高中北师大版 (2019)2.1 导数的概念练习题

这是一份高中北师大版 (2019)2.1 导数的概念练习题，共6页。
2.2.1　导数的概念~2.2.2　导数的几何意义1.设函数f(x)可导，则等于 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　A.f'(1) B.3f'(1) C.f'(1) D.f'(3)【答案】A【解析】=f'(1).2.已知函数f(x)=，且f'(m)=-，则m的值等于(　　)A.±2 B.2 C.-2 D.-4【答案】A【解析】=-，则-=-，m2=4，解得m=±2.3.已知曲线y=f(x)=-x2-2上一点P1，-，则在点P处的切线的倾斜角为(　　)A.30° B.45° C.135° D.165°【答案】C【解析】∵点P1，-在曲线y=f(x)=-x2-2上，∴==-1-Δx，令Δx趋于0，则y=-x2-2在x=1处的导数为f'(1)=-1，即函数y=-x2-2在点P处的切线斜率为-1.又倾斜角的取值范围是[0°，180°)，∴在点P处的切线的倾斜角为135°.4.若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0，则(　　)A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在【答案】C【解析】由导数的几何意义，可得f'(x0)=-2<0.5.设曲线y=f(x)=ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直，则a等于(　　)A.2 B.- C. D.-1【答案】B【解析】由y=ax2，得Δy=a(2+Δx)2-22a=4aΔx+a(Δx)2，则=4a+aΔx，令Δx趋于0，∴f'(2)=4a.又y=ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直，∴4a=-，∴a=-.6.若点(0，1)在曲线f(x)=x2+ax+b上，且f'(0)=1，则a+b=　　　　　. 【答案】2【解析】∵f'(0)=(a+Δx)=a=1，又f(0)=1，即b=1，∴a+b=2.7.在曲线y=x2+2的图象上取一点(1，3)及附近一点(1+Δx，3+Δy)，则=　　　　　. 【答案】2【解析】∵=2+Δx，∴(2+Δx)=2.8.已知函数y=ax2+b在点(1，3)处的切线斜率为2，则=　　　　. 【答案】2【解析】由题意知a+b=3，又f'(1)==2a=2，则a=1，b=2，故=2.9.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+的图象在点(1，m)处的切线，则a+b=　　　　，m=　　　　　. 【答案】5　3【解析】由题意知m=a+2，1+m=b，因为f'(1)=a-=a-2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a-2，由a-2=-1，得a=1，m=3，b=4，a+b=5.10.求函数y=f(x)=x+在x=1处的导数.解，令Δx趋于0，可知y=x+在x=1处的导数为f'(1)=-1.11.求曲线f(x)=x2在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积.解由导数定义可得f'(1)=2，∴曲线f(x)=x2在点(1，1)处的切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1，则它与两坐标轴的交点分别为A(0，-1)，B，0，∴S△AOB=OA·OB=.12.已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程.解==Δx+3，令Δx趋于0，可知y=x2+x-2在x=1处的导数为f'(1)=3.设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点P(x0，+x0-2)，同理可得f'(x0)=2x0+1，则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).因为l1⊥l2，所以3(2x0+1)=-1，解得x0=-，所以直线l2的方程为3x+9y+22=0.13.已知=-2，则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　)A.-4 B.4 C.2 D.-2【答案】D【解析】根据题意，因为=-2，即f'(1)=-2，故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k=-2.故选D.14.如图，函数y=f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)+f'(2)等于(　　)A.-4 B.3 C.-2 D.1【答案】D【解析】由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线l与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则可知l:x+y=4，∴f(2)=2，f'(2)=-1，∴f(2)+f'(2)=1，故选D.15.若曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是(　　)A.(-∞，-1) B.(-1，1)C.(-∞，1) D.(1，+∞)【答案】C【解析】y=x+上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k=f'(x0)==1-=1-<1，即k<1.16.曲线y=f(x)=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1，则切线方程为(　　)A.y=9xB.y=9x-26C.y=9x+26D.y=9x+6或y=9x-26【答案】D【解析】设P(x0，-3+1)，===3+3x0Δx+(Δx)2-6x0-3Δx，令Δx趋于0，则f'(x0)=3-6x0=9，即-2x0-3=0，解得x0=-1或3.∴点P的坐标为(-1，-3)或(3，1).∴切线方程为y+3=9(x+1)或y-1=9(x-3)，即y=9x+6或y=9x-26.17.(多选题)下列各点中，在曲线y=f(x)=x3-2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)A.(0，0) B.(1，-1)C.(-1，1) D.(1，1)【答案】BC【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则==，令Δx趋于0，则f'(x0)=3-2=tan=1，所以x0=±1，当x0=1时，y0=-1，当x0=-1时，y0=1.故选BC.18.曲线f(x)=x3在点(1，1)处的切线与x轴，直线x=2所围成的三角形的面积为　　　　. 【答案】【解析】∵f'(1)==3，∴曲线f(x)=x3在点(1，1)处的切线方程为y-1=3(x-1)，即y=3x-2，则切线与x轴，直线x=2所围成的三角形面积为×2-×4=.19.若抛物线y=f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2，抛物线在点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为　　　　. 【答案】4【解析】==-5+Δx.令Δx趋于0，则函数y=x2-x+c在x=-2处的切线斜率为-5.∴切线方程为y=-5x.∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10，将P(-2，10)代入y=x2-x+c，得c=4.20.设P为曲线C:y=f(x)=x2+2x+3上一点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为0，，则点P的横坐标的取值范围为　　　　. 【答案】-1，-【解析】设点P的横坐标为x0，则===2x0+2+Δx，令Δx趋于0，则函数y=x2+2x+3在x=x0处的切线斜率为2x0+2，由题意，得0≤2x0+2≤1，∴-1≤x0≤-，∴点P的横坐标的取值范围为-1，-.21.在抛物线y=x2上哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0?哪一点处的切线垂直于这条直线?解y'=(2x+Δx)=2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x-y+1=0，则2x0=4，解得x0=2，所以y0==4，即P(2，4)，经检验，符合题意.设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x-y+1=0，则2x1=-，解得x1=-，所以y1=，即Q-，经检验，符合题意.故抛物线y=x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x-y+1=0，在点-处的切线垂直于直线4x-y+1=0.22.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0)，若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求a的值.解∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)3+a(x+Δx)2-9(x+Δx)-1-(x3+ax2-9x-1)=(3x2+2ax-9)Δx+(3x+a)(Δx)2+(Δx)3，∴=3x2+2ax-9+(3x+a)Δx+(Δx)2，∴f'(x)==3x2+2ax-9=3x+2-9-≥-9-.由题意知f'(x)最小值是-12，∴-9-=-12，a2=9，∵a<0，∴a=-3.