专题48 三角形中的平移综合问题-2022年中考数学重难点专项突破（全国通用）

专题48 三角形中的平移综合问题

1、如图，回答下列问题

（1）将△ABC沿x轴向左移一个单位长度，向上移2个单位长度，

则A1的坐标为　   　，B1的坐标为　   　，C1的坐标为　   　．

（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，则A2的坐标为　   　，

B2的坐标为　   　，C2的坐标为　   　．

2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标是（1，3），顶点B的坐标是（﹣2，4），顶点C的坐标是（﹣2，﹣1），现在将△ABC平移得到△A′B′C′，平移后点B和点A刚好重合．其中点A′，B′，C′分别为点A，B，C的对应点．

（1）在图中画出△A′B′C′；

（2）直接写出A′、C′点的坐标；

（3）若AB边上有一点P，P点的坐标是（a，b），平移后的对应点是P′，请直接写出P′点的坐标．

3、如图所示，在直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）

（1）将△ABC沿x轴正方形平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，点B1坐标为　   　；

（2）将△A1B1C1沿y轴正方向平移4个单位长度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，点C2的坐标为　   　；

（3）点P（a，b）是△ABC内一点，经过上述2次平移后对应点坐标为　   　；△A2B2C2的面积为　   　．

4、现有一副三角板，如图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°；图③中，将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动（移动开始时点D与点A重合）．

（1）△DEF在移动的过程中，若D、E两点始终在AC边上，

①F、C两点间的距离逐渐　   　；连接FC，∠FCE的度数逐渐　   　．（填“不变”、“变大”或“变小”）

②∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明；

（2）△DEF在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么∠FCE与∠CFE之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；

（3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？求出∠CFE的度数．

5、操作题：

（1）如图甲所示，已知△ABC，用三角尺和量角器作△ABC的：①中线AD；②角平分线BE；③高CH．

（2）如图乙在方格中平移△ABC，

①使点A移到点M

使点A移到点N

②分别画出两次平移后的三角形．

6、按要求画图．

（1）在图1中分别画出点A、点B到直线CD的垂线段AE、BF

（2）如图2，已知三角形ABC，点D为点A的对应点，过点D作三角形ABC平移后的三角形DEF．

7、在边长为1个单位长度的正方形格纸上建立如图的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上．

（1）请直接写出三角形ABC各点的坐标．

（2）求出三角形ABC的面积是　   　．

（3）若把三角形ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到三角形A1B1C1，在图中画出三角形A1B1C1．

8、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为          .

9、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．

(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；

(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．

10、如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.

（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？

（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长.

11、如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．

（1）求证：四边形BFGH是正方形；

（2）求证：ED平分∠CEI；

（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为　   　．

12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C，再将△A1B1C沿CB向右平移，使点B2恰好落在斜边AB上，A2B2与AC相交于点D．

（1）判断四边形A1A2B2B1的形状，并说明理由；

（2）求A2C的长度．

13、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ．连接QP并延长，分别交AB、CD于点M，N．

（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；

（2）如图2，已知PM＝QN；若MN的最小值为，求菱形ABCD的面积．

15、四边形ABCD是正方形，PA是过正方形顶点A的直线，作DE⊥PA于E，将射线DE绕点D逆时针旋转45°与直线PA交于点F．

（1）如图1，当∠PAD＝45°时，点F恰好与点A重合，则的值为　   　；

（2）如图2，若45°＜∠PAD＜90°，连接BF、BD，试求的值，并说明理由．

16、如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边△CDE．

（1）如图1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等边△CDE的边长；

（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF，DF，过点D作DG⊥AC于点G．

①求证：CF⊥DF；

②如图3，将△CFD沿CF翻折得△CFD′，连接BD′，直接写出的最小值．

17、（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AC＞AB）沿过点A的直线折叠，使得AB落在AC边上，折痕为AD，展开纸片（如图1）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图2）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意他的结论吗？请说明理由：

（2）模型与运用：

如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点E，过点C作CD⊥BD，交BE的延长线于点D．若CD＝4，求△BCE的面积．

18、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．

[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△　   　，可推证△CEF是　   　三角形，从而求得∠DCE＝　   　°．

[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．

[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．