备考2022中考数学一轮专题复习学案16 二次函数及其应用

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备考2022中考数学一轮专题复习学案16
二次函数及其应用

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
二次函数的意义和函数表达式
通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义
常以选择题、填空题的形式考查二次函数的意义和函数解析式的求法，部分地市以解答题的形式考查
2
二次函数的图象和性质
①会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
②会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴；
③会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
常以选择题、填空题的形式考查二次函数图象的顶点、对称轴、最值、抛物线的平移、二次函数与方程的关系等基础知识，以解答题、探究题的形式考查二次函数综合能力
3
二次函数的应用问题
能用二次函数知识解决某些实际问题
多以选择题、填空题、解答题的形式考查二次函数在实际生活中的应用

知识点1： 二次函数的概念


知识点梳理

1.二次函数的概念：
一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数.
叫做二次函数的一般式.
2. 二次函数的解析式：
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）两根式（交点式）：当抛物线与x轴有交点时，即对应二次方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式.如果没有交点，则不能这样表示.
3.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.
(2)若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．
(3)若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．
典型例题

【例1】（2019·甘肃）将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1
【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式即可.
【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1.
知识点2： 二次函数的图象和性质


知识点梳理

1.二次函数的图象：
二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线.
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点是(－，)．当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值．
(2)抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.
2.二次函数图象的画法：
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象.
3.二次函数的性质：
二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上, <0时，抛物线开口向下；
b与对称轴有关：对称轴为x=；
c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）.

典型例题

【例2】（2019·河南省8/23）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【答案】B．
【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x＝即可求解.
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选： B．
【例3】（2019•赤峰18/26）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

【答案】②③④．
【分析】由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），则有b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0）；
①由a＞0，得b＜0；
②当x＝﹣1时，y＝0，则有a﹣b+c＝0；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3．
【解答】解：由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点（﹣1，0），
①∵a＞0，
∴b＜0；
∴①错误；
②当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0；
②正确；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3
∴④正确；
故答案为②③④．
【例4】（2018·通辽9/26）已知抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，则一次函数y＝kx﹣k与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】依据抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，即可得到k＜0，进而得出一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一二四象限，反比例函数y＝的图象在第二四象限.
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝4﹣4（k+1）＞0，
解得k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一二四象限，
反比例函数y＝的图象在第二四象限，
故选：D．
知识点3：二次函数的最值


知识点梳理

二次函数的最值：
(1)如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.
(2)如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.21
典型例题

【例5】(2018·杭州)四位同学在研究函数y＝x2＋bx＋c(b，c是常数)时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x2＋bx＋c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是(　　)
A. 甲　 　　B. 乙　　 　C. 丙　　 　D. 丁
【答案】B．
【解答】甲：－＝1，b＝－2；
乙：1－b＋c＝0；
丙：＝3，即4c－b2＝12；
丁：4＋2b＋c＝4；
若甲错则由乙、丁得，代入丙不符合，不合题意；
若乙错则由甲、丁得，代入丙，满足，符合题意；
若丙错则由甲、丁得，代入乙不满足，不符合题意；
若丁错则由甲、乙得，代入丙不符合，不合题意.
∴四位同学中结论错误的为乙同学.
知识点4： 二次函数与方程、不等式的关系？


知识点梳理

1.二次函数与一元二次方程的关系：
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标.
因此一元二次方程中的=b2-4ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点.
当>0时，图象与x轴有两个交点；当=0时，图象与x轴有一个交点；当<0时，图象与x轴没有交点.
①如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根．
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数
判别式b2-4ac的符号
方程ax2+bx+c=0的实数根个数
2个
b2-4ac>0
两个不相等的实数根 
1个
b2-4ac=0
两个相等的实数根 
没有
b2-4ac<0
没有实数根 
2.二次函数与不等式的关系:
(1)ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围;
(2)ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围.
典型例题

【例6】（2022九上·建湖期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点为（-5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为 .

【答案】-5＜x＜-3．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1，与x轴的其中一个交点为（-5，0），
∴与x轴的另一个交点为（3，0）
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为-5＜x＜-3．
知识点5： 二次函数的实际应用


知识点梳理

二次函数的应用问题求解思路：
建立二次函数模型→求出二次函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．
典型例题

【例7】 (2019·秦皇岛青龙县期末)某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双)与销售单价x(元)满足w＝－2x＋80(20≤x≤40)，设销售这种手套每天的利润为y(元)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解： (1)y＝w(x－20)
＝(－2x＋80)(x－20)
＝－2x2＋120x－1600；
(2)y＝－2(x－30)2＋200.
∵20≤x≤40，a＝－2＜0，
∴当x＝30时，y最大值＝200.
答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
巩固训练

1. (2019·河北省二模)如图是一款抛物线型落地灯简意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面为1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB为1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为(　　)
A. 3.2米 B. 0.32米 C. 2.5米 D. 1.6米

2. (2019·石家庄藁城区联考)如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．下列结论错误的是(　　)
A. 当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点水平距离为3 m
B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C. 小球落地点距O点水平距离为7米
D. 斜坡的坡度为1∶2
　　
3.（2019·通辽10/26）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0．
其中错误结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.(2018·北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．下图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(　　)
A. 10 m　　B. 15 m　　C. 20 m　　D. 22.5 m

5. (2019·泰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为(4，－3)，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan∠ABC.

6. (2019·临沂节选)在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)经过点A，B.
(1)求a，b满足的关系式及c的值；
(2)当x<0时，若y＝ax2＋bx＋c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．
巩固训练参考答案

1.【答案】A.　
【解答】∵灯罩D距离地面的距离等于AB，∴点B与点D关于抛物线的对称轴对称．∵C距灯柱的水平距离为1.6米，∴茶几到灯柱的距离AE为3.2米．
2.【答案】A.　
【解答】 当y＝7.5时，－x2＋4x＝7.5，解得x＝3或x＝5，即小球距O点的水平距离为3 m或5 m，故A选项错误；∵－<0.∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝4，故小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，故B选项正确；.当y＝x时，x＝4x－x2，x＝0或x＝7，即小球落地点距O点水平距离为7米，故C选项正确；对于斜坡，当x＝6时，y＝3，y∶x＝3∶6＝1∶2，故斜坡的坡度为1∶2；故D选项正确．
3.【答案】A．
【解析】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
对称轴x＝＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即a﹣b≤m（am+b），故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：A．

4.【答案】B．
【解析】设抛物线的对称轴为x＝h，由(0，54)和(40，46.2)可知，h<＝20，由(0，54)和(20，57.9)可知，h>＝10，∴10 5. 【解答】解：(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x－4)2－3；
把A(1，0)代入，得a(1－4)2－3＝0，解得a＝，
∴抛物线的表达式为y＝(x－4)2－3；
(2)对于y＝(x－4)2－3令y＝0，得x1＝1，x2＝7，∴OB＝7.
令x＝0，则y＝，即OC＝，
∴tan∠ABC＝＝＝.
6. 【解答】解：(1)∵直线y＝x＋2与x，y轴交于A，B两点，
令x＝0得y＝2，令y＝0得x＝－2，
∴A点坐标为(－2，0)，B点坐标为(0，2)．
将点A(－2，0)、B(0，2)分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c得

∴c＝2.
∴4a－2b＋2＝0即b＝2a＋1；
(2)抛物线的对称轴是直线x＝－＝－＝－1－，
∵x＜0时，y的函数值随x的增大而增大，
∴－1－≥0，
解得a≥－，又∵a＜0，
∴a的取值范围为－≤a＜0.