备考2022中考数学一轮专题复习学案03 因式分解

备考2022中考数学一轮专题复习学案03

因式分解

定义:

把一个多项式化成几个整式的 　积　的形式，这样的变形叫做这个多项式的因式分解． 

【例1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ）

A．x（a–b）＝ax–bx B．x2–1+y2＝（x–1）（x+1）+y2 

C．x2–1＝（x+1）（x–1） D．ax+bx+c＝x（a+b+c）

【分析】A．等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解；

B．等号右边不是几个整式乘积的形式，故不是因式分解；

C．等号右边是几个整式乘积的形式，且变形正确，左右两边相等，故是因式分解；

D．左右两边不相等，故不是因式分解.

【答案】C．

  一般方法 

1．提公因式法：

用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．

公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．

2．运用公式法：

①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；

②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．

3．十字相乘法：．

4．分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．

  一般步骤 

一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．

  利用提公因式法分解因式 

【例2】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（    ）

A．–3x2y2 B．–2x2y2 C．6x2y2 D．–x2y2

【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．

故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．

【答案】D

  利用平方差公式分解因式 

【例3】分解因式：（2x+y）2–（x+2y）2．

【分析】原式＝（2x+y+x+2y）（2x+y–x–2y）＝（3x+3y）（x–y）＝3（x+y）（x–y）．

【答案】3（x+y）（x–y）．

  利用完全平方公式分解因式 

【例4】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（  ）

A．x2 ＋1         B．x2＋2x－1

C．x2＋x＋1       D．x2＋4x＋4

【分析】A．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；

B．不符合完全平方公式的结构，不能用完全平方公式分解因式；

C．不符合完全平方公式的结构，不能完全平方公式分解因式；

D．符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解因式；

故选D．

【答案】D．

  利用十字相乘法分解因式 

【例5】已知二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），则b+c的值为（    ）

A．1 B．–1 C．–5 D．5

【分析】∵二次三项式x2+bx+c分解因式为（x–3）（x+1），

∴x2+bx+c＝（x–3）（x+1）＝x2–2x–3，∴b＝–2，c＝–3，故b+c＝–5．故选C．

【答案】C．

【例6】分解因式：x2–2x–24=             ．

【分析】x2–2x–24＝（x–6）（x+4）．

【答案】（x–6）（x+4）．

  利用分组分解法分解因式 

【例7】因式分解：x2 – y2 –2x+2y

【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x–y即可.

【答案】x2 – y2–2x+2y = (x2 – y2 )–( 2x–2y )

= ( x+y ) ( x –y ) –2 ( x–y )

= ( x–y ) ( x+y–2 ) ．

  几种方法的综合运用 

【例8】分解因式：2ax2–12ax+18a．

【答案】原式＝2a（x2–6x+9）＝2a（x–3）2．

【例9】在实数范围内分解因式：a3–3a．

【答案】原式＝a（a2–3）＝a（a）（a）．

【例10】分解因式：（p–4）（p+1）+6．

【分析】原式整理后，利用十字相乘法分解即可．

【答案】原式＝p2–3p–4+6＝p2–3p+2＝（p–1）（p–2）．

1.下列分解因式正确的是(　　)

A．－a＋a3＝－a(1＋a2)     B．2a－4b＋2＝2(a－2b)

C．a2－4＝(a－2)2          D．a2－2a＋1＝(a－1)2

2．多项式mx2–m与多项式x2–2x+1的公因式是(　　)

A．x–1   B．x+1     C．x2–1   D．(x–1)2

3．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式a+1的是 (　　)

A．a2–1     B．a2+a    C．a2+a–2      D．(a+2)2–2(a+2)+1

4. 分解因式2x2－4x＋2的最终结果是(　　)

A．2x(x－2)     B．2(x2－2x＋1)     C．2(x－1)2      D．(2x－2)2

5．把代数式mx2－6mx＋9m分解因式，下列结果中正确的是(　　)

A．m(x＋3)2    B．m(x＋3)(x－3)   C．m(x－6)2    D．m(x－3)2

6．下列各选项中因式分解正确的是 (　　)

A．x2–1=(x–1)2  B．a3–2a2+a=a2(a–2)  C．–2y2+4y=–2y(y+2)  D．m2n–2mn+n=n(m–1)2

7．分解因式：a3－a＝__________

8．把a3－ab2分解因式的结果为________________

9．分解因式:a3–4a=　        　． 

10．把多项式ax2–2ax+a分解因式的结果是　　　　 ．

11.分解因式:a2b+ab2–a–b=　　         　　．  

12. 分解因式：b2+c2+2bc–a2=_____________

13. 分解因式：–4x2+24xy–36y2．

14. 分解因式：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy．

1. D

2. A

3. C

4. C

5. D

6. D

7. a(a＋1)(a－1)

8. a(a+b)(a–b)

9. a(a+2)(a–2)

10. a(x–1)2

11. (a+b)(ab–1)

12. (b+c+a)(b+c–a)

13.解：原式＝–4（x2–6xy+9y2）＝–4（x–3y）2．

14. 解：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy

＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy

＝x2－16y2

＝(x＋4y)(x－4y)．