专题1.3 平行四边形的性质与判定-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试专题复习（人教版）

专题1.3 平行四边形的性质与判定（精讲精练）

【知识梳理】

1.平行四边形的性质：

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．

②角：平行四边形的对角相等．

③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．

2.平行四边形的判定 ：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC

∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

符号语言：∵AB=DC，AD=BC

∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB=DC

∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB

∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言：∵OA=OC，OB=OD

∴四边行ABCD是平行四边形．

3.三角形的中位线：

（1）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：

如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点  
∴DE∥BC，

【典例剖析】

【考点1】平行四边形边和角的性质

【例1】（2019春•西湖区校级期中）如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是　　

A． B． C． D．

【分析】由中，，，，根据平行四边形的性质，可求得；又由平分，易求得，，继而可求得，．

【解析】解：四边形是平行四边形，，

，，，，

，故正确；

平分，

，

，

，故错误；

，

，故正确；

，

，故正确．

故选：．

【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．

【变式1-1】（2019春•长春期中）如图，在中，于点，于点，，且，则的周长是__________

【分析】要求平行四边形的周长就要先求出、的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．

【解析】解：，

，

，

则，，

设，则，

在中，

根据勾股定理可得，

同理可得

则平行四边形的周长是，

【变式1-2】已知：在平行四边形中，，则的度数是__________

【分析】先根据平行四边形的性质得出，，可求出的度数．

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，

，

，，

故选：．

【变式1-3】（2019春•灵宝市期中）如图，在中，连接，，，则的长是（     ）

A． B．2 C． D．4

【分析】根据平行四边形的性质可得出、，由等角对等边可得出，再构造直角三角形利用勾股定理即可求出的长度．

【解析】解：作于点，

四边形是平行四边形，

，，，

，，

，，

故选：．

【考点2】平行四边形的对角线

【例2】（2019春•江城区期中）在平行四边形中，对角线与相交于点，，，，那么的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据平行四边形的性质求出、，根据三角形的三边关系定理得到，代入求出即可．

【解析】解：四边形是平行四边形，，，

，，

在中，，

，

．

故选：．

【点睛】本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出、后得出是解此题的关键．

【变式2-1】（2019秋•市南区期中）如图，在中，，，、相交于点．交于，则的周长为　　

A． B． C． D．

【分析】先判断出是的中垂线，得出，从而可得出的周长，即可得出答案．

【解析】解：在中，点是中点，，

是线段的中垂线，

，

的周长．

故选：．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及中垂线的性质等，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

【变式 2-2】（2019春•思明区校级期中）平行四边形的一条边长为8，则它的两条对角线可以是　　

A．6和12 B．6和10 C．6和8 D．6和6

【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得与的长，然后根据三角形的三边关系，即可求得答案．

【解析】解：如图：四边形是平行四边形，

，，

若，

根据三角形三边关系可得：．

、6和12，则，，能组成三角形，故本选项符合题意；

、6和10，则，不能组成三角形，故本选项不符合题意；

、6和8，则，不能组成三角形，故本选项不符合题意；

、6和6，则，不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：．

【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形三边关系，解题的关键是注意掌握平行四边形的对角线互相平分，注意三角形三边关系知识的应用．

【变式2-3】（2019春•西湖区校级期中）如图，的周长为，，相交于点，交于点，则的周长为　　

A．30  B． C． D．20

【分析】根据平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，结合可说明是线段的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则，再利用平行四边形的周长为可得，进而可得的周长．

【解析】解：四边形是平行四边形，

，，，

又，

是线段的中垂线，

，

，

的周长为，

，

的周长，

故选：．

【考点3】平行四边形的判定方法

【例3】（2019春•中山市校级期中）给四边形添加条件，使之成为平行四边形，下面添加的条件不能得到四边形是平行四边形的是　　

A．， B．， 

C．， D．与相互平分

【分析】由平行四边形的判定依次判断，可求解．

【解析】解：、若，，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故选项不合题意；

、若，，不能判定四边形是平行四边形，故选项符合题意；

、若，，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故选项不合题意；

、若与相互平分，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，故选项不合题意；

故选：．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

【变式3-1】（2019春•鼓楼区校级期中）下列选项中，不能判定四边形是平行四边形的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断，即可得出答案．

【解析】解：、由，可以判断四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；

、由，可以判断四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；

、由，不能判断四边形是平行四边形；故本选项符合题意；

、由，可以判断四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；

故选：．

【变式3-2】（2019春•鄂城区期中）在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，若存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的点坐标中，错误的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据平行四边形的判定，分三种情况即可得出结果．

