备考2022中考数学一轮专题复习学案08 一元二次方程

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中考命题说明
思维导图
知识点1：一元二次方程及有关概念
知识点梳理
1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2. 一般形式：ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．
3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2．
【注意】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
4. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
典型例题
【例1】下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+1=0B．x1
C．ax2+bx+c=0D．（x+1）（x–1）=x2+x+1
【分析】A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、化简后为–1= x+1，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意，故选A．
【答案】A.
【例2】若x=1是一元二次方程的一个根，那么 .
【分析】∵x=1是一元二次方程的一个根，∴将x=1代入此方程得：1+2+a=0，∴a=-3.
【答案】-3.
知识点2：一元二次方程的解法
知识点梳理
1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.
2.常用方法：（1）直接开平方法：对于形如（）或（）的方程，直接开平方．
（2）配方法：将一元二次方程配方为的形式，再用直接开平方法求解．
（3）公式法：一元二次方程的求根公式为（）．
（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为的形式，进而得到或来求解．
3.选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解.
典型例题
【例3】如果x2–8x+m=0可以通过配方写成（x–n）2=6的形式，那么x2+8x+m=0可以配方成（ ）
A．（x–n+5）2=1B．（x+n）2=1
C．（x–n+5）2=11D．（x+n）2=6
【分析】∵x2–8x+m=0可以通过配方写成（x–n）2=6的形式，
∴x2–8x+16=16–m，x2–2nx+n2=6，∴n=4，m=10，
∴x2+8x+m=0可以配方成（x+4）2=6，故选D．
【答案】D.
【例4】一元二次方程的根是（ ）
A. B. C. D.
【分析】此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：，因此或，所以.故选：D.21
【答案】D.
【例5】方程组的解是( )
A． B． C． D．
【分析】可解此方程组，也可把四个选项依次代入原方程组验证．
【答案】D．
【例6】解方程组：
【答案】解法一：①×②得：6x－2y＝10 ③，
②＋③得：11x＝33，∴x＝3．把x＝3
代入①得：9－y＝5．∴y＝4
所以．
解法二：由①得：y＝3x－5 ③
把③代入②得：5x＋2(3x－5)＝23，
11x＝33，∴x＝3．把x＝3代入③得：y＝4．所以．
知识点3：一元二次方程的根的判别式
知识点梳理
1．一元二次方程根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式．
2. 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：
(1)当=b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根，即；
(2)当=b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，即；
(3)当=b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．
典型例题
【例7】已知一元二次方程，则该方程根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数D．无实数根
【分析】当=0时，方程有两个相等的实数根；当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＜0时，方程没有实数解.根据题意可得：=－4×2×3=25－24=1＞0，则方程有两个不相等的实数根.
【答案】A.
知识点4：一元二次方程的根与系数的关系
知识点梳理
1. 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1·x2＝．
2. 用根与系数的关系求值时的常见转化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
典型例题
【例8】已知关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个实数根分别为x1=－2，x2=4.则m+n的值是（ ）
A.－10 B.10 C.－6 D.2
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得-2+4=-m，-2×4=n，解得m=-2，n=-8，所以m+n=-10.故选B．
【答案】B.
知识点5：一元二次方程的应用
知识点梳理
1.列一元二次方程解应用题的步骤：
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、找、设、列、解、验、答七步.
2.常见类型：列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：
(1)增长率等量关系:
①增长率＝×100%；
②设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.例如：第一年产值为a，若以后每年的增长率均为x，则第二年的产值为a（1+x），第三年的产值为a（1+x）2；若以后每年的降低率均为x，则第二年的产值为a（1–x），第三年的产值为a（1–x）2．
(2)利润等量关系:
①利润＝售价-成本；
②利润率＝利润成本×100%.
③总利润=单件的利润×数量．
面积问题：
充分利用各种图形对应的面积公式.
典型例题
【例9】某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )
A. （3+x）（4-0.5x）=15 B. （x+3）（4+0.5x）=15
C. （x+4）（3-0.5x）=15 D. （x+1）（4-0.5x）=15
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4-0.5x）元，由题意得（x+3）（4-0.5x）=15即可．
解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4-0.5x）=15，
故选：A．
【答案】A．
【例10】某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，该公司二、三月份营业额的平均增长率是x，则方程应该列为（ ）
A．10+10（1+x）2=33.1B．10（1+x）+10（1+x）2=33.1
C．10+10（1+x）+10（1+x）2=33.1D．10（1+x）2=33.1
【分析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．则依题意得：
10+10（1+x）+10（1+x）2=33.1，故选C．
【答案】C.
巩固训练
1. 将关于x的一元二次方程x（x+2）=5化成一般式后，a、b、c的值分别是（ ）
A．1，2，5B．1，–2，–5
C．1，–2，5D．1，2，–5
2.请构造一个关于x的方程，使其两个根为–4和6，且一次项系数为1，这个方程是_________．
3.解方程：
（1）2x2–4x–1=0（配方法）；
（2）3x2–4x–4=0（公式法）．
4.一元二次方程的根的情况是( )
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
5.若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B． C．a≤1 D．
6.已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ．
7.某省2017年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2018年增速位居全国第一．若2019年的快递业务量达到4.5亿件，设2018年与2017年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．1.4(1＋x)＝4. 5 B．1.4(1＋2x)＝4.5
C．1.4(1＋x)2＝4.5 D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5
将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm
9．关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根.
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．
10.利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
11.如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
巩固训练参考答案
D.
x2–2x–24=0
3.（1）x；（2）x1，x2=2．
4. C.
5. A．
6.﹣1或﹣3．
7. C.
8. D.
9. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根
∴ Δ=(2k+1)2－4(k2+1)=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0
解得：k﹥
(2) ∵k﹥
∴ x1+ x2 =－(2k+1)＜0
又∵ x1·x2 = k2+1﹥0
∴x1＜0，x2 ＜0
∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2 =－(x1+x2)=2k+1
∵｜x1｜+｜x2｜= x1·x2
∴2k+1=k2+1
∴ k1=0，k2=2
又 ∵k﹥
∴k=2 .
答：矩形长为25米，宽为8米（两条长一条宽）或矩形长为50米，宽为4米（一条长两条宽）．
解：设小路的宽为x m，依题意有：（40﹣x）（32﹣x）=1140，整理，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应是2 m．考点
课标要求
考查角度
1
一元二次方程的解法
了解一元二次方程的概念，理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．
常以选择题、填空题、解答题的形式考查一元二次方程的定义和解法．有时会要求用指定的方法解方程，以考查是否全面掌握了一元二次方程的解法．
2
一元二次方程根的判别式
了解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程根的情况．
常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程根的判别式，部分地市以探究题的形式考查．
3
一元二次方程应用题
①能够根据具体问题中的数量关系，列出方程解决实际问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
②能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
常以选择题、填空题的形式考查一元二次方程的列法，以列方程解应用题的形式考查解一元二次方程的基本思想和列方程解应用题的意识．