专题72 一元二次方程在实际应用中的最值问题-2022年中考数学重难点专项突破（全国通用）

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专题72 一元二次方程在实际应用中的最值问题【应用呈现】1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．解：（1）设每年平均增长的百分率为x．
6000=8640，
=1.44，
∵1+x＞0，
∴1+x=1.2，
x=20%．
答：每年平均增长的百分率为20%；
（2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元．
故能实现目标．2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m. (1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示)(2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长．解：(1)作BH⊥AD于点H，则AH＝3x，由BC＝DH＝20－9x得AD＝20－6x　(2)由2(20－9x)＋3x＋9x≤30得x≥，由[(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50得3x2－8x＋5＝0，∴x1＝，x2＝1(舍去)，∴5x＝.答：AB的长为米　【方法总结】一、一元二次方程判别式求解1、已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。 解：由题意得    所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以        即    解得    m的最大值是，m的最小值是－1。2、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　）A．7    B．11    C．12    D．16【答案】D【详解】∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．故选D．二、配方法求最值1、设a、b为实数，那么的最小值为_______。【答案】-1 【解析】当，，即时，上式等号成立。故所求的最小值为－1。2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为     ．【答案】．【详解】∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA•DN=BD•MD=4MD，∴MD+=MD+==，∴当，即MD=时MD+有最小值为．故答案为：．三、 “夹逼法”求最值1、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h    因为，所以    又因为，代入    得，所以    又因为，代入    得，所以    所以3<h<6，故整数h的最大值为5。  1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率．解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：（1﹣x）2＝0.25，解得：x＝0.5＝50%或x＝1.5（舍去）答：该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率为50%．2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元．（1）降价后，每件衬衫的利润为　   　元，平均每天的销量为　   　件；（用含x的式子表示）（2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？解：（1）∵每件衬衫降价x元，∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件．故答案为：（50﹣x）；（20+2x）．（2）依题意，得：（50﹣x）（20+2x）＝1600，整理，得：x2﹣40x+300＝0，解得：x1＝10，x2＝30．∵为了扩大销售，尽快减少库存，∴x＝30．答：每件衬衫应降价30元．3、2020年，我国脱贫攻坚在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平，重庆市深度贫困地区脱贫进程明显加快，作风治理和能力建设初见成效，精准扶贫、精准脱贫取得突破性进展．为助力我市脱贫攻坚，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．（1）若设2、3这两个月销售量的月平均增长率为a%，求a的值；（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？解：（1）设2、3这两个月的月平均增长率为x．由题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝25%，x2＝﹣225%（舍去），即2、3这两个月的月平均增长率为25%，即a的值是25；（2）设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元．根据题意可得：（40﹣25﹣m）（400+5m）＝4620，解得：m1＝4，m2＝﹣69（舍去），答：当农产品每袋降价4元时，该农产品在4月份可获利4620元．4、某商场第一年销售某品牌手机5000部，如果每年的销售量比上年增长相同的百分率x，且第三年比第二年多销售了1200部，求x的值．解：依题意，得：5000（1+x）2﹣5000（1+x）＝1200，整理，得：25x2+25x﹣6＝0，解得：x1＝＝20%，x2＝﹣（不合题意，舍去）．答：x的值为20%．5、某通讯公司规定：一名客户如果一个月的通话时间不超过A分钟，那么这个月这名客户只要交10元通话费；如果超过A分钟，那么这个月除了仍要交10元通话费外，超过部分还要按每分钟元交费．（Ⅰ）某名客户7月份通话90分钟，超过了规定的A分钟，则超过部分应交通话费　   　元（用含A的代数式表示）；（Ⅱ）下表表示某名客户8月份、9月份的通话情况和交费情况：月份通话时间/分钟通话费总数/元8月份80259月份4510根据上表的数据，求A的值．解：（I）超过部分应交通话费（90﹣A）元．故答案为：（90﹣A）．（II）依题意，得：10+（80﹣A）＝25，整理，得：A2﹣80A+1500＝0，解得：A1＝30，A2＝50．∵A≥45，∴A＝50．答：A的值为50．6、在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，墙DF足够长，墙DE长为9米，现用20米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，点C在墙DF上，点A在墙DE上，（篱笆只围AB，BC两边）．（Ⅰ）根据题意填表；BC（m）1357矩形ABCD面积（m2）　   　　   　　   　　   　（Ⅱ）能够围成面积为100m2的矩形花园吗？如能说明围法，如不能，说明理由．解：（I）1×（20﹣1）＝19，3×（20﹣3）＝51，5×（20﹣5）＝75，7×（20﹣7）＝91．故答案为：19；51；75；91．（II）不能，理由如下；设BC＝xm，则AB＝（20﹣x）m，依题意，得：x（20﹣x）＝100，整理，得：x2﹣20x+100＝0，解得：x1＝x2＝10．∵10＞9，∴不能围成面积为100m2的矩形花园．