备考2022中考数学一轮专题复习学案17 相交线与平行线

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中考命题说明
知识点1：点、线、面、角
知识点梳理
1．点动成线、线动成面、面动成体．
2．角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
3．度分秒的换算： 1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°． 1°= 60 '，1'= 60 ″ ．
4．量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数．
5. 两角间的关系：
(1)余角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．同角或等角的余角相等．
(2)补角：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角或等角的补角相等．
6. 角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
典型例题
【例1】 (2019·怀化)与30°的角互为余角的角的度数是( )
A． 30° B． 60° C． 70° D． 90°
【答案】B．
【分析】根据互为余角的定义作答即可．
【解答】解：90°-30°=60°，故答案为B．
知识点2： 直线、射线和线段
知识点梳理
1．直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．
2. 射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．
3. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两个点叫做线段的端点．
4．线段的和差：如下图，在线段AC上取一点B，则有：AB+ BC =AC；
AB= AC -BC；BC=AC- AB ．
5．线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点. 几何语言：AM=MB= eq \f(1,2)AB.
6. 直线的性质：
（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）．
（2）过一点的直线有无数条．
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．
（4）直线上有无穷多个点．
（5）两条不同的直线至多有一个公共点．
7. 线段的性质：
（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短．
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的中点到两端点的距离相等．
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．
典型例题
【例2】 (2019·保定高阳县模拟)“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是( )
A． 两点之间，线段最短
B． 两点确定一条直线
C． 直线可以向两边延长
D． 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
【答案】B．
【解答】“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理是“两点确定一条直线”．故答案为B．
知识点3： 相交线
知识点梳理
1.相交线中的角:
(1)两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．
(2)邻补角互补，对顶角相等．
(3)直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角（三线八角）．其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角．
2. 垂线：
(1)两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
(2)垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如下图，点P与直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度．
4. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．如下图，若l⊥AB，OA=OB，则AP=BP．
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
5. 角平分线的性质定理及逆定理：
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.几何语言：如下图，
逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.几何语言：如下图，
典型例题
【例3】(2018·益阳)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是( )
A． ∠AOD＝∠BOC B． ∠AOE＋∠BOD＝90°
C． ∠AOC＝∠AOE D． ∠AOD＋∠BOD＝180°

【答案】C．
【解答】由对顶角相等可知A选项正确；∵EO⊥CD，∴∠EOD＝90°，即∠AOE＋∠BOD＝180°－90°＝90°，B选项正确；∠AOC不一定等于∠AOE，C选项错误；根据邻补角互补可知D选项正确．故选C．
【例4】(2019·邢台二模)下列选项中，线段MN的长表示点M到直线l的距离的是( )

【答案】A．
【解答】∵线段MN的长表示点M到直线l的距离，∴线段MN与直线l的夹角为90°，故选A．
知识点4：平行线
知识点梳理
1. 平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．
2. 平行线公理及其推论：
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
3. 平行线的判定：
平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．
平行线的两条判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．
4. 平行线的性质：
（1）两直线平行，同位角相等．
（2）两直线平行，内错角相等．
（3）两直线平行，同旁内角互补．
5. 两平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 ，叫做这两条平行线之间的距离（2）性质：两条平行线之间的距离处处 相等 ．
典型例题
【例5】 (2019·宿迁)一副三角板如图摆放(直角顶点C重合)，边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于( )
A． 105° B． 100° C． 75° D． 60°
【答案】A．
【解答】∵DE∥BC，
∴∠DEC=∠ECB=45°，
又∵∠B=30°，
∴在△FCB中，∠BFC=180°-∠FCB-∠B=180°-45°-30°= 105°．
故答案为：A．
【例6】(2019·宁波)已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为( )
A． 60° B． 65° C． 70° D． 75°

【答案】C．
【解答】如下图，设AB交直线n于点E，∵∠B＝45°，∠1＝25°，∴∠AED＝70°，∵m∥n，∴∠2＝∠AED＝70°．
知识点5： 命题、定理、证明
知识点梳理
1. 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．
2. 命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题．
3．互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题，如果我们把其中一个命题称为 原命题 ，那么另一个命题就是这个原命题的 逆命题 .
4. 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理．
5. 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．
6. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理，一个定理和它的逆定理是互逆定理.
7. 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．
典型例题
【例7】 (2019·泰州)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是________(填“真命题”或“假命题”)．
【答案】真命题．
【解答】一个三角形如果是锐角三角形，则三个角都是锐角，如果是直角或钝角三角形，则有两个角是锐角，∴三角形的三个内角中至少有两个锐角是真命题．
【例8】 (2019·安徽)命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为________________．
【答案】如果a、b互为相反数，那么a＋b＝0．
【解答】把“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的题设和结论交换位置得到：“如果a、b互为相反数，那么a＋b＝0”．
巩固训练

