高中数学2.1 等差数列的概念及其通项公式第1课时练习

1.2.1　等差数列的概念及其通项公式

第1课时　等差数列的概念及其通项公式

1.下列数列不是等差数列的是(　　)

A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16

C.，1， D.-3，-2，-1，1，2

答案D

2.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　)

A.30° B.60° C.90° D.120°

答案B

解析因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A+C=2B，又因为A+B+C=180°，所以3B=180°，从而B=60°.

3.若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列{an}是 (　　)

A.公差为1的等差数列

B.公差为的等差数列

C.公差为-的等差数列

D.不是等差数列

答案B

解析由3an+1=3an+1，得3an+1-3an=1，即an+1-an=，所以数列{an}是公差为的等差数列.

4.已知等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，则它的项数是(　　)

A.92 B.47 C.46 D.45

答案C

解析d=-1-1=-2，设-89为第n项，则-89=a1+(n-1)d=1+(n-1)·(-2)，∴n=46.

5.设数列{an}是公差为d的等差数列，若a2=4，a4=6，则d等于(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

答案D

解析∵a4-a2=a1+3d-(a1+d)=6-4=2.∴d=1.

6.若一个等差数列的前三项为a，2a-1，3-a，则这个数列的通项公式为　　　　　　　　. 

答案an=+1，n∈N+

解析∵a+(3-a)=2(2a-1)，∴a=.

∴这个等差数列的前三项依次为，

∴d=，an=+(n-1)×+1，n∈N+.

7.若5，x，y，z，21成等差数列，则x+y+z的值为　　　. 

答案39

解析∵5，x，y，z，21成等差数列，

∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项.

∴5+21=2y，∴y=13，x+z=2y=26，

∴x+y+z=39.

8.已知数列{an}满足a1=2，an+1=.

(1)数列是否为等差数列?请说明理由.

(2)求an.

解(1)数列是等差数列.理由如下:

∵a1=2，an+1=，

∴，∴，

即是首项为，公差为d=的等差数列.

(2)由(1)可知+(n-1)d=，

故an=.

9.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于 (　　)

A. B. C. D.

答案C

解析∵b是x，2x的等差中项，∴b=.又x是a，b的等差中项，∴2x=a+b，∴a=，∴.

10.在等差数列{an}中，a2=6，a5=15，若bn=a2n，则b15等于(　　)

A.30 B.45 C.90 D.186

答案C

解析设数列{an}的公差为d，则

解得∴an=3+3(n-1)=3n，bn=a2n=6n，∴b15=6×15=90.

11.在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则2a9-a10的值为(　　)

A.24 B.22 C.20 D.-8

答案A

解析设公差为d，∵a1+3a8+a15=120，∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120，∴5a8=120.∴a8=24.∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.

12.(2021江西鹰潭一模)图①是程阳永济桥，又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名.已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图②中阴影部分的面积为，则最外层六边形的周长为(　　)

A.30 B.42 C.48 D.54

答案C

解析设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为a1，a2，a3，a4成等差数列，

由题意得6(a1+a2+a3+a4)=156，即a1+a2+a3+a4=26，所以2a1+3d=13.

因为阴影部分的面积S=6××()=，所以2a1d+d2=11，

联立得

解得(不合题意，舍去)，

故a4=a1+3d=8，

所以最外层六边形的周长为48.

13.(多选题)等差数列{an}中，a1=1，公差d∈[1，2]，且a3+λa9+a15=15，则实数λ的可能取值为 (　　)

A.- B.- C.- D.-2

答案AB

解析∵a1=1，a3+λa9+a15=15，

∴1+2d+λ(1+8d)+1+14d=15，

整理得d=，

∵d∈[1，2]，∴

解得-≤λ≤-.

∴实数λ的可能取值为-，-.

14.(多选题)(2021江苏南通期末)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N+)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　)

A.1 B.3 C.5 D.7

答案ABD

解析由题意得a1=b1，a2=bk+2，a3=b2k+3，a4=b3k+4，…，∴等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且下标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，则an=b1+(n-1)(k+1)，∵b9是数列{an}的项，令1+(n-1)(k+1)=9，当n=2时，k=7，当n=3时，k=3，当n=5时，k=1，故k的值可能是1，3，7.

15.已知数列{an}中，a1=1，an-1-an=anan-1(n≥2，n∈N+)，则a10=　　　　. 

答案

解析易知an≠0，∵数列{an}满足an-1-an=anan-1(n≥2，n∈N+)，∴=1(n≥2，n∈N+)，故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，∴=1+9=10，∴a10=.

16.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是　　　　　. 

答案，3

解析设an=-24+(n-1)d，则解得<d≤3.

17.已知数列{an}满足an+1=，且a1=3(n∈N+).

(1)证明:数列是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明由

=

=，得，n∈N+，故数列是等差数列.

(2)解由(1)知+(n-1)×，所以an=，n∈N+.

18.已知等差数列{an}满足a3=5，a4+a6=18.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若对一切n∈N+，an≥λn恒成立，求λ的取值范围.

解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3=5，a4+a6=18，得

解得∴an=2n-1，n∈N+.

(2)由an≥λn恒成立，得2n-1≥λn恒成立，即λ≤2-对一切n∈N+恒成立，

当n=1时，2-取最小值1，∴λ≤1，即λ的取值范围是(-∞，1].