第46讲 圆的方程（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

这是一份第46讲 圆的方程（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版），文件包含第46讲圆的方程讲教师版docx、第46讲圆的方程讲学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。


知识梳理
1．圆的定义与方程
2．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．
题型归纳
题型1 求圆的方程
【例1-1】（2020•和平区校级二模）已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，且过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则圆C的标准方程为 ．
【分析】根据题意，设圆心C的坐标为（2t+3，t），由圆经过点A、B，可得（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，解可得t的值，即可得圆心C的坐标，又由r2＝|CA|2，即可得圆的半径，由圆的标准方程的形式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3＝0上，设圆心的坐标为（2t+3，t），
圆C经过点A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），则有（2t+3﹣2）2+（t+3）2＝（2t+3+2）2+（t+5）2，
解可得t＝﹣2，则2t+3＝﹣1，即圆心C的坐标为（﹣1，﹣2），
圆的半径为r，则r2＝|CA|2＝（﹣1﹣2）2+（﹣2+3）2＝10，
故圆C的标准方程为（x+1）2+（y+2）2＝10；
故答案为：（x+1）2+（y+2）2＝10．
【例1-2】（2020•东城区模拟）已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（ ）
A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2
C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4
【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．
【解答】解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），
∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，
∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，
即：⇒a＝1，
∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，
圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
故选：A．
【例1-3】（2019•武侯区校级模拟）已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x﹣y+1＝0所得的弦长为2，则圆C的标准方程是 ．
【分析】设圆心为（a，0），a＞0，则由题意可得圆C的标准方程是（x﹣a）2+y2＝a2，再根据半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，求出a的值，可得圆C的标准方程．
【解答】解：圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，设圆心为（a，0），a＞0，
则圆C的标准方程是（x﹣a）2+y2＝a2，
∵它截直线x﹣y+1＝0所得的弦长为2，故有 a2＝12+，求得a＝3，
则圆C的标准方程是（x﹣3）2+y2＝9，
故答案为：（x﹣3）2+y2＝9．
【跟踪训练1-1】（2020•辽宁三模）在直线l：y＝x﹣1上有两个点A、B，且A、B的中点坐标为（4，3），线段AB的长度|AB|＝8，则过A、B两点且与y轴相切的圆的方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣11）2+（y+4）2＝121
B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣12）2+（y+5）2＝144
C．（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣12）2+（y+5）2＝144
D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4或（x﹣11）2+（y+4）2＝121
【分析】根据题意，分析可得要求圆的圆心在AB的垂直平分线上，由AB的中点坐标以及直线AB的方程可得AB的垂直平分线方程，据此可以设要求圆的圆心为（m，7﹣m），其半径r＝|m|，求出圆心到直线l的距离，结合直线与圆的位置关系可得（）2+d2＝r2，即16+＝m2，解可得m的值，将m的值代入圆的方程，即可得答案．
【解答】解：根据题意，要求圆经过过A、B两点，则要求圆的圆心在AB的垂直平分线上，
又由A、B在直线y＝x﹣1上且A、B的中点坐标为（4，3），则AB的垂直平分线方程为y﹣3＝﹣（x﹣4），
即x+y＝7，
设要求圆的圆心为（m，7﹣m），要求圆与y轴相切，则其半径r＝|m|，
圆心到直线l：y＝x﹣1的距离d＝，
又由线段AB的长度|AB|＝8，则有（）2+d2＝r2，即16+＝m2，
解可得：m＝4或12，
则要求圆的标准方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝16或（x﹣12）2+（y+5）2＝144；
故选：C．
【跟踪训练1-2】（2020•怀柔区一模）已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于原点对称，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2＝1B．x2+（y+1）2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1D．（x+1）2+y2＝1
【分析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心关于原点的对称点，则答案可求．
【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1．
点（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
则所求圆的方程为（x+1）2+y2＝1．
故选：D．
【跟踪训练1-3】（2020春•金湖县校级期中）已知圆心为点C（1，﹣1），并且在直线4x﹣3y﹣2＝0上截得的弦长为2的圆的方程为（ ）
A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2B．（x+1）2+（y﹣1）2＝4
C．（x﹣1）2+（y+1）2＝2D．（x﹣1）2+（y+1）2＝4
【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求半径，则圆的方程可求．
【解答】解：圆心C到直线4x﹣3y﹣2＝0的距离d＝，
又圆截直线4x﹣3y﹣2＝0所得的弦长为2，
∴圆的半径r＝．
则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝4．
故选：D．
【名师指导】
1．求圆的方程常见的三种类型
(1)已知不共线的三点．
(2)已知两点及圆心所在的直线．
