第04讲 基本不等式 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第4讲   基本不等式

思维导图

知识梳理

1．基本不等式≤

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.

2．算术平均数与几何平均数

设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

核心素养分析

理解基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.

题型归纳

题型1    利用基本不等式求最值

【例1-1】（2019·济南模拟）（1）已知，求的最大值；

（2）已知，是正实数，且，求的最小值．

【分析】（1）由题意可得，然后结合基本不等式即可求解；

（2）由题意可得，然后结合基本不等式可求．

【解答】解：（1）因为，则，

当且仅当即时取等号，此时取得最大值；

（2），是正实数，且，

则，

当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值．

【例1-2】（2019·辽宁模拟）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．

【分析】利用消元法消元，再利用基本不等式.

【解答】　法一：(换元消元法)由已知得x＋3y＝9－xy，

因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，

所以3xy≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.

令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，

得t≥6，即x＋3y的最小值为6.

法二：(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，

得x＝，

所以x＋3y＝＋3y＝

＝＝

＝3(1＋y)＋－6≥2 －6

＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6.

【例1-3】（2019·合肥调研）已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________．

【解答】　由a>b>0，得a－b>0，

∴b(a－b)≤2＝.

∴a2＋≥a2＋≥2 ＝4，

当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．

∴a2＋的最小值为4.

【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期中）已知，则的最小值为　  　．

【分析】由题意可得，，然后利用基本不等式即可求解．

【解答】解：因为，所以，

则，

当且仅当即时取等号，

故答案为：7．

【跟踪训练1-2】（2020•韶关二模）已知，，且，则的最小值是　　

A．7 B．8 C．9 D．10

【分析】根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，若，，且，

则，

当且仅当时，等号成立，

故的最小值是9；

故选：．

【名师指导】

1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点

拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；

(2)把确定的定值(常数)变形为1；

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；

(4)利用基本不等式求解最值．

3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略

当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．

4.两次利用基本不等式求最值的注意点

当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．

题型2    利用基本不等式解决实际问题

【例2-1】（2019秋•罗田县期中）小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，设甲地到乙地的距离为，分析可得用、表示，结合基本不等式的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，设甲地到乙地的距离为，

又由从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，则小王一共用了，

则，

又由，则，则，

又由，则有，

故选：．

【例2-2】（2019春•南昌县校级月考）某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份　　

A．甲食堂的营业额较高 

B．乙食堂的营业额较高 

C．甲乙两食堂的营业额相同 

D．不能确定甲，乙哪个食堂的营业额较高

【分析】首先利用题意得出两个食堂的营业额为等差和等比数列，进一步利用不等式的关系式求出结果．

【解答】解：设甲乙两食堂1月份的营业额均为，甲乙两食堂9月份的营业额均为，

由题意可得，甲食堂的营业额构成等差数列，乙食堂的营业额构成等比数列，

则5月份甲食堂的营业额，

乙食堂的营业额，

因为，所以由基本不等式，

故本年5月份甲食堂的营业额较高．

故选：．

【跟踪训练2-1】（2019秋•金安区校级月考）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为元斤、元斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠）　 　（在横线上填甲或乙即可）．

【分析】求出甲乙的平均单价，得出结论．

【解答】解：甲购买产品的平均单价为：，

乙购买产品的平均单价为：，

由算术平均数调和平均数，

故答案为：乙．又两次购买的单价不同，

，乙的购买方式的平均单价较小．

故答案为：乙．

【名师指导】

有关函数最值的实际问题的解题技巧

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．

(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．

(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

题型3    基本不等式的综合应用

【例3-1】（2020春•吉林月考）在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【分析】由已知结合向量共线定理可得，然后利用基本不等式可求．

【解答】解：因为为线段上的一点，且，

根据共线定理可知，，因为，，

所以，

则，

当且仅当且时取等号，

故选：．

【例3-2】（2020春•广陵区校级期中）已知直线过圆的圆心，则的最小值为　　

A．3 B． C．6 D．

【分析】直线过圆的圆心，可得．再利用“乘1法”及其基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：直线过圆的圆心，

，即．

则，当且仅当时成立．

故选：．

【例3-3】（2020•山东模拟）若，，则实数的取值范围为　     　．

【分析】由已知不等式恒成立转化为求解最值，结合基本不等式即可求解．

【解答】解：因为，则，当且仅当即时取等号，

因为，

所以，

故答案为：，

【跟踪训练3-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知向量，且向量与向量平行，则的最大值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】先由向量平行的坐标表示可得，，然后结合基本不等式可求．

【解答】解：由题意可得，，

所以，当且仅当时取等号，

解可得，，

故的最大值为：2

故选：．

【跟踪训练3-2】（2020•淮南一模）已知函数，满足，均为正实数），则的最小值为　    　

【分析】由已知可得，即可得到，再由基本不等式即可求解．

【解答】解：由，可得，

因为，，

所以，即有，

则，

当且仅当，时取等号，此时取得最大值，

故答案为：

【名师指导】

利用基本不等式解题的策略

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．