1． (2019·石家庄正定新区模拟)点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是( )
A． AC＝BC B． AC＋BC＝ABC． AB＝2AC D． BC＝eq \f(1,2)AB
2． (2018·梧州)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( )
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
3． (2019·河北中考说明)如图，桌面上的木条b，c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°(0＜n＜90)后与b平行，则n＝( )
A． 20 B． 30 C． 70 D． 80
4． (2019·济宁)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数是( )
A． 65° B． 60° C． 55° D． 75°
5． (2019·岳阳)如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是( )
A． 20° B． 25° C． 30° D． 50°

6． (2019·山西)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是( )
A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°
7． (2019·河北定兴卷)如图，EH∥BC，AB平分∠CAH，过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，若∠C＝40°，则∠E＝( )
A． 20° B． 30° C． 40° D． 70°
8． (2018·唐山路北区一模)如图为平面上五条直线L1，L2，L3，L4，L5相交的情形，根据图中标示的角度，判断下列叙述正确的是( )
A． L1和L3平行，L2和L3平行
B． L1和L3平行，L2和L3不平行
C． L1和L3不平行，L2和L3平行
D． L1和L3不平行，L2和L3不平行
9． (2018·聊城)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )
A． 110° B． 115° C． 120° D． 125°
10． (2019·南京)结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： ∵________，∴a∥b．
11． (2019·黄冈)如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A，点C．AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为________．
12． (2019·菏泽)如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2－∠1的度数是________．
巩固训练参考答案
1．【答案】B．
【解析】选项B中，AC＋BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点，故选B．
2．【答案】D．
【解析】∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴DE＝DF．∵DE＝6，∴DF＝6．
3．【答案】B．
【解析】木条a在桌面上绕点O旋转30°后，角度变为70°，根据内错角相等，两直线平行可判断出a∥b．
4．【答案】C．
【解析】如下图，∵∠3＝125°，∴∠5＝180°－∠3＝180°－125°＝55°．∵∠1＝∠2，∴a∥b．∴∠4＝∠5＝55°．故选C．
5．【答案】B．
【解析】∵BE平分∠ABC，且∠ABC＝50°，∴∠CBE＝eq \f(1,2)∠ABC＝25°．∵BE∥DC，∴∠C＝∠CBE＝25°．
6．【答案】C．
【解析】如下图．∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ACB＝75°．∵∠1＝145°，∴∠3＝115°．∵a∥b，∴∠2＋∠ACB＝∠3＝115°，∴∠2＝115°－∠ACB＝40°．
7．【答案】A．
【解析】∵EH∥BC，∠C＝40°，∴∠CAH＝180°－40°＝140°．∵AB平分∠CAH，∴∠CAB＝∠BAH＝70°．∵EF⊥BA，∴∠EFA＝90°．∵∠FAE＝∠BAH＝70°，∴∠E＝90°－70°＝20°．
8．【答案】C．
【解析】∵92°＋92°≠180°，∴L1和L3不平行，∵88°＝88°，∴L2和L3平行，∴C选项是正确的．
9．【答案】C．
【解析】如下图，延长DE交BC于点G ，∵∠BGD是△DCG的外角，∴∠BGD＝∠BCD＋∠CDE＝95°＋25°＝120°，∵AB∥EF ， ∴∠DEF＝∠DGB＝120°．
10．【答案】∠1＋∠3＝180°．
【解析】题图中用数字标识的同旁内角是∠1和∠3，∴同旁内角互补，应为∠1＋∠3＝180°．
11．【答案】50°．
【解析】∵AB∥CD，∠ACD＝80°，∴∠BAC＝180°－∠ACD＝180°－80°＝100°，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝eq \f(1,2)∠BAC＝eq \f(1,2)×100°＝50°．
12．【答案】80°．
【解析】如下图，过点B作BF∥AD，∴∠1＝∠3．∵AD∥CE，∴BF∥CE．∴∠4＋∠2＝180°．∵∠ABC＝∠3＋∠4．∴∠ABC＝∠1＋∠4，∵∠ABC＝100°，∴∠4＝100°－∠1．∴100°－∠1＋∠2＝180°，即∠2－∠1＝80°．
考点
课标要求
考查角度
1
点、线、面、角
①通过丰富的实例，进一步认识点、线、面、角；②会比较角的大小，会计算角度的和与差，会进行简单的角度换算；③了解补角、余角的概念，知道等角的余角相等、等角的补角相等
常以选择题、填空题的形式考查点、线、面、角、余角、补角的概念和等角的余角相等、等角的补角相等的性质
2
相交线与平行线
①了解对顶角的概念，知道对顶角相等；②了解垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，了解垂线段最短的性质；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；③知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会过已知直线外一点画这条直线的平行线；④理解平行线的性质定理和判定定理，并能进行有关的计算与论证
常以选择题、填空题的形式考查对顶角、垂线的概念、性质以及平行线的性质和判定