备考2022中考数学一轮专题复习学案20 圆

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备考2022中考数学一轮专题复习学案20
圆

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
圆心角、圆周角
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；②了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征
常以选择题、填空题、解答题的形式考查圆心角、圆周角定理的简单运用
2
圆的对称性
探索圆的性质，理解并会运用垂径定理及其推论
常以选择题、填空题、解答题的形式考查垂径定理及其推论的综合运用
3
点与圆、直线与圆的位置关系
①探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系；②了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；③了解三角形的内心和外心
常以选择题、填空题、解答题的形式考查直线与圆的位置关系、圆的切线的性质、判定以及三角形的内心和外心
4
圆与圆的位置关系
探索并了解圆与圆的位置关系
常以选择题、填空题的形式考查圆与圆的位置关系
5
弧长和扇形的面积
会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积
常以选择题、填空题的形式考查弧长、扇形的面积和圆锥的侧面积、全面积

知识点1：与圆有关的概念


知识点梳理

1.圆的定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.

2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如下图中的AB）

3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.
4.直径：经过圆心的弦叫做直径（如上图中的CD）.直径等于半径的2倍.
5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
6.弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
7.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
9.垂径定理及其推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
10.圆的对称性：
（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.
典型例题

【例1】（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10 m．则这段弯路所在圆的半径为(　　)
A. 25 m B. 24 m C. 30 m D. 60 m

【答案】A．
【解答】如下图，连接OD，∵C是的中点，D是AB的中点，AO＝BO，∴点O、D、C三点共线，∴AB⊥OC，∴AD＝AB＝×40＝20 m，∴△AOD是直角三角形，设OA＝r，则OD＝r－CD＝r－10，在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25 m.

【答案】．
【解答】
【例2】（2019·保定一模）如图，一个宽为2厘米的刻度尺(刻度单位：厘米)，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为________厘米．

【答案】．
【解答】∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，∴AC＝9－3＝6厘米，如解图，过点O作OB⊥AC于点B，则AB＝AC＝×6＝3厘米，设杯口的半径为r，则OB＝r－2，OA＝r，在Rt△AOB中，OA2＝OB2＋AB2，即r2＝(r－2)2＋32，解得r＝厘米．

知识点2： 与圆有关的角


1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
典型例题

【例3】（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为(　　)
A. 60° B. 50° C. 40° D. 20°

【答案】B．
【解答】如下图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠BCD＝40°，∴∠DAB＝∠BCD＝40°.∴∠ABD＝90°－∠DAB＝90°－40°＝50°.

知识点3：与圆有关的位置关系


知识点梳理

1．点与圆的位置关系：
(1)设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r；
②点P在圆内⇔d＜r；
③点P在圆上⇔d＝r.
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．直线与圆的位置关系：
(1)直线和圆有三种位置关系，具体如下：
①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.
(2)如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
①直线l与⊙O相交d ②直线l与⊙O相切d=r；
③直线l与⊙O相离d>r；
(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(4)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
(5)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
(6)三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．
(7)三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
3．圆和圆的位置关系：
(1)圆和圆的位置关系
①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种.
②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种.
③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交.
(2)圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距.
(3)圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
①两圆外离d>R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r ④两圆内切d=R-r（R>r）
⑤两圆内含dr）
(4)两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
典型例题

【例4】（2019·邢台九年级期末）⊙O的半径为4，点P在⊙O外，则OP的长可能是(　　)
A. 2　　　B. 3　　　C. 4　　　D. 5
【答案】D．
【解析】因为点P在圆外⇔d＞r，所以点P到圆心O的距离为d大于4，即OP＞4，故答案为D．
【例5】（2019·荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是(　　)
A. DI＝DB B. DI>DB C. DI 　
【答案】A．
【解析】如下图，连接BI，∵△ABC的内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6＝∠3＋∠5，即∠4＝∠DBI.∴DI＝DB．