(3)已知直线与圆的位置关系．
2．求圆的方程的两种方法
3．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
题型2 与圆有关的最值问题
【例2-1】已知实数x，y满足方程x2+y2﹣4x+1＝0，求：
（1）的最大值和最小值；
（2）y﹣x的最小值；
（3）x2+y2的最大值和最小值；
（4）2x2+y2﹣4x﹣6的最大值．
【分析】（1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆，设＝k，进而根据圆心（2，0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值；
（2）设m＝y﹣x，当点（x，y）在圆（x﹣2）2+y2＝1上，则此直线与圆相切时，m取最值，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m的值，即为所求．
（3）根据x2+y2表示点P（x，y）与点O（0，0）间的距离的平方，求出|CO|，再把|CO|加减半径后平方，即得所求．
（4）利用圆的参数方程，即可求出2x2+y2﹣4x﹣6的最大值．
【解答】解：（1）方程x2+y2﹣4x+1＝0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，由圆心（2，0）到y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，
由＝，解得k2＝3．
∴kmax＝，kmin＝﹣，
则的最大值为，最小值为﹣；
（2）设y﹣x＝m，则x﹣y+m＝0，圆心（2，0）到x﹣y+m＝0的距离d＝＝，∴m＝﹣2±，
∴y﹣x的最小值为﹣2﹣；
（3）∵x2+y2表示点P（x，y）与点O（0，0）间的距离的平方．
∵CO＝2，∴x2+y2的最小值为（2﹣）2＝7﹣4，最大值为（2+）2＝7+4；
（4）设x＝2+，y＝sinα，则2x2+y2﹣4x﹣6＝2（2+）2+（sinα）2﹣4（2+）﹣6＝3cs2α+4csα﹣3＝3（csα+）2﹣7，∴csα＝1时，2x2+y2﹣4x﹣6的最大值为4．
【例2-2】（2019•湖北校级一模）已知P（x，y）是圆x2+（y﹣3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（﹣2，0），则的最大值为（ ）
A．12B．0C．﹣12D．4
【分析】由平面向量的数量积公式，可得的解析式；再由P（x，y）是圆x2+（y﹣3）2＝1上的动点，可得x，y的取值范围；从而求得的最大值（或最小值）．
【解答】解：∵P（x，y）是圆x2+（y﹣3）2＝1上的动点，且A（2，0），B（﹣2，0），
∴＝（2﹣x，0﹣y）•（﹣2﹣x，0﹣y）＝（2﹣x）•（﹣2﹣x）+（﹣y）2＝x2+y2﹣4，
由x2+（y﹣3）2＝1，得x2+y2＝6y﹣8，且2≤y≤4，∴x2+y2﹣4＝6y﹣12≤24﹣12＝12，
∴的最大值为：12
故选：A．
【跟踪训练2-1】（2019春•城关区校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝1，P（x，y）为圆C上任一点，
（1）求的最大、最小值；
（2）求x﹣2y的最大、最小值．
【分析】（1）设k＝，利用直线和圆的位置关系即可得到结论；
（2）设z＝x﹣2y，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．
【解答】解：（1）设k＝，则y﹣2＝kx﹣k，即直线方程为kx﹣y+2﹣k＝0，
∵P（x，y）为圆C上任一点，
∴则圆心（﹣2，0）到直线的距离d＝＝≤1，
即|2﹣3k|，
平方得8k2﹣12k+3≤0，
解得≤k≤，
故的最大值为，最小值为；
（2）设b＝x﹣2y，j即x﹣2y﹣b＝0，
∵P（x，y）为圆C上任一点，
∴则圆心（﹣2，0）到直线的距离d＝，
即|b+2|≤，
则﹣2﹣≤b≤﹣2，
即x﹣2y的最大值为﹣2，最小值为﹣2﹣．
【跟踪训练2-2】（2019秋•安徽月考）已知P（x，y）是圆x2+（y﹣3）2＝a2（a＞0）上的动点，定点A（2，0），B（﹣2，0），△PAB的面积最大值为8，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先利用点到直线的距离公式求得圆心（0，3）到直线AB的距离为d，可得P到直线AB的距离最大值（d+1），从而求得△PAB面积的最大值，即可得出结论．
【解答】解：要使△PAB的面积最大，只要点P到直线AB的距离最大．
由于AB的方程为y＝0，圆心（0，3）到直线AB的距离为d＝3，
故P到直线AB的距离最大值为3+a，
再根据AB＝4，可得△PAB面积的最大值为 •AB•（3+a）＝2（3+a）＝8，
∴a＝1
故选：A．
【名师指导】
借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．
1．形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
2．形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
题型3 与圆有关的轨迹问题
【例3-1】（2020春•洛阳期末）已知动点M到两定点A （1，1），B （2，2）的距离之比为．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与直线l：2x+y﹣6＝0夹角为30°的直线，交l于点Q，求|PQ|的最大值和最小值．
【分析】（1）设M（x，y），根据题意列方程即可求出动点M的轨迹C的方程；
（2）先根据几何关系得到|PQ|＝2d，问题转变为求d的最值，再结合直线l与圆的位置关系容易求解．
【解答】解：（1）设M（x，y），由题意知，
化简得2（x﹣1）2+2（y﹣1）2＝（x﹣2）2+（y﹣2）2，
∴x2+y2＝4，
即动点M的轨迹C的方程为x2+y2＝4．
（2）记圆C上任意一点P到直线l的距离为d，因为直线PQ与直线l夹角为30°，
所以|PQ|＝2d，
因为圆心C（0，0）到直线 l 的距离为 ，且圆C的半径为2，，
即直线l与圆相离，
∴，
∴．
【跟踪训练3-1】（2020春•昆明期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点B（2，0），C（﹣2，0），设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝﹣，记点A的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）若直线l：y＝x+1与E交于P，Q两点，求|PQ|．
【分析】（1）设A的坐标为（x，y），由k1k2＝﹣，即可求出曲线E的方程．
（2）联立直线与E的方程，利用根与系数关系以及弦长公式可得|PQ|．
【解答】解：（1）设A（x，y），则k1k2＝＝﹣，
整理，得x2+2y2＝4（x≠±2），
即E的方程为x2+2y2＝4（x≠±2）；
（2）联立，整理得3x2+4x﹣2＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
则|PQ|＝＝•＝．
【名师指导】
求与圆有关轨迹问题的3种方法
(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．
(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．
(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．
几何法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程
待定系数法
①根据题意，选择标准方程与一般方程；
②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程