北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.1 导数的加法与减法法则综合训练题

2.4.1　导数的加法与减法法则~2.4.2　导数的乘法与除法法则

1.下列运算中正确的是(　　)

A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'

B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)'

C.'=

D.(cos x·sin x)'=(sin x)'cos x+(cos x)'cos x

【答案】A

【解析】(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'，故A正确;(sin x-2x2)'=(sin x)'-2(x2)'，故B错误;'=，故C错误;(cos x·sin x)'=(cos x)'sin x+cos x(sin x)'，故D错误.

2.函数f(x)=xcos x-sin x的导函数是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数，又不是偶函数

【答案】B

【解析】f'(x)=(xcos x)'-(sin x)'

=cos x-xsin x-cos x

=-xsin x.

令F(x)=-xsin x，x∈R，

则F(-x)=xsin(-x)=-xsin x=F(x)，

∴f'(x)是偶函数.

3.已知f(x)=cos sin -cos ，则f'= (　　)

A. B.1或-1 

C.0 D.-

【答案】A

【解析】∵f(x)=cossin -cos

=(sin x-cos x)-.

∴f'(x)=(cos x+sin x)=sinx+.

∴f'=sin.

4.已知函数f(x)=f'cos x+sin x，则f的值为　　　　. 

【答案】1

【解析】∵f'(x)=-f'sin x+cos x，

∴f'=-f'×，

解得f'=-1，

∴f(x)=(-1)cos x+sin x，∴f=1.

5.设f(5)=5，f'(5)=3，g(5)=4，g'(5)=1，若h(x)=，则h'(5)=　　　　. 

【答案】

【解析】由题意知f(5)=5，f'(5)=3，g(5)=4，g'(5)=1，

∵h'(x)=，

∴h'(5)=

=.

6.求下列函数的导数:

(1)f(x)=(1+sin x)(1-4x);

(2)f(x)=-2x(x≠-1).

解(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)·(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.

(2)f(x)=-2x=1--2x，

则f'(x)=-2xln 2(x≠-1).

7.设曲线f(x)=在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于(　　)

A.2 B. C.- D.-2

【答案】D

【解析】∵f(x)==1+，

∴f'(x)=-(x≠1)，

∴f'(3)=-.

∴-a×-=-1，即a=-2.

8.已知f(x)=x2+cos x，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)的图象是(　　)

【答案】A

【解析】函数f(x)=x2+cos x，f'(x)=-sin x，x∈R，f'(-x)=-sin(-x)=--sin x=-f'(x)，故f'(x)为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B，D，f'=-sin<0.故C不对，A正确.

9.若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为(　　)

A.(0，1) B.1，

C.，2 D.，+∞

【答案】D

【解析】y=x2在点(m，m2)(m≠0)处的切线斜率为2m，y=(a>0)在点n，en处的切线斜率为en，如果两个曲线存在公共切线，那么2m=en.又由斜率公式可得2m=，由此得到m=2n-2，则4n-4=en有解，所以函数y=4x-4与y=ex的图象有交点即可.当直线y=4x-4与函数y=ex的图象相切时，设切点为(s，t)，则es=4，且t=4s-4=es=4，得s=2，即有切点(2，4)，a=，故实数a的取值范围是，+∞.故选D.

10.(多选题)若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值可以是(　　)

A.1 B. C. D.-

【答案】AB

【解析】因为(0，0)在直线l上，当O(0，0)为f(x)的切点时，因为f'(0)=2，所以直线l的方程为y=2x，

又直线l与y=x2+a相切，

所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0，得a=1;

当O(0，0)不是f(x)的切点时，

设切点为(x0，-3+2x0)(x0≠0)，

则f'(x0)=3-6x0+2，

所以=3-6x0+2，

得x0=，所以f'=-，

所以直线l的方程为y=-x.

由得x2+x+a=0，

由题意得Δ=-4a=0，所以a=.

综上得a=1或a=.

11.(多选题)过点P(2，-6)作曲线f(x)=x3-3x的切线，则切线方程为(　　)

A.3x+y=0 B.24x-y-54=0

C.3x-y=0 D.24x-y+54=0

【答案】AB

【解析】设切点为(m，m3-3m)，

f(x)=x3-3x的导数为f'(x)=3x2-3，

则切线斜率k=3m2-3，

由点斜式方程可得切线方程为

y-m3+3m=(3m2-3)(x-m)，

将点P(2，-6)代入可得-6-m3+3m=(3m2-3)(2-m)，

解得m=0或m=3.

当m=0时，切线方程为3x+y=0;

当m=3时，切线方程为24x-y-54=0.

12.已知函数f(x)=xln x，若直线l过点(0，-1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为　　　　　. 

【答案】x-y-1=0

【解析】∵点(0，-1)不在曲线f(x)=xln x上，

∴设切点坐标为(x0，y0).

又f'(x)=1+ln x，

∴

解得x0=1，y0=0.

∴切点坐标为(1，0)，

∴f'(1)=1+ln 1=1.

∴直线l的方程为y=x-1，即x-y-1=0.

13.如图所示的图象中，有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R，a≠0)的导函数f'(x)的图象，则这个图象的序号是　　　，f(-1)=　　　　　　. 

【答案】③　-

【解析】∵f'(x)=x2+2ax+a2-1，

∴f'(x)的图象开口向上，排除图象②④;

又a≠0，∴f'(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故f'(x)的图象的序号为③.

由图象特征可知，f'(0)=0，

∴a2-1=0，且对称轴x=-a>0，

∴a=-1，∴f(x)=x3-x2+1，

则f(-1)=-.

14.求下列函数的导数:

(1)y=x·tan x;

(2)y=;

(3)y=;

(4)y=x-sincos.

解(1)y'=(x·tan x)'='

=

=

=.

(2)y'=

=.

(3)∵y==x2+x3+x4，

∴y'=(x2+x3+x4)'=2x+3x2+4x3.

(4)∵y=x-sincos=x-sin x，

∴y'='=x'-(sin x)'

=1-cos x.

15.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求f(x)的【解析】式.

解∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e=1.

又∵f(x)为偶函数，∴f(x)=f(-x).

故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.

∴b=0，d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.

∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2，∴切点坐标为(1，-1).∴a+c+1=-1.

∵f'(1)=4a+2c，∴4a+2c=1.

∴a=，c=-.

∴函数f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.

16.设函数f(x)=ax-，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.

(1)求f(x)的解析式;

(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

(1)解由7x-4y-12=0得y=x-3.当x=2时，y=，∴f(2)=， ①

又f'(x)=a+，f'(2)=， ②

由①②得

解得故f(x)=x-.

(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，

由f'(x)=1+知

曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

y-y0=1+(x-x0)，

即y-x0-=1+(x-x0).

令x=0得y=-，从而得切线与直线x=0的交点坐标为0，-.

令y=x得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0，2x0).

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为-·|2x0|=6.

故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.