备考2022中考数学一轮专题复习学案07 二元一次方程组

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中考命题说明
思维导图
知识点1：二元一次方程（组）的有关概念
知识点梳理
1．二元一次方程:
含有2个未知数(元)，并且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．二元一次方程的一般形式:ax+by+c=0(a，b，c为常数，且a≠0，b≠0) ．
必须满足以下三个条件：（1）等号两边的式子都是整式；（2）有且只有两个未知数；（3）含有未知数的项的次数都是1．
2．二元一次方程组：
由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为，其解一般写成的形式．
3．二元一次方程的解：
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解．
4．二元一次方程组的解：
使二元一次方程组两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解．
典型例题
【例1】下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A． B． C． D．
【分析】对照二元一次方程及二元一次方程组的定义，逐项判断即可．
【答案】D．
【例2】已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，求(a＋1)(a－1)＋7的值．
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二元一次方程的解，根据题意得出a的值是解决问题的关键．根据已知是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，代入方程即可得出a的值，再利用二次根式的运算性质求出．
【答案】∵是关于x，y的二元一次方程x＝y＋a的解，∴2＝＋a，a＝，
∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝3－1＋7＝9．
知识点2：二元一次方程组的解法
知识点梳理
1．解二元一次方程组的方法：
思想：二元一次方程组一元一次方程．消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有代入消元法和加减消元法两种．
2．代入法：适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况．
代入消元法的一般步骤：①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．
③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
3．加减法：在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)．
加减消元法的一般步骤：①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．
②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
典型例题
【例3】方程组的解是( )
A． B． C． D．
【分析】可解此方程组，也可把四个选项依次代入原方程组验证．
【答案】D．
【例4】解方程组：
【答案】解法一：①×②得：6x－2y＝10 ③，
②＋③得：11x＝33，∴x＝3．把x＝3
代入①得：9－y＝5．∴y＝4
所以．
解法二：由①得：y＝3x－5 ③
把③代入②得：5x＋2(3x－5)＝23，
11x＝33，∴x＝3．把x＝3代入③得：y＝4．所以．
知识点3：二元一次方程组的实际应用
知识点梳理
1．列二元一次方程组解应用题：
审题→找出相等关系→列出二元一次方程组→解二元一次方程组→写出答案．
2．列二元一次方程组解应用题的具体步骤：
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；
②设：设未知数（一般求什么，就设什么）；
③找：找出应用题中的相等关系；
④列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组；
⑤解：解所列的方程组，求出未知数的值；
⑥验：检验所得未知数的值是否符合实际意义及题意；
⑦答：写出答案（包括单位名称）．
典型例题
【例5】某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是( )
A． B．
C． D．
【分析】列方程组解应用题的关键是找出实际问题中的等量关系．本题中存在两个等量关系：甲种奖品的件数＋乙种奖品的件数＝30；买甲种奖品的钱数＋买乙种奖品的钱数＝400．
【答案】B．
【例6】小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．请问小华家离学校多远？
【分析】根据从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟分别列方程，进而得到方程组，解该方程组即可．
【答案】解：设平路有x米，坡路有y米，根据题意得：
解这个方程组，得．
所以x＋y＝700．
答：小华家离学校700米．
巩固训练
1．二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
4．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_________．
5．已知x、y满足方程组则x－y的值为________．
6．用代入消元法解方程组：．
7．用加减消元法解方程组：．
8．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买5束鲜花和5个礼盒的总价为________元．
9．在十一黄金周期间，小明、小华等同学随家长共15人一同到七十二潭游玩，售票员告诉他们：大人门票每张70元，学生门票8折优惠．结果小明他们共花了980元，那么小明他们一共去了几位家长、几位学生？
10．2019年10月，吉州区井冈蜜柚节迎来了四方游客，游客李先生选购了井冈蜜柚和井冈板栗各一箱需要200元．他还准备给4位朋友每人送同样的井冈蜜柚一箱，6位同事每人送同样的井冈板栗一箱，就还需要1040元．
（1）求每箱井冈蜜柚和每箱井冈板栗各需要多少元？
（2）李先生到收银台才得知井冈蜜柚节期间，井冈蜜柚可以享受6折优惠，井冈板栗可以享受8折优惠，此时李先生比预计的付款少付了多少元？
11．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划批发购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后零售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
（1）学校购进黑、白文化衫各几件？
（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
巩固训练参考答案
1． B．
2． A．
3． A．
4． a<4．
5． 1．
6． ．
7． ．
8． 440．
9． 解：设小明他们一共去了x位家长，y位学生，
依题意，得：，
解得： ．
答：小明他们一共去了10位家长，5位学生．
10．解：（1）设每箱井冈蜜柚需要x元，每箱井冈板栗需要y元，
依题意，得：，解得：．
答：每箱井冈蜜柚需要80元，每箱井冈板栗需要120元．
（2）200+1040–80×0．6×（4+1）–120×0．8×（6+1）=328（元）．
答：李先生比预计的付款少付了328元．
11．解：（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，
依题意，得：，解得：．
答：学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件．
（2）（45–25）×160+（35–20）×40=3800（元）．
答：该校这次义卖活动共获得3800元利润．考点
课标要求
考查角度
1
二元一次方程组
了解二元一次方程组的概念，会解简单的二元一次方程组．
一般以选择题、填空题的方式考查方程组的解、解方程组、列方程组等基础知识．
2
二元一次方程组的应用
①能够根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
②能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
以解答题的形式考查二元一次方程组的解法，常以不同的实际背景来考查二元一次方程组的实际应用．
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
25
45
白色文化衫
20
35