备考2022中考数学一轮专题复习学案24 统计

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备考2022中考数学一轮专题复习学案24
统计

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
平均数、众数、中位数
通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数来估计总体的平均数
常以选择题、填空题的形式考查总体、个体、样本、平均数、中位数、众数的概念和计算，以解答题的形式考查相关的计算和统计的基本思想
2
极差、方差
①探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度；
②通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的方差来估计总体的方差
常以选择题、填空题的形式考查方差、极差的概念和计算，以解答题的形式考查极差、方差的计算和用样本方差估计总体方差的统计思想
3
频数、频率与统计图表
①理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题；②会用扇形统计图表示数据，能根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点
多以选择题、填空题和解答题的形式考查频数、频率与统计图在实际生活中的应用，重点是考查读图、识图和用图能力

知识点1：平均数、众数、中位数


知识点梳理

1.调查方式：
（1）普查：为了某一特定目的，而对考察对象进行全面的调查，叫普查.
（2）抽样调查：抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况.
2.统计学中的几个基本概念：
（1）总体：所有考察对象的全体叫做总体．
（2）个体：总体中每一个考察对象叫做个体．
（3）样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．
（4）样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量．
（5）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数．
（6）总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数．
3.平均数的概念：
（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”．
（2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权．
4.平均数的计算方法：
（1）定义法：当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：
（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中．
（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：．
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，．是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）．
5.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
6.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．
7.中位数、众数、平均数都是描述一组数据的集中程度的特征数．
典型例题

【例1】（2019•鄂尔多斯6/24）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩线计表．
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
x
y
1
若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b，则a﹣b的值是（　　）
A．﹣5 B．﹣2.5 C．2.5 D．5
【答案】C．
【解答】解：∵平均数为23，
∴＝23，
∴25x+20y＝155，
即：5x+4y＝31，
∵x+y＝7，
∴x＝3，y＝4，
∴中位数a＝22.5，b＝20，
∴a﹣b＝2.5，
故选：C．
【例2】（2019·天津市20/25）某校为了解初中学生每天在校体育活动的时间（单位：h），随机调查了该校的部分初中学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组每天在校体育活动时间数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计的这组每天在校体育活动时间的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校每天在校体育活动时间大于1h的学生人数．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的初中学生人数为：4÷10%＝40，
m%＝＝25%，
故答案为：40，25；
（Ⅱ）平均数是：＝1.5，
众数是1.5，中位数是1.5；
（Ⅲ）800×＝720（人），
答：该校每天在校体育活动时间大于1 h的学生有720人．
知识点2： 极差、方差、标准差


知识点梳理

1.极差：一组数据中最大值与最小值的差．
2.方差的概念：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“”表示，即
3.方差的计算：
（1）基本公式：
（2）简化计算公式（Ⅰ）：
也可写成
此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
（3）简化计算公式（Ⅱ）：
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么，
此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．
（4）新数据法：原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差．
4.标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

5.方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小．
典型例题

【例3】（2019•鄂尔多斯12/24）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是　 　．
【答案】2．
【解答】解：数据的平均数＝（﹣1+0+1+2+3）＝1，
方差s2＝ [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝2．
故填2．
【例4】（2019·通辽12/26）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表：
日期
6月6日
6月7日
6月8日
6月9日
次品数量（个）
1
0
2
a
若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，a的方差等于 ．
【答案】．
【解答】解：∵出现次品数量的唯一众数为1，
∴a＝1，
∴==1，
∴S2＝＝，
故答案为．
知识点3： 频数、频率与统计图表


知识点梳理

1.统计图：是表示统计数据的图形，是数据及其之间关系的直观表现.常见的统计图有：
（1）条形统计图：条形统计图就是用长方形的高来表示数据的图形. 条形图能够显示每组中的具体数据；
（2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形. 折线图能够显示数据的变化趋势；
（3）扇形统计图：用一个圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分在总体中所占百分比大小，这样的统计图叫扇形统计图. 扇形图能够显示部分在总体中的百分比；
（4）频数分布直方图、频数折线图：能显示各组频数分布的情况，显示各组之间频数的差别．
2．频数分布直方图：
（1）把每个对象出现的次数叫做频数
（2）每个对象出现的次数与总次数的比(或者百分比)叫频率，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度．频率＝.
（3）频数分布表、频数分布直方图都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况
（4）频数分布直方图的绘制步骤是：
①计算最大值与最小值的差(即：极差)；
②决定组距与组数，一般将组数分为5～12组；
③确定分点，常使分点比数据多一位小数，且把第一组的起点稍微减小一点；
④列频数分布表；
⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
3.频率分布的意义：在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布．
4.研究频率分布的一般步骤及有关概念：
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念：
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率．
典型例题

【例5】（2019·河北省11/26）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（　　）
A．②→③→①→④ B．③→④→①→② C．①→②→④→③ D．②→④→③→①
【答案】D．
【解答】解：由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，
故选：D．
【例6】（2019·通辽22/26）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级最喜欢排球的人数为10人．
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目
排球
篮球
踢毽
跳绳
其他
人数（人）
7
8
14

6
请根据以上统计表（图）解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少人？
（2）补全统计表和统计图．
（3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现有124个毽子，能否够用？请说明理由．

