第23讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第23讲   函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用（讲）

思维导图

知识梳理

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

五点法作图的步骤

用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.

3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

题型归纳

题型1    “五点法”作图及图象变换

【例1-1】（2020春•兴宁区校级月考）（1）利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图．

列表：

作图：

（2）并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的．

（3）求函数图象的对称轴方程．

【分析】（1）按照“五点法”画出函数图象的步骤：列表、描点、连线，画图即可；

（2）经过平移变换和伸缩变换即可得到函数的图象．

（3）由，，即可解得函数的对称轴方程．

【解答】解：（1）先列表，后描点并画图

（2）把的图象上所有的点向左平移个单位，再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，即的图象；

（3）由，可得，，

所以函数的对称轴方程是，．

【例1-2】（2020春•安徽期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 

C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：把函数的图象向左平移1个单位长度，

可得函数的图象的图象，

故选：．

【跟踪训练1-1】（2020春•云南期末）函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个可能取值是　　

A．2 B． C． D．

【分析】由题意根据函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．

【解答】解：把函数的图象向左平移个单位长度，

可得的图象，

根据所得图象关于轴对称，

可得，，

则的一个可能取值为，

故选：．

【跟踪训练1-2】（2020春•广州期末）已知函数，，将的图象经过下列哪种变换可以与的图象重合　　

A．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的 

B．向左平移个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的 

C．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍 

D．向左平移个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍

【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，再将函数上各点的横坐标缩短为原来的，得到的图象．

故选：．

【跟踪训练1-3】（2019秋•道里区校级期末）已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期并用五点作图法画出函数在区间，上的图象；

（Ⅱ）若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的解析式，并求当时，函数的最小值及此时的值．

【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用五点法作图，画出函数在，上的图象．

（Ⅱ）利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，即可得解．

【解答】解：（Ⅰ），

函数的最小正周期，

在，上，，，

列表如下：

函数在区间，上的图象是：

作图如下：

．

（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，

由于时，，，

故当时，即时，函数取得最小值为．

【名师指导】

(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．

(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．

(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．　

题型2    求函数y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式

【例2-1】（2020•新乡二模）如图，，是函数，，的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的一个最高点，若是等腰直角三角形，则函数的解析式是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据最高点求出的值，然后再结合是等腰直角三角形，求出，也就是周期，从而求出的值，最后利用“对应思想”求出的值．

【解答】解：由题意可得，因为是等腰直角三角形，

所以，所以，则，故．

将代入的解析式得，解得，

因为，所以，则．

故选：．

【例2-2】（2020春•大连期末）已知函数（其中，，，均为常数，，的部分图象如图所示，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】由函数的部分图象知，，解得，可求周期，利用周期公式可求，分类讨论，当时，由，可得，，结合，此时取不到符合题意的值；当时，由，解得，；结合，可得时，，即可得解．

【解答】解：由函数的部分图象知，

，解得；

又，解得；

所以；

（1）当时，函数的解析式为，

又，

，，；

解得，；

又，此时取不到符合题意的值；

（2）当时，函数的解析式为，

又，

，，；

解得，；

又，

可得时，，

综上，的值为．

故选：．

【跟踪训练2-1】（2020春•新余期末）已知函数，，的部分图象如图所示，则　　

A． B．1 C． D．

【分析】由函数的部分图象求得、、和的值，即可写出，进而根据特殊角的三角函数值即可求解．

【解答】解：由函数的部分图象知，

，，解得，

；

又，

可得，，解得，，

，

可得，

，

．

故选：．

【跟踪训练2-2】（（2020•深圳一模）函数，，的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后，所得到的图象对应的函数为　　

A． B． 

C． D．

【分析】直接利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步利用图象的变换的应用求出结果．

【解答】解：根据函数的图象：，，

所以．

当时，函数取得最小值，

故，解得，，

当时，．

故，

所以把的图象向右平移个单位得到，

故选：．

【跟踪训练2-3】（（2020春•日照期末）已知函数，的图象如图所示，则　 　，　　．

【分析】由三角函数的图象先求出周期，进而求出的值为3，将，代入，注意在处函数单调递增，所以，再由的取值范围可得的值，求出函数的解析式，进而求出的值．

【解答】解：由函数的图象可得，可得，可得，

因为，由图可知，，，可得，

所以，

所以，

所以答案分别为：3，0．

【名师指导】

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.

(3)求φ，常用方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.　

题型3    三角函数图象与性质的综合问题

【例3-1】（2020春•泸州期末）关于函数，给出下列命题：

（1）函数在，上是增函数；

（2）函数的图象关于点，对称；

（3）为得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】（1），由，时，可得，由的单调性即可判断；

（2），由可得，，即可判断；

（3），根据函数的图象平行移动规则即可判断．

【解答】解：对于（1），，时，，在，上不是增函数，故错；

对于（2），由可得，，可得函数的图象关于点，对称，故正确；

对于（3），函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度可得，故正确；

故选：．

【例3-2】（2019秋•武汉期末）下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心距离水面1米，已知水轮自点开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点距水面的高度（米）（在水平面下为负数）与时间（秒）满足函数关系式，则函数关系式为　　                    ．

【分析】由题意求出、、和的值，即可写出函数关系式．

【解答】解：由题意知水轮的半径为2，水轮圆心距离水面1，所以；

又水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈需要15秒，

所以，解得；

由顺时针旋转时，，

解得，

又，所以；

所以函数关系式为．

故答案为：．

【例3-3】（2020•全国Ⅰ卷模拟）设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值4，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，则函数零点的个数为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】由题知，由得出对称中心及对称轴，得出，再得出解析式，再由变换得出，再分别画出与图象，即可得出结论．