【例6】（2019·重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为(　　)
A．40° B．50° C．80° D．100°

【答案】C．
【解析】∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，∴∠BAC＝90°.∵∠C＝50°，∴∠ABD＝40°，∴∠AOD＝2∠ABD＝80°.
知识点4：与圆有关的计算


知识点梳理

1．弧长及扇形的面积：
(1)半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式：l＝；
(2)半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： （l是扇形的弧长）.
2．圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr．
(1)圆锥的侧面积公式： （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径）.
(2)圆锥的全面积公式：S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
3．求阴影部分面积的几种常见方法：
(1)公式法；
(2)割补法；
(3)拼凑法；
(4)等积变形构造方程法；
(5)去重法．
典型例题

【例7】（2019·泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为(　　)
A. π B. π C. 2π D. 3π

【答案】C．
【解答】如下图，过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接OA，OB，设⊙O的半径为R，∴OM＝R＝×3＝.∵在Rt△AOM中，OM＝OA，∴∠OAB＝30°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°.∴∠AOB＝120°.∴弧AB的长为2πR×＝2π.

【例8】（2019·资阳）如图，直径为2 cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为(　　)
A. 5π B. 6π C. 20π D. 24π
　
【答案】A．
【解析】矩形的长为圆的周长，等于2π，矩形的高为2 ，由题意可知：圆滚动一周扫过的面积为2π×2＋12·π＝5π，故选A.
【例9】（2019·宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为(　　)
A. 3.5 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm

【答案】B．
【解析】设BF＝AB＝x，则小圆的直径为FC＝6－x，由题知扇形的弧长等于小圆的周长，即×2πx＝π(6－x)，解得x＝4，即AB的长为4.
【例10】（2019·十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】6π．
【解析】∵半圆绕点A顺时针旋转60°，∴S半圆AB＝S半圆AC，∠BAC＝60°，∵S阴影＋S半圆AB＝S半圆AC＋S扇形ABC，∴S阴影＝S扇形ABC＝＝6π.
巩固训练

1. (2019·常州)如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝________°.

2. (2019·甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是(　　)
A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°
　　
3. (2019·成都)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD的度数为(　　)
A. 30° B. 36° C. 60° D. 72°
　　
4. (2019·衡水故城县期末)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.连接BD，BE，CE，若∠CBD＝33°，则∠BEC的度数为(　　)
A. 66° B. 114° C. 123° D. 132°

5. (2019·泸州)如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC＝5，BC＝6，则DE的长是(　　)
A. 　B. 　 C. 　 D.

6. (2019·宿迁)直角三角形的两条直角边分别为5和12，则它的内切圆半径为________．
7. (2019·南京)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________°.

8. (2019·常州)如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝________．

9. (2019·重庆)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2.分别以点A，点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．(结果保留π)
　
10. (2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E，F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)


11. (2019·秦皇岛抚宁区台营学区九年级期末)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交△ABC的外接圆⊙O于点D.
(1)求证：△ABE∽△ADC；
(2)连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

12. (2019·天水)如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．

13.(2019·鄂州)如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点E.过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接BC，PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求证：E为△PAB的内心；
(3)若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

巩固训练参考答案

1．【答案】30.　
【解答】∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠CDB＝30°.
2．【答案】C.　
【解答】如下图，设圆心为O，半径为r，连接OA、OB，∴AB＝r.∵r2＋r2＝(r)2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.∴∠ASB＝∠AOB＝45°.

3．【答案】B.　
【解答】如下图，连接OC，OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°.∴∠CPD＝∠COD＝36°.

