2022届河南省南阳市第一中学校高三上学期第四次月考数学（文）试题含解析

2022届河南省南阳市第一中学校高三上学期第四次月考

数学（文）试题

一、单选题

1．若，（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将代入计算即可.

【详解】因为，所以.

故选：D.

2．设命题p：，q：，则p是q的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意求出两个不等式的解集，根据集合间的包含关系即可作出判断.

【详解】，

，且，

∵B真包含于A

是的必要不充分条件，

故选：B

3．设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（　　）

A．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m； B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β； D．若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.

【答案】C

【分析】对于选项A，B，D，举出符合选项条件的事例判断；对于C，推理说明判断作答.

【详解】对于A，在长方体中，令平面为平面，平面为平面，如图，

直线AB为直线l，直线为直线m，满足，而l与m不垂直，A不正确；

对于B，在A选项的长方体中，令平面为平面，平面为平面，

直线AB为直线l，直线为直线m，满足，而，B不正确；

对于C，过l作平面，如图，因，则，又，而，于是得，所以，C正确；

对于D，在A选项的长方体中，令平面为平面，平面为平面，

直线AB为直线l，直线AD，BC分别视为m，n，满足，而，D不正确.

故选：C

4．已知，，，则（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】先由已知条件得到，再利用两角差的正切公式求解即可.

【详解】由，得，即，由，可得，则，故．

故选：D．

【点睛】利用三角函数值求值（角）的关键：

（1）角的范围的判断；

（2）根据条件进行合理的拆角，如等；

（3）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小.

5．若，满足约束条件，则目标函数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先画出可行域，再根据的几何意义结合图形求解.

【详解】作出约束条件，表示的可行域如图所示，，其几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍．由解得．由图可知，的最大值为点到直线的距离的倍，即为；因为直线与可行域有公共点，所以的最小值为．

故选：C

6．在正六边形ABCDEF中，点P为CE上的任意一点，若，则（       ）

A．2 B． C．3 D．不确定

【答案】C

【分析】延长交于点，延长交于点，可推出，，所以有，然后利用平面向量共线的推论即可求出

【详解】

如图，延长交于点，延长交于点

设正六边形ABCDEF的边长为

则在中有，，

所以，所以有，同理可得

因为

所以

因为三点共线，所以有，即

故选：C

【点睛】遇到三点共线时，要联想到平面向量共线的推论：三点共线，若，则.

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（       ）

A． B． C．6 D．4

【答案】C

【分析】根据三视图还原几何体，再求最长的棱的长度即可.

【详解】如图所示，原几何体为三棱锥，

其中，

，

，

故最长的棱的长度为，

故选：C.

【点睛】本题考查由三视图还原几何体，涉及棱锥棱长的求解，属基础题.

8．函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（       ）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】根据图象求出函数的解析式，并将函数的解析式变形为，利用平移变换可得出结论.

【详解】由图象可知，，函数的最小正周期为，，

，

，，，得，，

，

因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.

故选：D.

【点睛】本题考查三角函数图象变换，解答的关键就是根据图象求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

9．在中，，则的形状是（       ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【分析】在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．

【详解】在中，，

又由余弦定理知，，

两式相加得：，

（当且仅当时取“” ，又，

（当且仅当时成立），为的内角，

，，又，

的形状为等边△．

故选：．

10．已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.

【详解】令，则，

在上单调递增，，即，，

，即；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

（当且仅当时取等号），，

即（当且仅当时取等号），，即；

综上所述：.

故选：D.

【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关的大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.

11．数列中，，，若不等式对所有的正奇数恒成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由取倒数，得，代入，得，求的最小值.

【详解】解：，

是等差数列，

，

不等式对所有的正奇数恒成立

，，

，

在上单调递增，

不等式对所有的正奇数恒成立，则实数的取值范围为：

故选：A

【点睛】考查数列通项公式的求法及不等式恒成立求参数的取值范围，中档题.

12．已知函数，，若，，则的最小值为（       ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可得，由在单调递增得，即，则，利用导数求出的最小值即可.

【详解】，① ，

，② ，

由① ②得，

因为当时，，

所以在单调递增，，则，.

令，则，

令，解得，令，解得，

故在单调递减，在单调递增，.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据方程的特点得出，即，将问题化为求得最小值.

二、填空题

13．已知函数，则_____

【答案】

【分析】先判断得，代入分段函数解析式计算得，再计算.

【详解】因为，所以，从而得.

故答案为：.

14．已知，若成等差数列，成等比数列，则的最小值是________．

【答案】

【解析】根据条件先分别用表示出，然后利用基本不等式求解出最小值.

【详解】因为成等差数列，所以，

又因为成等比数列，所以，

所以，取等号时，

所以的最小值为，

故答案为：.

【点睛】本题考查利用基本不等式求解最小值，其中还涉及到等差、等比数列的性质运用，难度一般.

15．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=________．

【答案】8

【详解】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.

【解析】导函数的运用.

【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．

16．已知三棱锥中，平面平面，若，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________.

