备考2022中考数学一轮专题复习学案10 一元一次不等式

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中考命题说明
思维导图
知识点1： 不等式及其性质
知识点梳理
1.不等式：用不等号（“＞”或“≥”或“＜”或“≤”或“≠”）表示不等关系的式子，叫做不等式．
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值．
3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．
4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式．
5.不等式基本性质：
(1)不等式两边加（或减）同一个数（或同一个整式），不等号的方向不变．
若a＞b，则a±c＞b±c．
(2)不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或＞）．
(3)不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或＜）．
典型例题
【例1】（2019·河北省4/26）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（ ）
A．+x≤5B．+x≥5C．≤5D．+x＝5
【分析】x的即x，不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可．
【答案】解：“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．
故选：A．
【例2】（2019•呼和浩特6/25）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＞B．m＜C．m＜ D．m＞
【答案】解：解不等式﹣1≤2﹣x得：x≤，
∵不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，
∴x＜，
∴＞，
解得：m＜，
故选：C．
知识点2： 一元一次不等式及其解法
知识点梳理
1.一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．
2.一元一次不等式的解法：
一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将未知项的系数化为1.
典型例题
【例3】（2018·巴彦淖尔4/24）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞，则m的最小整数解为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．0
【分析】方程组中的两个方程相减得出x﹣y＝3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【答案】解：，
①﹣②得：x﹣y＝3m+2，
∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞，
∴3m+2＞，
解得：m＞，
∴m的最小整数解为﹣1，
故选：C．
知识点3： 一元一次不等式组及其解法
知识点梳理
1.一元一次不等式组的定义：把关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立起来，就组成一个一元一次不等式组．
2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集．
3. 解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．
4.一元一次不等式组的解法：
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
5. 解集在数轴上的表示（令a＞b）：
6.一元一次不等式（组）的特殊解：先求出不等式组的解集，再求出符合条件的特殊解即可．
典型例题
【例4】（2019•赤峰6/26）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【答案】解：
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
【例5】（2018·鄂尔多斯17（2）/24）解不等式组：，并求其非负整数解．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，继而可得答案．
【答案】解：解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
所以不等式组的非负整数解有0，1，2．
知识点4： 一元一次不等式（组）的实际应用
知识点梳理
1.一元一次不等式的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式（组），解不等式（组），作答．
2.基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式（组）解答．
典型例题
【例6】 “保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10－a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，”列出不等式组探讨得出答案即可．
【答案】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得
，
解得.
答：设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10－a）辆，由题意得：，
解得：6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则10－a=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
巩固训练
1．（2019•桂林）如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a+c＞bB．a+c＞b﹣c
C．ac﹣1＞bc﹣1D．a（c﹣1）＜b（c﹣1）
2. （2018·兴安盟呼伦贝尔7/26）不等式组的整数解的个数为
A．0个B．2个C．3个D．无数个
3.（2019·河南省12/23）不等式组的解集是 ．
4.（2018·包头14/26）不等式组的非负整数解有 个．
5.（2018·呼和浩特15/25）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是 ．
6.（2019·北京市18/28）解不等式组：
7.（2019·天津市19/25）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
8.（2018·北京市19/28）解不等式组： .
9.（2019•重庆B卷）某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
10.（2019•沈阳）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少6元．
（1）求甲种树苗每棵多少元？
（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？
11.（2018·赤峰22/26）小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：
解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；
（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，求至少购买A商品多少件．
巩固训练参考答案
1. 【分析】∵c＜0，∴c﹣1＜﹣1．∵a＞b，∴a（c﹣1）＜b（c﹣1）．故选D．
【答案】D.
2. 【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．
【答案】解：，
由不等式①得，
由不等式②得，
其解集是，
所以整数解为0，1，2共3个．
故选：C．
3. 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【答案】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣2，
故答案为：x≤﹣2．
4. 【分析】首先正确解不等式组，根据它的解集写出其非负整数解．
【答案】解：解不等式2x+7＞3（x+1），得：x＜4，
解不等式，得：x≤8，
则不等式组的解集为x＜4，
所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个，
故答案为：4．
5. 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再判断即可．
【答案】解：
∵解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x＞a+2，
∴不等式组的解集为x＞a+2，
∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，
又∵不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，
∴a+2≥5，
解得：a≤﹣6，
故答案为：a≤﹣6．
6. 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜2，
解②得x＜，
则不等式组的解集为x＜2．
7. 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．
8. 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
9. 【分析】设答对x道．则10x+（﹣5）×（20﹣x）＞120，10x﹣100+5x＞120，15x＞220，解得x＞ QUOTE ．根据x必须为整数，故x取最小整数15，即小华参加本次竞赛得分要超过120分，他至少要答对15道题．故选C．
【答案】C.
10. 【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，根据题意得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
答：甲种树苗每棵40元；
（2）设购买乙种树苗y棵，根据题意得：
40（100﹣y）+34y≤3800，解得：y≥ QUOTE ，
∵y是正整数，∴y最小取34．
答：至少要购买乙种树苗34棵．
【答案】（1）40；（2）34．
11. 【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价＝单价×数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设折扣数为z，根据总价＝单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论；
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价＝单价×数量结合消费金额不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为：三．
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，
根据题意得：，
解得： ．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3）设折扣数为z，
根据题意得：5×30×+7×40×＝258，
解得：z＝6．
答：折扣数为6．
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，
根据题意得：30×m+40×（10﹣m）≤200，
解得：m≥，
∵m为整数，
∴m的最小值为7．
答：至少购买A商品7件．
考点
课标要求
考查角度
1
一元一次不等式
①能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质；
②会解简单一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集.
常以选择题、填空题、解答题等题型考查不等式的三条基本性质和一元一次不等式的解法.
2
一元一次不等式组
会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集.
常以选择题、填空题、解答题考查一元一次不等式组的解法.
3
一元一次不等式(组)的应用
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式(组)，解决简单的实际问题.
以不等式(组)类应用题考查不等式(组)解决实际问题的能力.
x＞a
大大取大
x＜b
小小取小
b大小小大取中间
无解
大大小小无处找
类别
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258