专题11 开放探究-2022届中考数学压轴大题专项训练

专题11  开放探究  2022届中考数学压轴大题专项训练（原卷版）

1．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”．如图1，在△ABC中，PA=PB，则点P叫做△ABC的“中垂心”．

（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有________（举一个例子即可）；

（2）应用：如图2；在△ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作图痕迹，不写画法）

（3）探究：①如图3，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长．

②如图4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由．

2．如图，在中，为的中点，将绕点顺时针旋转得到，连结、.

（1）若为等边三角形，试探究与有何数量关系？证明你的结论；

（2）若为等边三角形，当的值为多少时，？

（3）当不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立，并说明理由.

3．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．

（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=     ；

（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．

4．如图，点的坐标为，点的坐标为，将沿直线对折，使点与点重合，直线与轴交于点与交于点．

（1）求出的长度；

（2）求的面积；

（3）在平面上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

5．已知，且自然数，对进行如下“分裂”，可分裂成个连续奇数的和，如图：

即如下规律：

… …；

（1）按上述分裂要求，       ，可分裂的最大奇数为       

（2）按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式是：             ；

（3）用上面的规律求：

6．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）探究的度数；

（3）探究EF、DF、CF之间的关系．

7．（1）问题发现:如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD交于点M．①的值为　   　；②∠AMB的度数为　   　；

（2）类比探究 :如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．

（3）拓展延伸:在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

8．综合与实践

（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以（     ）；（请填写全等判定的方法）

（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______；

（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积．

（4）拓展提升：如图4，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；

9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，与轴相切于点，与轴相交于、两点.

（1）点、、的坐标分别是（    ，    ），（    ，    ），（    ，    ）.

（2）设经过、两点的抛物线的关系式为，它的顶点为，抛物线的对称轴与轴相交于点，求证：直线与相切.

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点（点在轴的上方），使是等腰三角形.如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.

10．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β

（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；

（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；

（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．

11．在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“折转点”，称为点关于图形的“折转三角形”

（1）已知点，

①在点，，中，点关于点的“折转点”是______；

②点在直线上，若点是点关于线段的“折转点”，求点的横坐标的取值范围；

（2）的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出的取值范围．

12．如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接、，与交与点，设运动时间为．

（1）当为何值时，四边形是平行四边形；

（2）设的面积为，求与的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的；

（4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上．