【解析】解：当以为对角线时，点的坐标为；

当以为对角线时，点的坐标为；

当以为对角线时，点坐标为；

综上所述，点的坐标为或或；

故选：．

【变式3-3】（2019春•鄂城区期中）下列条件中，能判定四边形为平行四边形的个数是　　

①，；②，；③，；④，

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据平行四边形的判定定理①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．

【解析】解：①，，不能判定四边形为平行四边形；

②，；能判定四边形为平行四边形；

③，；不能判定四边形为平行四边形；

④，；不能判定四边形为平行四边形；

能判定四边形为平行四边形的个数有1个，

故选：．

【考点4】三角形的中位线

【例4】（2019秋•卧龙区期中）如图，在中，，、、分别是边、、的中点，若，则四边形的周长为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】根据三角形的中点的概念求出、，根据三角形中位线定理求出、，计算得到答案．

【解析】解：点是的中点，，

，

是边的中点，

，

、分别是边、、的中点，

，

同理，，

四边形的周长，

故选：．

【变式4-1】（2019秋•长春期中）如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【解析】解：在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，

，分别是与的中位线，

，，

，

，

故是等腰三角形．

，

．

故选：．

【变式4-2】（2019春•秦淮区期中）如图，在四边形中，，、、分别是、、的中点，若，，则等于_________

【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

【解析】解：、分别是、的中点，

，，

，

、分别是、的中点，

，，

，

，

，

，

。

【变式4-3】（2019春•广东期中）如图，的周长为32，点、都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，则的长为___________

【分析】首先判断、是等腰三角形，从而得出，，由的周长为32，及，可得，利用中位线定理可求出．

【解析】解：平分，，

，

，，

，

，同理：，

点是中点，点是中点（三线合一），

是的中位线，

，

，

．

故选：．

【考点5】两平行线间的距离

【例5】（2019春•琼中县期中）如图所示，，，，，、为垂足，则下列说法中错误的是　　

A． 

B．、两点间的距离就是线段的长 

C． 

D．、间的距离就是线段的长

【分析】根据垂线段最短、平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．

【解析】解：、，，

，故本选项说法正确；

、是线段，

、两点间距离就是线段的长度，故本选项说法正确；

、，，，

，故本选项说法正确；

、于点，

与两平行线间的距离就是线段的长度，故本选项说法错误．

故选：．

【变式5-1】（2019春•防城港期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是　　

A． 

B． 

C．，两点之间的距离就是线段的长 

D．直线，之间的距离就是线段的长

【分析】根据垂线的性质以及两点之间的距离定义以及两直线之间的距离定义分别分析得出即可．

【解析】解：、，，，故此选项正确，不符合题意；

、，，四边形是平行四边形，，故此选项正确，不符合题意；

、、两点的距离就是线段的长，此选项正确，不符合题意；

、直线、间的距离就是线段的长，故此选项错误，符合题意．

故选：．

【变式5-2】（2019秋•田家庵区期中）如图，已知，、分别平分和，于点，且，则、之间的距离为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】要求二者的距离，首先要作出二者的距离，作，，根据角平分线的性质可得，，即可求得与之间的距离．

【解析】解：作，延长与交于点，

，垂直，

就是与之间的距离．

平分线的交点，交于，

，

与之间的距离等于．

故选：．

【考点6】有关平行四边形性质的综合问题

【例6】（2019秋•南岸区校级期中）已知：平行四边形中，，对角线．

（1）如图1，若，求平行四边形的面积．

（2）如图2，连接交于点，过点作于，连接．求证：．

【分析】（1）由已知条件得到是等腰直角三角形，求得，根据平行四边形的面积公式即可得到结论；

（2）过作于，根据全等三角形的判定和性质得到，，设，由勾股定理得到，，解直角三角形即可得到结论．

【解析】解：（1），，

是等腰直角三角形，

，

，

平行四边形的面积；

（2）过作于，

，

，

，

平行四边形中，，

，

，，

，，

是等腰直角三角形，

设，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

【变式6-1】（2019春•思明区校级期中）已知：如图，点、分别为的边、上的点，且，求证：．

【分析】证明，即可得出结论．

【解析】证明：四边形是平行四边形，

，，

在和中，，

，

．

【变式6-2】（2019春•思明区校级期中）（1）如图（1），在平行四边形中，，垂足分别为，求证：．

（2）如图（2），在平行四边形中，、是两条对角线，请探究：，，，之间的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）利用平行四边形的性质，判定，即可得到；