【解答】解：（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占总数的百分比为：1﹣30%﹣16%﹣24%﹣10%＝20%，
又知九年级最喜欢排球的人数为10人，
∴九年级最喜欢运动的人数有10÷20%＝50（人），
∴本次调查抽取的学生数为：50×3＝150（人）．
（2）根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数有50﹣7﹣8﹣6﹣14＝15人，
那么八年级最喜欢跳绳的人数有15﹣5＝10人，
最喜欢踢毽的学生有50﹣12﹣10﹣10﹣5═13人，
九年级最喜欢排球的人数占全年级的百分比＝＝20%，
补全统计表和统计图如图所示；
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目
排球
篮球
踢毽
跳绳
其他
人数（人）
7
8
14
15
6

（3）不够用，理由：1800×÷4＝126，
∵126＞124，
∴不够用．
故答案为：15．
巩固训练

1．（2019·河南省7/23）某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　）

A．1.95元 B．2.15元 C．2.25元 D．2.75元
2.（2019•包头3/26）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（　　）
A．4 B． C．5 D．
3.（2019·通辽11/26）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是 ℃．

4.（2018·呼和浩特7/25）随着“三农”问题的解决，某农民近两年的年收入发生了明显变化，已知前年和去年的收入分别是60000元和80000元，下面是依据①②③三种农作物每种作物每年的收入占该年年收入的比例绘制的扇形统计图．依据统计图得出的以下四个结论正确的是（　　）

A．①的收入去年和前年相同
B．③的收入所占比例前年的比去年的大
C．去年②的收入为2.8万
D．前年年收入不止①②③三种农作物的收入
5.（2019·北京市8/28）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
时间t
人数
学生类型
0≤t＜10
10≤t＜20
20≤t＜30
30≤t＜40
t≥40
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中

25
36
44
11
高中






下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
6.（2019·安徽省6/23）在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（　　）

A．60 B．50 C．40 D．15
7.（2019•包头16/26）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
45
83
86
82
乙
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；
③甲班成绩的波动性比乙班小．
上述结论中正确的是　 　．（填写所有正确结论的序号）
8.（2019•赤峰16/26）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的统计表和折线统计图．

平均数
中位数
众数
甲
8
8
8
乙
8
8
8
你认为甲、乙两名运动员， 的射击成绩更稳定．（填甲或乙）

9.（2019·北京市15/28）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12 s02（填“＞”，“＝”或“＜”）
10.（2018·通辽13/26）一组数据2，x，1，3，5，4，若这组数据的中位数是3，则这组数据的方差是 ．
11. （2018·兴安盟呼伦贝尔23/26）为了了解某市八年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，某记者开展了一次抽样调査，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图

根据以上信息解答下列问题
（1）这次接受调查的八年级学生总人数为多少？
（2）扇形统计图中“动画”对应扇形的圆心角度数为多少？
（3）请补全条形统计图．
12.（2019·河南省18/23）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
a．七年级成绩频数分布直方图：

b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 人；
（2）表中m的值为 ；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
巩固训练参考答案

1. 【答案】C．
【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5×10%+3×15%+2×55%+1×20%＝2.25（元），
故选：C．
2. 【答案】B．
【解答】解：∵这组数据的众数4，
∴x＝4，
将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9
则中位数为：4.5．
故选：B．
3. 【答案】27．
【解答】解：根据7天的最高气温折线统计图，将这7天的最高气温按大小排列为：24，25，26，27，28，28，29，故中位数为27℃，
故答案为27．
4. 【答案】C．
【解答】解：A、前年①的收入为60000×＝19500，去年①的收入为80000×＝26000，此选项错误；
B、前年③的收入所占比例为×100%＝30%，去年③的收入所占比例为×100%＝32.5%，此选项错误；
C、去年②的收入为80000×＝28000＝2.8（万元），此选项正确；
D、前年年收入即为①②③三种农作物的收入，此选项错误；
故选：C．
5. 【答案】C．
【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；
②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在20﹣30 之间，故②正确．
③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10 的人数在 0﹣15 之间，当人数为 0 时中位数在 20﹣30 之间；当人数为 15 时，中位数在 20﹣30 之间，故③正确．
④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为 0﹣15，35，15，18，1，当0≤t＜10时间段人数为 0 时，中位数在 10﹣20 之间；当 0≤t＜10时间段人数为 15 时，中位数在 10﹣20 之间，故④错误．
故选：C．
6. 【答案】C．
【解答】解：由条形图知，车速40 km/h的车辆有15辆，为最多，所以众数为40，
故选：C．
7. 【答案】①②③．
【解答】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动性比乙班小．
故①②③正确，
故答案为：①②③．
8. 【答案】乙．
【解答】解：由统计表可知，
甲和乙的平均数、中位数和众数都相等，
由折线统计图可知，乙的波动小，成绩比较稳定，
故答案为：乙．
9. 【答案】=．
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴则s12＝S02．
故答案为：＝．
10. 【答案】．
【解答】解：∵按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，
∴x＝3，
∴这组数据的平均数是（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，
∴这组数据的方差是： [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝，
故答案为：．
11. 【解答】解：（1）这次接受调查的八年级学生总人数为（人；
（2）扇形统计图中“动画”对应扇形的圆心角度数为；
（3）．
12. 【解答】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，
故答案为：23；
（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，
∴m＝＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）甲学生在该年级的排名更靠前，
∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，
八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，
∴甲学生在该年级的排名更靠前．
（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400×＝224（人）．