第02讲 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第2讲   充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

思维导图

知识梳理

1．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；

(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；

(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．

2．全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示：

形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．

3．存在量词与特称命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．

(2)特称命题：含有存在量词的命题．

(3)特称命题的符号表示：

形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．

核心素养分析

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

题型归纳

题型1    全称命题与特称命题

【例1-1】（2020•济南模拟）已知命题，，，则为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以：命题，，，则为，．

故选：．

【例1-2】（2020•河北区二模）命题“”的否定是　　

A．， B． 

C．， D．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．

【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为，；

故选：．

【跟踪训练1-1】（2020•重庆模拟）命题，的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，

所以，命题：“，”的否定为：，．

故选：．

【跟踪训练1-2】（2020•河北模拟）命题，的否定为　                   　．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．

【解答】解：命题是特称命题，

则命题的否定是，，

故答案为：，．

【名师指导】

全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

题型2    充分条件、必要条件的判定

【例2-1】 （2020•重庆模拟）“”是“直线和直线垂直”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】直接利用两直线垂直的充要条件的应用，四个条件的应用求出结果．

【解答】解：当时，直线转换为，直线转换为，所以两直线垂直．

当“直线和直线垂直”则：，解得或1，

故“”是“直线和直线垂直”的成分不必要条件．

故选：．

【例2-2】（2020•四川模拟）“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】由化弦为切求得，再由充分必要条件的判定得答案．

【解答】解：或，

即由不一定得到，反之，由一定得到．

“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

【跟踪训练2-1】（2020•滨海新区模拟）若直线，，平面满足，，则“”是“”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】在，的前提下，由不一定得到，反之成立，结合充分必要条件的判定方法得答案．

【解答】解：，，由不能得到，与还可能平行或是相交不垂直；

反之，由，一定得到．

若，，则“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020•盐城四模）“”是“函数的图象关于点，对称”的

　           　条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）．

【分析】把代入函数，求出可知充分；反之，由求得，，说明不必要．

【解答】解：若，则函数，此时，可得函数的图象关于点，对称；

反之，若函数的图象关于点，对称，则，

即，，则，．

“”是“函数的图象关于点，对称”的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

【名师指导】

判断充分、必要条件的2种方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

题型3    充分条件、必要条件的应用

【例3-1】（2020春•河南月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是　　      ．

【分析】，解得或，可得，根据是的必要不充分条件，即可得出．

【解答】解：，或，

，

又，是的必要不充分条件，

据题意，得，解得．

故答案为：，．

【例3-2】（2019秋•高安市校级期末）已知，，

（1）若是的充分条件，但不是的必要条件，求实数的取值范围．

（2）是的充分不必要条件，求的范围．

【分析】若成立，则；若成立，则．

（1）根据是的充分不必要条件，可得，是，的真子集，即可得出．

（2）由是的充分不必条件，可得是的充分不必要条件，即可得出．

【解答】解：若成立，则；若成立，则．

（1）是的充分不必要条件，，是，的真子集，

（等号不同时成立），解得．故实数的取值范围为．

（2）是的充分不必条件，是的充分不必要条件，

，解得：．

故实数的取值范围为．

【跟踪训练3-1】（多选）（2019秋•聊城期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是　　

A． B． C．1 D．4

【分析】分别解出” ”，“ ”，根据”是“”的充分不必要条件，即可得出．

【解答】解：“” ．

“” ，或．

“”是“”的充分不必要条件，

，或，解得：，或，

则实数可以是．

故选：．

【跟踪训练3-2】（2020•松江区二模）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．或

【分析】，化为：，解得：范围．根据成立的一个充分不必要条件是，即可得出．

【解答】解：，化为：，解得：．

成立的一个充分不必要条件是，

，等号不能同时成立，解得．

则实数的取值范围是．

故选：．

【跟踪训练3-3】（2019秋•菏泽期末）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

已知集合，，．

（1）求集合，；

（2）若是成立的　        　条件，判断实数是否存在？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【分析】（1）根据不等式的解法分别求出不等式的解集即可．

（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可．

【解答】解：（1）由得，故集合，

由得，，

因为，故集合．

（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是，．

若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是，．

若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，

则有，方程组无解．

所以，不存在满足条件的实数．

故答案为：若是成立的充分不必要条件，则，

若是成立的必要不充分条件，则，

若是成立的充要条件，则不存在.

【名师指导】

根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．