b，且f(x)的周期为π.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若x∈0，时f(x)+m≤3，求实数m的取值范围.

解(1)f(x)=a·b=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin2ωx+，因为f(x)的周期为π，且ω>0，所以ω=1.

所以f(x)=2sin2x+.

(2)因为x∈0，，所以2x+∈.

所以sin2x+∈-，1，

所以f(x)∈[-1，2].

由f(x)+m≤3，得f(x)max+m≤3即可.

所以2+m≤3，所以m≤1.

8.已知函数f(x)=sin2x+-cos2x+.

(1)写出f(x)的单调区间;

(2)求f(x)在-上的值域.

解(1)f(x)=sin2x+-cos2x+

=2sin2x+-cos2x+

=2sin 2x.

由2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z)，

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

由2kπ+≤2x≤2kπ+π(k∈Z)，

得kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z).

所以f(x)的单调递增区间为kπ-，kπ+(k∈Z)，单调递减区间为kπ+，kπ+π(k∈Z).

(2)由(1)知f(x)=2sin 2x，因为-≤x≤，

所以-≤2x≤π.所以-≤2sin 2x≤2.

所以函数f(x)=sin2x+-cos2x+的值域为[-，2].