专题十五 二次函数与面积问题-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

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专题十五   二次函数与面积问题 1．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MNON的最小值．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解；（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KNON，可得MNON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．【解析】（1）∵直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣2），设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），∴﹣2＝﹣4a，∴a，∴抛物线解析式为：y（x+1）（x﹣4）x2x﹣2；（2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P，∵OP∥AB，∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形，∴S△PAB＝S△ABO，∵OP∥AB，∴直线PO的解析式为yx，联立方程组可得，解得：或，∴点P（2+2，1）或（2﹣2，1）；当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，∴S△ABP''＝S△ABO，∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），∴直线EP''解析式为yx﹣4，联立方程组可得，解得，∴点P''（2，﹣3），综上所述：点P坐标为（2+2，1）或（2﹣2，1）或（2，﹣3）；（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），∴MFm﹣2﹣（m2m﹣2）（m﹣2）2+2，∴△MAB的面积4×[（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，∴点M（2，﹣3），如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，∴KNON，∴MNON＝MN+KN，∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP，∵∠KOB＝30°，∴直线OK解析式为yx，当x＝2时，点Q（2，2），∴QM＝23，∵OB∥QM，∴∠PQM＝∠PON＝30°，∴PMQM，∴MNON的最小值为．2．（2021•新疆）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；②是否存在点P，使S△A′MNS△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，求出点B的坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）①根据△A′MN在△OAB内部，构建不等式即可解决问题．②求出直线OA，AB的解析式，求出MN，利用面积关系构建方程即可解决问题．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∴OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，∴B（3，﹣1），把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2， （2）①如图1中，∵B（3，﹣1），∴直线OB的解析式为yx，∵A（1，3），∴C（1，），∵P（1，m），AP＝PA′，∴A′（1，2m﹣3），由题意3＞2m﹣3，∴3＞m． ②当点P在x轴上方时，∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，∵P（1，m），∴M（，m），N（，m），∴MN，∵S△A′MNS△OA′B，∴•（m﹣2m+3）•|2m﹣3|×3，整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|解得m＝6（舍弃）或6，当点P在x轴下方时，同法可得•（3﹣m）•（3m）[（2m﹣3）]×3，整理得：3m2﹣12m﹣1＝0，解得m或（舍弃），∴满足条件的m的值为6或．3．如图抛物线经过点，点，且．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．【分析】（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；（3），即可求解．【解答】解：（1），点，则抛物线的表达式为：，故，解得：，故抛物线的表达式为：①；（2）的周长，其中、是常数，故最小时，周长最小，取点关于函数对称点，则，取点，则，故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，四边形的周长的最小值；（3）如图，设直线交轴于点，直线把四边形的面积分为两部分，又，则，或，则或，即：点的坐标为，或，，将点、的坐标代入一次函数表达式：，解得：或，故直线的表达式为：或②联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去），故点的坐标为或．4．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设，则，由得出比例线段，可表示的长，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；（3）过点作轴交于点，由即可求解．【解答】解：（1）抛物线经过，，把、两点坐标代入上式，，解得：，故抛物线函数关系表达式为；（2），点，，正方形中，，，，，，又，，，设，则，，，，时，线段长有最大值，最大值为．即时，线段有最大值．最大值是．（3）存在．如图，过点作轴交于点，抛物线的解析式为，，，点坐标为，设直线的解析式为，，，直线的解析式为，设，则，，，，时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．5．  如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点在直线下方时，求面积的最大值．（3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；（2），即可求解；（3）分、，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线倾斜角，进而求解．【解答】解：（1）函数的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，故抛物线的表达式为：①；（2）设直线与轴交于点，设点，将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：直线的表达式为：，则，，，故有最大值，当时，其最大值为；（3），，，故与相似时，分为两种情况：①当时，，，，过点作与点，，解得：，则，则，则直线的表达式为：②，联立①②并解得：（舍去负值），故点，②时，，则直线的表达式为：③，联立①③并解得：，故点，；综上，点，或，．6．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．【分析】（1）因为对称轴是直线，所以得到点的对称点是，因此利用交点式，求出解析式．（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）抛物线对称轴是直线且经过点由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点设抛物线的解析式为即：把代入得：抛物线的解析式为：．（2）设直线的解析式为，，，，直线为，作轴于，交直线于，设，则，，．当时，，，的面积的最大值为，此时点的坐标为，7．（2021•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．（1）求此抛物线的表达式；（2）若PC∥AB，求点P的坐标；（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB，确定点A、B、C的坐标；即可求解；（2）抛物线的对称轴为x，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHCPH×OA，即可求解．【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB，故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；则y＝a（x+4）（x）＝a（x2x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2x﹣2；（2）抛物线的对称轴为x，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（，﹣2）； （3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx﹣2，则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHCPH×OA4×（x﹣2﹣x2x+2）＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．