（2）分别过，作交延长线于，于．根据勾股定理可得：①，②，③，④，②代①，④代③，两式相加即可得到结论；

【解析】（1）证明：平行四边形中，，，

，，，

在和中，，

，

；

（2）解：；理由如下：

分别过，作交延长线于，于．如图2所示：

根据勾股定理可得：①，②，

③，④，

四边形是平行四边形，

，

又，，

，，在和中，，

，

，而，

把②代①，④代③，可得：

两式相加，可得：．

【考点7】有关平行四边形判定的综合问题

【例7】（2019春•金乡县期中）如图，四边形的对角线、交于点，已知是的中点，，

（1）求证：；

（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．

【分析】（1）由与平行，得到两对内错角相等，再由为的中点，得到，又，得到，利用即可得证；

（2）若，则四边形为矩形，理由为：由，得到，即，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证．

【解析】（1）证明：，

，，

为的中点，

，

，

，

即，

在和中，，

，

；

（2）若，则四边形是矩形，理由为：

证明：，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

平行四边形为矩形．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

【变式7-1】（2019春•北碚区校级期中）已知如图，点、在线段上，，，．

（1）若，，求的长；

（2）求证：四边形是平行四边形．

【分析】（1）由勾股定理和直角三角形的性质即可得出答案；

（2）求出，再证明，得出，即可得出结论．

【解析】（1）解：，

，

，

；

（2）证明：，

，

，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

，

四边形是平行四边形．

【变式7-2】（2019春•常熟市期中）如图，，，分别为、上的点，连接，分别为、相交于点，．，．

（1）求证：；

（2）求证：四边形是平行四边形．

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可得到结论．

【解析】证明：（1），

，

，

在与中，

，

；

（2），

，

，

，

，

四边形是平行四边形．

【考点8】平行四边形的综合问题

【例7】（2019春•萧山区期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以每秒的速度在射线上运动到点返回，动点从点出发，在线段上，以每秒1cm的速度向点运动，点，分别从点，同时出发．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒．

（1）当为何值时，四边形是平行四边形．

（2）是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意已知，，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，因为、点的速度已知，、的长度已知，要求时间，用时间路程速度，即可求出时间；

（2）使是等腰三角形，可分三种情况，即、、；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间．

【解析】解：（1）设运动时间为秒．

四边形是平行四边形

当从运动到时，

，，

，．

解得

当从运动到时，

，

，

解得，

当或秒时，四边形是平行四边形；

（2）是等腰三角形有三种情况，

Ⅰ．当时

作于，则，

当从运动到时时，

由得，

解得秒；

当点从向运动时，观察图象可知，只有由题意：，

解得秒．

Ⅱ．当，当从运动到时时，

，，

解得（秒；

Ⅲ．当，当从运动到时，

则，

即

△，

方程无实根，

综上可知，当秒或秒或秒时，是等腰三角形．

【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．

【变式7-1】（2018春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形中，，，，过对角线的中点的直线分别交、于点、，交的延长线于点，交的延长线于点，连结、．

（1）证明：四边形为平行四边形；

（2）求的长度；

（3）求四边形的面积．

【分析】（1）利用平行四边形的性质得出即可得出，进而得出，得出，即可得出结论；

（2）证明，得出，即可求出；

（3）利用平行四边形的面积公式求出平行四边形的面积，再判断出即可．

【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

，，

是平行四边形的对角线的交点，

，

在和中，，

，

，

，

四边形为平行四边形；

（2）解：，，

，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，在和中，，

，

，

，；

（3）解：过点作于，如图所示：

在中，，，

，

，

，，

，

易证：，

，

．

【变式7-2】（2018春•定州市期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．

（1）经过多少时间，四边形能成为平行四边形？

（2）在（1）的条件下，连结、、和垂直吗，为什么？

【分析】（1）当时，四边形为平行四边形，由此构建方程即可解决问题；

（2）只要证明四边形是菱形即可解决问题；

【解析】解：设点、运动时间为秒，

则，，

，

（1）

当时，四边形为平行四边形，

，解得

即运动时，四边形为平行四边形

（2）在（1）中，当运动时间为时，四边形为平行四边形，

这时，则有

四边形为菱形，