2022届江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学高三上学期12月联考数学试卷含解析

江苏省苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学

2021－2022学年第一学期12月阶段检测

高三数学

参考公式：线性回归方程ŷ＝x＋，其中＝，＝－．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足z(1－i)＝2i，其中i为虚数单位，则|z|＝

A．1             B．               C．2              D．4

2．若集合A，且BA，则满足条件的集合B的个数是

A．5                B．6                C．7              D．8

3．若为等比数列，则“”是“s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)”的

A．充要条件                    B．充分不必要条件

C．必要不充分条件              D．既不充分又不必要条件

4．若*)的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为

A．6              B．12              C．24            D．48

5．已知平面向量a，b满足，a与b的夹角为45°，(λb－a)⊥a，则实数λ的值为

A．2              B．－2             C．             D．

6．若，则的值为

A．           B．            C．              D．

7．设k∈R，点A为两直线kx＋y＝0与x－ky＋2k－2＝0的交点，点B为圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝2上的动点，则|AB|的最大值为

A．            B．            C．        D．

8．若不等式对x∈(0，＋∞)恒成立，其中e为自然对数的底

数，则实数a的取值范围为

A．(－∞，2)        B．(－∞，2]        C．(2，＋∞)      D．[2，＋∞)

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知定义在R上的函数则

A．f(x)是奇函数                      B．f(x)是偶函数

C．对任意x∈R，f(f(x))＝－4          D．f(x)的图象关于直线对称

10．已知函数，则下列说法正确的有

A．点为f(x)的图象的一个对称中心

B．对任意x∈R，函数f(x)满足

C．函数f(x)在区间(0，π)上有且仅有1个零点

D．存在，使得f(x)在)上单调递增

11．已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为ŷ＝3x＋4.5，且，又增加了2次实验，得到2个数据点(2，11)，(6，22)，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为ŷ＝mx＋n(其中m，n∈R)，则

A．变量y与x正相关               B．m＜3

C．n＜4.5                         D．回归直线ŷ＝mx＋n经过点(4，16.5)

12．已知实数a，b满足等式，则下列不等式中可能成立的有

A．a＜b＜0          B．b＜a＜0         C．0＜a＜b         D．0＜b＜a

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的焦点到渐近线的距离为        ．

14．若数列满足*)，则的值为        ．

15．在如图所示的四边形区域ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝2，∠B＝∠C＝120°，现园林绿化师计划在区域外以AD为边增加景观区域ADM，当∠AMD＝135°时，景观区域ADM面积的最大值为        ．

16．已知在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，且底面ABCD是等腰梯形，BC//AD，若SD＝AD＝8，BC＝6，AB＝CD＝，则四棱锥S－ABCD的体积为        ；它的外接球的半径为        ．(第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)

设数列的前n项和为，且满足N*)，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

18．(本小题满分12分)

如图，在正方体中，E为棱的中点．

(1)求证：∥平面EAC；

(2)求直线与平面EAC所成角的正弦值．

19．(本小题满分12分)

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinBcosA＞sinC．

(1)求证：B为钝角；

(2)若△ABC同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③a＝2；

④．请证明使得△ABC存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b的值．

20．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：)的离心率为，且过点(2，3)．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设A为椭圆C的左顶点，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

21．(本小题满分12分)

AMC是美国数学竞赛(American  Mathematics Competitions)的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级(相当于高一年级)及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1．5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题(依次记为T1，T2，T3，T4，T5)均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．

(1)已知甲只能排除T1，T2，T3中每道题的1个错误选项，若甲决定作答T1，T2，T3，放弃作答T4，T5，求甲的总分不低于135的概率；

(2)已知乙能排除T1，T2，T3中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项．

①问乙采用怎样的作答策略(即依次确定后5道题是否作答)可使其总分的数学期望最大，并说明理由；

②在①的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．

22．(本小题满分12分)

已知函数，g(x)＝f(x)－x，a∈R．

(1)若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求a的最大值；

(2)当a取(1)中所求的最大值时，讨论g(x)在R上的零点个数，并证明．