专题训练21：三角形-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求（含答案）

这是一份专题训练21：三角形-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求（含答案），共18页。试卷主要包含了知识要点，常见考点，专题训练等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练21：三角形（含答案）
一、知识要点：
1、三角形的基本概念
(1)三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
(2)三角形的分类
①按边之间的关系分：
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
②按角分类：
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
(3)三角形的三边之间的关系
三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
(4)三角形的高、中线、角平分线
(5)三角形的稳定性
(6)三角形的角
①三角形的内角和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。
②三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角和等于360°。
2、特殊三角形
(1)等腰三角形
①等腰三角形的性质
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)。
②等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)。
(2)等边三角形
①等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。
②等边三角形的判定
三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
(3)直角三角形
①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
②勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
③勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
二、 课标要求：
1、理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
2、探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。
3、了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
4、探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。
5、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。6、探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
三、常见考点：
1、三角形的概念、三边关系、内角和、外角与内角的关系、稳定性。
2、三角形的高、中线、角平分线及对应的性质。
3、等腰三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定。
4、直角三角形的概念、性质，勾股定理及其逆定理。
5、三角形相关性质的综合应用。
四、专题训练：
1．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AD⊥BE，若AO：OD＝2：1，BO：OE＝2：1，那么AB的长为（　　）

A． B．5 C． D．
3．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠ACD的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．75°
5．将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

6．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（　　）
①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．7
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
9．在△ABC中，点M，N分别是边AC和BC的中点，△CMN的面积等于1，则四边形MNBA的面积是　 　．
10．如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝　 　．

11．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　 　．
12．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　 　度．
13．如图，在▱ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F；点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为　 　．

14．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　 　．

15．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝　 　°．

16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为　 　．

17．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为：
（2）若△DEF三边的长分别为、2、，请在图①的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．
（3）利用第（2）小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF被分割成7个部分，其中正方形ABQP，CDRQ，EFPR的面积分别为13，20，29，且△PQR、△BCQ、△DER、△APF的面积相等，求六边形绿化区ABCDEF的面积．

18．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．
（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为　 　．
（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为　 　．




19．（1）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝68°，则∠A＝　 　．
（2）方程2x﹣1＝7的根是　 　．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．

21．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
同理得，S△DEC＝S△ADC，S△DEB＝S△ADB，
∴S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝16，
∴S△BEF＝4，
即阴影部分的面积为4．
故选：B．

2．解：∵AO：OD＝2：1，BO：OE＝2：1，
根据三角形的重心可知：
点O是△ABC的重心，
∴点D、E是BC、AC的中点，
∴AE＝AC＝
BD＝BC＝2
设OD＝x，则AO＝2x，
设OE＝y，则BO＝2y，
∵AD⊥BE，
∴在Rt△AOE和Rt△BOD中，根据勾股定理，得
AO2+OE2＝AE2，BO2+OD2＝BD2
即4x2+y2＝①
4y2+x2＝4②
①+②得x2+y2＝
在Rt△AOB中，
AB＝＝＝2＝
答：AB的长为．
故选：A．
3．解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
4．解：∵DE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝30°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
∵∠ECD＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣15°＝75°，
故选：D．
5．解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝45°．
∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，
∴∠DEF＝30°．
∵EF∥BC，
∴∠EDC＝∠DEF＝30°，
∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
6．解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF，AF＝AE，故②正确，
∠BAE＝∠CAF，
∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，
∴∠1＝∠2，故①正确，
∵△ABE≌△ACF，
∴AB＝AC，
又∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C
△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，
CD＝DN不能证明成立，故④错误
∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE，
∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，
故选：C．
7．解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，
∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，
∵EF＝2，
∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5，
故选：B．
8．解：当DP⊥BC时，DP的长最小，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＝90°，
∴当DP⊥BC时，DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值是4，
故选：A．
9．解：∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥AB，且AB＝2MN，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝（）2＝4，
∴S△CAB＝4S△CMN＝4，
∴S四边形ABNM＝S△CAB﹣S△CMN＝4﹣1＝3．
故答案为：3．

10．解：∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF，
∴BE＝3EF，
∵FG∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴＝，＝（）2＝，
∴S1：S2＝；
故答案为：．
11．解：作△ABC的外接圆，如图所示：
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，
当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，
∴AC＝，
∴BC＝；
当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC长的取值范围是4＜BC≤；
故答案为：4＜BC≤．

12．解：分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，

∵∠B＝30°，
∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，

∵∠A＝50°，∠B＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60或10；
13．解：①当BM＝AB时，设AB＝AC＝m，则BM＝m，
∵O是两条对角线的交点，
∴OA＝OC＝AC＝m，
∵∠B＝30°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB＝，即cos30°＝，
∴FC＝m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠FCA，
又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝FC＝m，
∴OE＝AE＝m，
∴S△AOE＝OA•OE＝××m＝m2，
作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC，
∴BN＝CN＝BC，
∵BN＝AB＝m，
∴BC＝m，
∴BF＝BC﹣FC＝m﹣m＝m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B＝30°，
∴MH＝BM＝m，
∴S△BMF＝BF•MH＝×m×m＝m2，
∴＝＝．
②当BM＝AB时，同法可得＝
故答案为或．

14．解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP＝BC＝×9＝4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s），
∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，
∴，
解得：v＝3；
∴v的值为：2.25或3，
故答案为：2.25或3
15．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中

∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠ABD＝90°，
∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝90°，
故答案为90．

16．解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，
∵CD＝3，BD＝8，
∴AD＝8，DF＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
17．解：（1）S△ABC＝3×3﹣×3×1﹣×2×1﹣×3×2＝3.5；
（2）S△DEF＝4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5＝8；


（3）由（2）可知S△PQR＝8，
∴六边形花坛ABCDEF的面积为：
S正方形ABQP+S正方形RQDC+S正方形EFPR+4S△PQR＝13+20+29+8×4＝94．
18．教材呈现：
证明：如图①，连结ED．
∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝＝＝2，
∴＝＝3，
∴＝＝；
结论应用：
（1）解：如图②．
∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝＝，
∴BF＝DF，
∴BF＝BD，
∵BO＝BD，
∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，
∵正方形ABCD中，AB＝6，
∴BD＝6，
∴OF＝．
故答案为；
（2）解：如图③，连接OE．
由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，
∴＝2．
∵△BEF与△OEF的高相同，
∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，
同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，
∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，
∴△BOC的面积＝，
∴▱ABCD的面积＝4×＝6．
故答案为6．

19．解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝68°，
∴∠A＝180°﹣32°﹣68°＝80°，
故答案为：80°；
（2）2x﹣1＝7，
移项得：2x＝7+1，
合并同类项得：2x＝8，
把x的系数化为1得：x＝4，
故答案为：4．
20．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°．
21．解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得；
综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等