4．【答案】C　
【解答】∵∠CAD＝∠CBD＝33°，点E为△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAD＝33°，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB.∵∠BAC＝∠BAE＋∠DAC＝33°＋33°＝66°，∴∠BEC＝180°－∠EBC－∠ECB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×(180°－66°)＝180°－57°＝123°.
5．【答案】D．　
【解答】如下图，连接AE，OD，由已知可得BD＝BE＝EC，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝EC＝3，AD＝2，AE＝4，设半径为r，即AO＝4－r，在Rt△ADO中，由勾股定理可得(4－r)2＝r2＋22，解得r＝.连接OB，交DE于点G，易知DG⊥OB，在Rt△BOE中，OB＝＝＝.∵S△BDO＝OD·BD＝BO·DG，即××3＝××GD，解得DG＝，∴DE＝2DG＝.

6．【答案】2.　
【解答】∵两条直角边的长分别为5和12，由勾股定理可知，斜边长＝＝13，∴它的内切圆的半径＝＝2.
7．【答案】219　
【解答】如解图，连接AB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB.∴∠PAB＝∠PBA＝(180°－∠P)＝39°.∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠DAB＋∠C＝180°，∴∠DAP＋∠C＝∠BAP＋∠DAB＋∠C＝39°＋180°＝219°.

8．【答案】　
【解答】如下图，过点O作OD⊥BC于点D，连接OB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵AB、BC两边都与⊙O相切，∴∠OBD＝30°.在Rt△OBD中，tan30°＝＝，∴BD＝3.∵BC＝8，∴CD＝8－3＝5，∴tan∠OCB＝＝.

9．【答案】2－π　
【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO.∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝120°.∵AB＝2，∴AO＝1，BO＝，∴S菱形ABCD＝AC·BD＝2AO·BO＝2，S扇形＝2·＝.∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形＝2－.
10．【答案】π－1　
【解答】如下图，连接OD并延长交⊙O于点M，连接OA并延长交⊙O于点N，∵边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，SMED＝SNAF，∴∠AOD＝90°且OA＝OD，∠ADO＝45°，∴OA＝OD＝AD·sin45°＝2×＝.∴S阴影＝S扇形MON－S△AOD＝－××＝π－1.

11．【解答】证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴△ABE∽△ADC；
(2)如解图，连接BD、OB、OC、OD.∵∠BAD＝∠CAD，
∴＝.
∵OD为半径，
∴OD⊥BC.
∵F为OD的中点，
∴BC为OD的垂直平分线，
∴OB＝BD，OC＝CD.
∵OB＝OC，
∴OB＝BD＝CD＝OC，
∴四边形OBDC是菱形．

12．【解答】(1)证明：如解图，连接OC，
∵OA＝OC，OD⊥AC，
∴OD是AC的垂直平分线．
∴PA＝PC.
在△PAO和△PCO中，
，
∴△PAO≌△PCO(SSS)．
∴∠PAO＝∠PCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)解：∵PC是⊙O的切线，
∴∠FCO＝∠PCO＝90°.
∵∠ABC＝60°，OB＝OC，
∴△OCB是等边三角形．
又∵AB＝10，∴OB＝OC＝5，
在Rt△FCO中，tan60°＝＝，
∴CF＝5.

13．【解答】 (1)证明：如解图，连接OB，
∵AC为⊙O的直径 ,
∴∠ABC＝90°.
又∵AB⊥PO,
∴PO∥BC.
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC.
而OB＝OC ，∴∠OBC＝∠C.
∴∠AOP＝∠POB.
在△AOP和△BOP中，

∴△AOP≌△BOP(SAS)．
∴∠OBP＝∠OAP.
∵PA为⊙O的切线．
∴∠OAP＝90°.
∴∠OBP＝90°.
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；

(2)证明：如解图，连接AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE＋∠OAE＝90°.
∵AD⊥ED，
∴∠EAD＋∠AED＝90°.
∵OE＝OA , ∴∠OAE＝∠AED.
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD.
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB.
∴E为△PAB的内心；
(3)解：∵∠PAB＋∠BAC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C .
∴cosC＝cos∠PAB＝.
在Rt△ABC中，cosC＝＝＝，
∴AC＝，∴AO＝.
易得△PAO∽△ABC ，∴＝.
∴PO＝·AC＝×＝5.