第50讲 双曲线（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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思维导图
知识梳理
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
题型归纳
题型1 双曲线的标准方程
【例1-1】已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
【解析】选B 由题意得eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
【例1-2】与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B.eq \f(x2,2)－y2＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
【解析】选B 法一：椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的焦点坐标是(±eq \r(3)，0)．
设双曲线标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2,1)，
所以eq \f(4,a2)－eq \f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线标准方程是eq \f(x2,2)－y2＝1.
法二：设所求双曲线标准方程为eq \f(x2,4－λ)＋eq \f(y2,1－λ)＝1(1<λ<4)，
将点P(2,1)的坐标代入可得eq \f(4,4－λ)＋eq \f(1,1－λ)＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为eq \f(x2,2)－y2＝1.
【例1-3】经过点P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为____________．
【解析】设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为所求双曲线经过点P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25).))故所求双曲线标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
【答案】eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1
【跟踪训练1-1】焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
【解析】设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,4)－x2＝－λ(λ>0)，即eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,4λ)＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1.
【答案】eq \f(x2,5)－eq \f(y2,20)＝1
【跟踪训练1-2】过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．
【解析】因为渐近线y＝eq \f(b,a)x与直线x＝a交于点 A(a，b)，c＝4且eq \r(4－a2＋b2)＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.
【答案】eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
【名师指导】
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
题型2 双曲线的定义及其应用
【例2-1】(1)(2019·河南安阳三模)设双曲线C：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,m)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝( )
A．8 B．4
C．8 eq \r(2) D．4 eq \r(2)
(2)(2019·河北廊坊省级示范校三联)设F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为________．
(3)已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【解析】 (1)由∠F2MN＝∠F2NM可知，|F2M|＝|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|－|MF1|＝4 eq \r(2)，
|NF1|－|NF2|＝4 eq \r(2)，两式相加得，|NF1|－|MF1|＝|MN|＝8 eq \r(2).
(2)∵|AF2|＝3，|BF2|＝5，
|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
∴|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4，
∴a＝1，∴|BF1|＝3，
又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2，
∴∠F2AB＝90°，∴sin B＝eq \f(3,5)，
∴S△BF1F2＝eq \f(1,2)×5×3×sin B＝eq \f(1,2)×5×3×eq \f(3,5)＝eq \f(9,2).
(3)因为F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，所以F(－4,0)，设其右焦点为H(4,0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋eq \r(4－12＋0－42)＝4＋5＝9.
【答案】 (1)C (2)eq \f(9,2) (3)9
【跟踪训练2-1】已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x＞2) B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,21)＝1(y＞2)
C.eq \f(x2,21)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1
【解析】选A 如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x>2)．
【跟踪训练2-2】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________.
【解析】由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4eq \r(2)，|PF2|＝2eq \r(2)，
则cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
【答案】eq \f(3,4)
【名师指导】
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
题型3 双曲线的简单几何性质
【例3-1】(2019·全国卷Ⅰ) 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，则C的离心率为________．
【解析】 法一：双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
∵eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，∴F1B⊥F2B，
∴点B在⊙O：x2＋y2＝c2上，如图所示，
不妨设点B在第一象限，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x2＋y2＝c2，得点Ba，b，,a2＋b2＝c2，,x>0))
∵eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，∴点A为线段F1B的中点，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－c,2)，\f(b,2)))，将其代入y＝－eq \f(b,a)x得eq \f(b,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))×eq \f(a－c,2).解得c＝2a，故e＝eq \f(c,a)＝2.
法二：如图，由eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))知A为线段F1B的中点，
∵O为线段F1F2的中点，
∴OA∥F2B，
∵eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，∴F1B⊥F2B，
∴OA⊥F1A且∠F1OA＝∠OF2B，
∵∠BOF2＝∠AOF1，∴∠BOF2＝∠OF2B，
又易知|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形，
可知eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，∴e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
法三：如图，设∠AOy＝α，则∠BOy＝α，
∵eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，∴A为线段F1B的中点，
又∵O为线段F1F2的中点，
∴OA∥BF2，∴∠OBF2＝2α.
过B作BH⊥OF2，垂足为H，
则BH∥y轴，则有∠OBH＝α，∴∠HBF2＝α，
易得△OBH≌△F2BH，∴|OB|＝|BF2|，
∵eq \(F2B,\s\up7(―→))·eq \(F1B,\s\up7(―→))＝0，∴BF1⊥BF2，又O为F1F2的中点，
∴|OB|＝|OF2|＝c，∴△OBF2为正三角形．
∴∠BOF2＝60°，则eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝2.
【答案】 2
【例3-2】(2019·武汉调研)已知双曲线C：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
【解析】 由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，∴椭圆的离心率e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(3,5)，∴双曲线的离心率为 eq \r(1＋\f(n2,m2))＝eq \f(5,3)，∴eq \f(n,m)＝eq \f(4,3)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(n,m)x＝±eq \f(4,3)x，即4x±3y＝0.故选A.
【答案】 A
【例3-3】(2020·广东湛江一模)设F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝eq \r(7)－1，则双曲线E的方程是( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
【解析】 双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
∵四边形OAFB为菱形，
∴对角线互相垂直平分，∴c＝2a，∠AOF＝60°，∴eq \f(b,a)＝eq \r(3).
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,x2＋y2＝c2＝4a2，))
解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a，\f(3,2)a)).
∵|PF|＝eq \r(7)－1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)a－2a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a))2＝(eq \r(7)－1)2，解得a＝1，
则b＝eq \r(3)，
故双曲线E的方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
故选D.
【答案】 D
【跟踪训练3-1】(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)x B．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±2x D．y＝±eq \f(1,2)x
【解析】选B 设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，
∴S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝c2，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))可得y＝±eq \f(b2,c)，
则|MN|＝eq \f(2b2,c)＝2，即b2＝c，
∴b＝2，c＝4，
∴a＝eq \r(c2－b2)＝2 eq \r(3)，
∴C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，
故选B.
【跟踪训练3-2】(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
【解析】选D 由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±eq \f(b,a)x，不妨设点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(b,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－ \f(b,a)))，所以|AB|＝eq \f(2b,a)＝4|OF|＝4，所以eq \f(b,a)＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).故选D.
【跟踪训练3-3】已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))<0，则y0的取值范围是________．
【解析】由题意知a＝eq \r(2)，b＝1，c＝eq \r(3)，
设F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，
则eq \(MF1,\s\up7(―→))＝(－eq \r(3)－x0，－y0)，eq \(MF2,\s\up7(―→))＝(eq \r(3)－x0，－y0)．
∵eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))<0，
∴(－eq \r(3)－x0)(eq \r(3)－x0)＋yeq \\al(2,0)<0，
即xeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)<0.
∵点M(x0，y0)在双曲线C上，
∴eq \f(x\\al(2,0),2)－yeq \\al(2,0)＝1，即xeq \\al(2,0)＝2＋2yeq \\al(2,0)，
∴2＋2yeq \\al(2,0)－3＋yeq \\al(2,0)<0，∴－eq \f(\r(3),3)【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
【名师指导】
1.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
2.求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±eq \f(b,a)＝±eq \f(\r(c2－a2),a)＝± eq \r(\f(c2,a2)－1)＝±eq \r(e2－1)；
3.求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程.
4.求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))∈(1，＋∞)
e是表示双曲线开
口大小的一个量，
e越大开口越大.
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2