【解答】解：，

所以，即，

又，所以为对称轴；且，则为的一个对称中心，

由于，所以与为同一个周期里相邻的对称轴和对称中心，

则，，又，且，

解得，故，

由图象变换得，

在处的切线斜率为，

又在处的切线斜率不存在，即切线方程为，

所以右侧图象较缓，如图所示：

同时时，，

所以的零点有7个，

故选：．

【跟踪训练3-1】（2020春•赤峰期末）点，是函数，的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（   ）

A．的最小正周期是 B．的值为2 

C．的初相为 D．在，上单调递增

【分析】点，是函数的图象的一个对称中心，根据函数对称性可得，，又点到该图象的对称轴的距离的最小值，即，利用周期公式可求的值，可求函数解析式，利用正弦函数的性质即可求解．

【解答】解：因为点，是函数，的图象的一个对称中心，

根据函数对称性可得，，，

又点到该图象的对称轴的距离的最小值为，即，

所以，可得，

所以，

把已知点，代入可得，可得，，可得，，

由已知，可得，

所以，

：函数的最小正周期为，故错误；

的值为3，故错误；

：函数的初相为：，故错误；

：令，，，可得，，，

可得在，上单调递增，故正确．

故选：．

【跟踪训练3-2】（2020•合肥模拟）函数，，的部分图象如图所示，则下列说法错误的是　　

A．函数的最小正周期为 

B．直线为函数的一条对称轴 

C．点为函数的一个对称中心 

D．函数的图象向右平移个单位后得到的图象

【分析】由题意利用由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：函数，，的部分图象，

可得，，，最小正周期为，故正确．

再根据五点法作图，可得，，

故函数．

令，求得，为最小值，故直线为函数的一条对称轴，故正确．

令，求得，故点为函数的一个对称中心，故正确．

把函数的图象向右平移个单位后得到的图象，故不正确，

故选：．

【跟踪训练3-3】（2020•黄山二模）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单增，则实数的范围是　　        ．

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，求得实数的范围．

【解答】解：将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，

若函数在区间和上均单调递增，

则在区间和上均单调递减，

在区间上，，，

在上，，，

，，且，，

求得，

故答案为：，．

【跟踪训练3-4】（2019秋•武汉期末）某游乐场中半径为30米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每5分钟转一圈，其最低点离底面5米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米随时间（秒变化的关系式为　　

A． B． 

C． D．

【分析】设，由题意可得，，，为最低点，代入可得．

【解答】解：设，

由题意可得，，，为最低点，

代入可得，，

，时，，

，

故选：．

【跟踪训练3-5】（2020•新建区校级模拟）水车是一种利用水流动力进行灌溉的工具，是人类一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个水车的示意图，已知水车逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒，半径为3米，水车中心（即圆心）距水面1.5米若．以水面为轴，圆心到水面的垂线为轴建立直角坐标系，水车的一个水斗从出水面点处开始计时，经过秒后转到点的位置，则点到水面的距离与时间的函数关系式为　　

A． B． 

C． D．

【分析】由题意，过向轴作垂线，垂足为，则，可得，由题意可求水车的角速度，可得，可得，在中，求得，即可得解．

【解答】解：由题意，如图，过向轴作垂线，垂足为，

则，

，，可得，

水车的角速度，

由题意可得，，可得，

在中，，

点到水面的距离．

故选：．

【跟踪训练3-6】（2020春•浙江期末）已知函数，，时，有唯一解，则满足条件的的个数是　　

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】由的范围求出的范围，再由有唯一解可得的取值范围，又，分别讨论的值，求出是否在，有唯一解，判断出的个数．

【解答】解：根据，时，所以，或，，

因为有唯一解，所以，解得，

当，，则或，，解得，或，，

因为，，所以可得或不唯一，舍去；

当时，，则或，，解得，或，，

因为，，所以可得唯一，

当时，，则或，，解得，或，，

因为，，所以可得无解；

当时，，则或，，解得，或，，

因为，，所以可得无解；

当时，，则或，，解得或，，

因为，，所以可得无解；

当时，，则或，，解得或，，

因为，，所以可得无解；

当时，，则因为，，所以可得无数多个解；

当时，，则或，，解得，或，，

因为，，所以可得；

当时，，则或，，解得或，，

因为，，所以可得；

当时，，则或，，解得或，，

因为，，所以可得；

当时，，则或，，解得或，，

因为，，所以可得；

当时，，则或，，解得或，，

因为，，所以可得；

当时，，则或，，解得，或，，

因为，，所以可得或；不唯一，舍

综上所述的值由6个，1，2，3，4，5．

故选：．

【跟踪训练3-7】（2020春•未央区校级期末）若函数在上有零点，则实数的取值范围　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】令，可得；设，由两角和的正弦公式和正弦函数的值域可得的范围，再由二次函数的最值求法，可得所求的取值范围．

【解答】解：函数在，上有零点，

可得，即，，；

设，，，

可得，

即有

，

当时，取得最大值1；时，取得最小值，

可得，即有，

所以实数的取值范围是，．

故选：．

【名师指导】

1.解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．

2.三角函数的实际应用体现两个方面

(1)已知函数模型求解数学问题．

(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．

3.巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题

解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．