专题1.4 特殊的平行四边形-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试专题复习（人教版）

专题1.4特殊的平行四边形（精讲精练）

【知识梳理】

1.菱形的性质：

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的___________都相等；

③菱形的两条对角线_________，并且每一条对角线___________；

④菱形是___________图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积=．（a、b是两条对角线的长度）

2.菱形的判定：

①菱形定义：______________________的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；
②___________都相等的四边形是菱形．

③______________________的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
3.矩形的性质：

（1）矩形的定义：______________________的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是_______；

③边：邻边______；
④对角线：矩形的对角线______________________；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

4. 矩形的判定：
①矩形的定义：___________的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③___________的平行四边形是矩形（或“______________________的四边形是矩形”）

5. 正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线______________________，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

6.正方形的判定：

正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

【典例剖析】

【考点1】菱形的性质

【例1】（2019秋•滕州市期中）如图，四边形是菱形，，，于，则等于　　

A． B． C．4 D．5

【变式1-1】（2019秋•高州市期中）菱形的边长是，一条对角线的长是，则另一条对角线的长约是　　

A． B．1  C． D．

【变式1-2】（2019秋•会宁县期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则　　

A． B． C． D．

【考点2】菱形的判定条件

【例2】（2019秋•历下区期中）下列条件中，能判断四边形是菱形的是　　

A．对角线互相平分且垂直的四边形 

B．对角线互相垂直的四边形 

C．对角线互相垂直且相等的四边形 

D．对角线相等的平行四边形

【变式2-1】（2018秋•太原期中）如图，中，点是边上的一点，过点作，，分别交，于点，，连按．若四边形是菱形，则线段应满足的条件是　　

A．平分 B． 

C．是边上的中线 D．

【变式2-2】（2017春•涿州市校级期中）如图，等边沿射线向右平移到的位置，连接、，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形是菱形；④．其中正确的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点3】矩形的性质

【例3】（2019秋•城固县期中）如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，若点是中点且，则下列结论正确的个数为　　

（1）是等边三角形；

（2）；

（3）；

（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式3-1】（2019秋•景泰县校级期中）如图，点是矩形的边上一动点，矩形两边长、长分别为15和20，那么到矩形两条对角线和的距离之和是　　

A．6 B．12 C．24 D．不能确定

【变式3-2】（2019秋•兰州期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是　　

A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 

C．对角线互相平分 D．对边平行且相等

【变式3-3】（2019春•海淀区校级期中）如图，矩形和矩形，点在边上，设矩形和矩形的面积分别为、，则与的大小关系为　　

A． B． C． D．

【考点4】矩形的判定条件

【例4】（2019春•越秀区校级期中）下列关于平行四边形的叙述，一定正确的是　　

A．若，则平行四边形是矩形 

B．若，则平行四边形是矩形 

C．若，则平行四边形是菱形 

D．若，则平行四边形是矩形

【变式4-1】（2019春•莱州市期中）如图，下列条件不能判定四边形是矩形的是　　

A． B．，， 

C．， D．

【变式4-2】（2018秋•温县期中）如图，已知点为的边上的中点，连接并延长到，使得，要使四边形为矩形，中需添加的条件是　　

A． B． C． D．

【考点5】直角三角形斜边的中线

【例 5】（2019秋•铜山区期中）如图，在中，是斜边上的中线，，垂足为．如果，那么　 　．

【变式5-1】（2019春•洛阳期中）如图，在中，，，，点是斜边的中点，连接，则的长度为　　．

【变式5-2】（2019春•金乡县期中）如图，在中，，是边上的中线，于，交的延长于，若，则的度数为　　  

【考点6】正方形的性质

【例6】（2019秋•武城县期中）如图，以为边在正方形内部内部作等边，连接，，则　　    ．

【变式6-1】（2019秋•新北区期中）如图所示，大正方形是由4个全等的直角三角形，再加上中间的那个小正方形组成的．若小正方形的边长是17，每个直角三角形的短的直角边长是7，则大正方形的面积是　    　．

【变式6-2】（2019秋•防城区期中）如图，正方形的边长为4，点，分别在，上，若，且，则的长为　　    ．

【变式6-3】（2019秋•九江期中）如图，、、、是一组平行线，且每两条相邻平行线间的距离均为1，正方形的四个顶点分别落在这四条直线上，则正方形的面积为　　     ．

【考点7】菱形的性质与判定综合问题

【例7】（2019春•丹江口市期中）如图，中，是角平分线，交于点，交于点．

（1）试判断四边形的形状．

（2）当满足　　条件时，；当满足　　条件时，．

【变式7-1】（2019秋•高新区期中）已知：如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，、、分别是对角线上的四等分点，顺次连接、、、．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当平行四边形满足　　条件时，四边形是菱形；

（3）若，探究四边形的形状，并说明理由．

【变式7-2】（2019秋•滕州市期中）如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求菱形的面积．

【考点8】矩形的性质与判定综合问题

【例8】（2019秋•罗湖区校级期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若是边长为4的正三角形，求四边形的面积．

【变式8-1】（2019春•崇川区校级期中）如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）连接交于点，当，时，求菱形的面积．

【变式8-2】（2019春•泉山区校级期中）如图，的中线、、相交于点，、分别是、的中点．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）①当与满足条件           时，四边形是矩形；

②当与满足条件　            　时，四边形是菱形．

【考点9】四边形综合问题

【例9】（2019春•中山市期中）如图，点是正方形对角线上一点，，，垂足分别为，，若正方形的周长是．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）求四边形的周长；

（3）当的长为多少时，四边形是正方形？

【变式9-1】（2019春•南昌期中）如图，在矩形中，，，菱形的三个顶点、、分别在矩形的边、、上，，连接．

（1）当时，求证：四边形是正方形；

（2）当的面积为2时，求的值．

【变式9-2】（2015春•宝应县期中）在中，，以斜边为边向形外作正方形，若正方形的对角线交于点（如图

（1）求证：平分．

（2）试猜想线段与，之间的数量关系，请写出结论并证明．

（3）过点作于，过点作于，和的反向延长线交于点（如图，求证：四边形为正方形．