【答案】

【分析】根据题意，分别找到等边外接圆的圆心和三角形外接圆圆心，即可找到三棱锥外接球球心，根据边长，即可求得外接球半径，代入公式，即可得答案．

【详解】如图所示，

因为，所以为等边三角形，取中点，连接，则外接圆圆心在上，设为，

由正三角形性质可得，外接圆半径，则，

在中，，，

所以，即，

由正弦定理得外接圆半径，

设外接圆圆心为，则，

所以四边形为菱形，

过作平面的垂线，过作平面的垂线，两线交于点，

则为三棱锥的外接球的球心，连接，

因为平面平面，且平面平面，，，

所以四边形为矩形，则，

所以三棱锥的外接球半径，

所以三棱锥的外接球的表面积．

故答案为：．

三、解答题

17．已知的内角、、的对边分别为、、，，平分交于点，且，.

（1）求；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）本题首先可以根据正弦定理边角互化得出，然后根据、、是的内角得出，最后通过计算即可得出结果；

（2）本题首先可以绘出的图像并设、，然后根据正弦定理得出，再然后根据同角三角函数关系计算出以及，最后根据余弦定理求出、，利用即可得出结果.

【详解】（1）因为，

所以，

因为，，

所以，，

故，解得，

（2）如图，绘出，

因为平分，所以，

因为，所以可设，，

故在中，有，即；

在中，有，即，

两式联立，可得，

因为，所以，

即，化简得，

联立，解得，

将代入中，可得，

故，，

在中，，

化简得，解得或（舍去）；

在中，，

化简得，解得或（舍去），

故.

【点睛】本题考查通过正弦定理以及余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查诱导公式以及两角差的正弦公式的使用，考查化归与转化思想，考查推理能力与计算能力，是难题.

18．设公差不为0的等差数列中，，且，，构成等比数列．

（1）求数列；

（2）若数列的前项和满足：，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由等比数中项可得，结合等差数列的通项公式可得出答案.

（2）由与的递推关系先求出的通项公式，然后由错位相减法求和.

【详解】（1）设数列的公差为，因为，，构成等比数列，所以，

所以或（舍）

所以．

（2）当，，当，，

∴，，

，

相减得，

所以

，即．

19．如图，在三棱锥中，，，，点D，E分别为AB，PC的中点.

（1）证明：平面ABC；

（2）设点F在线段BC上，且，若三棱锥的体积为，求实数的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由已知证明，再由直线与平面垂直的判定定理，可得平面；

（2）由向量等式关系可得，再由已知三棱锥的体积，空间几何图形的特点，结合等体积法可得，即可求出实数的值．

【详解】（1）证明：连接CD，

∵，，D为AB的中点，

∴，，

同理可得，，

∵，∴，

∵，∴平面ABC；

（2）∵，为的中点，

∴，

又，

所以在等腰三角形中，到的距离为，

所以,

又三棱锥的体积为，

∴

，

∴.

【点睛】关键点点睛：在解决第二问时，根据空间几何图形和得到是解题的关键点和突破点.

20．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x(亿元)与产品的直接收益y(亿元)的数据统计如下：

当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．

(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；

(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．

附： 刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程的截距：．

【答案】(1)对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元)；

(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.

【分析】(1)根据模型和相关系数公式计算比较即可，然后将x＝17代入较好的模型即可预测直接收益；

(2)根据回归方程过样本中心点()求出，再令x＝20算出预测的直接收益，即可算出投入20亿元时的总收益，与(1)中的投入17亿元的直接收益比较即可.

【详解】(1)对于模型①，对应的，

故对应的，

故对应的相关指数，

对于模型②，同理对应的相关指数，

故模型②拟合精度更高、更可靠.

故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为(亿元).

另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型②拟合精度更高、更可靠.

(2)当时，

后五组的，，

由最小二乘法可得，

故当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为：

，

故投入17亿元比投入20亿元时收益小.

21．已知椭圆过点，且离心率.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设C的左､右焦点分别为，，过点作直线l与椭圆C交于A，B两点，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入椭圆方程可得，再由离心率，联立求解；

（2）设直线l的方程为，将直线l的方程代入中，然后由，结合韦达定理求得m，再由求解.

【详解】(1)解：将代入椭圆方程可得，即①

因为离心率，即，②，

由①②解得，，

故椭圆C的标准方程为.

(2)由题意可得，，设直线l的方程为，

将直线l的方程代入中，得，

设，，则，.

所以，，

所以，

，

，

，

，

由，解得，

所以，，

因此.

22．已知函数，，其中

(1)若，且的图象与的图象相切，求的值；

(2)若对任意的恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）求导得到，根据切线方程公式得到，解得答案.

（2）令，考虑和，根据导数的正负得到函数单调性，计算最小值得到，令，求导得到单调区间，计算最值得到答案.

【详解】(1)因为的图象与的图象相切，设切点为，

又，所以，解得，.

(2)因为等价于，令，

当时，对于任意正实数恒成立，单调递增，

故由得，此时

当时，由，得，

又当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以当时，有最小值，

所以，即，所以，

令，则，，

当时，，为增函数，

当时，，为减函数，

所以，故，所以的最大值为1，此时，

综上所述，的最大值为1.

【点睛】本题考查了切线问题和利用导数解决恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，其中分类讨论和将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键.