专题09 折叠压轴问题-2022年中考数学选填压轴题专项复习

【2022年中考数学填选重点题型突破】

专题九：折叠压轴问题

【备考指南】

折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.

折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中折是过程，叠是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加顺畅，简洁！

【典例引领】

例1：（2021·淄博）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝　   　cm．

变式训练1：（2021•呼和浩特）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（　　）

A．6+10 B．6+5 C．3+10 D．3+5

变式训练2：（2021·威海）如图，四边形ABCD是一张正方形纸片，其面积为25cm2．分别在边AB，BC，CD，DA上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝acm（AE＞BE），连接EF，FG，GH，HE．分别以EF，FG，GH，HE为轴将纸片向内翻折，得到四边形A1B1C1D1．若四边形A1B1C1D1的面积为9cm2，则a＝　   　．

例2：（2021·盐城）如图，已知点，直线轴，垂足为点其中，若与关于直线对称，且有两个顶点在函数的图像上，则的值为:                       ．

变式训练：（2021·镇江）如图1， ，射线 ，点 在射线 上，将 沿 所在直线翻折，点 的对应点 落在射线 上，点 分别在射线 上， ． 设 ．若 关于 的函数图像（如图2）经过点 ，则 的值等于(   )

A．               B．               C．              D．

例3：如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，则折痕EF的长　    　．

变式训练1：如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（　　）

A． B． C．2+ D．1+

【强化训练】

1.（2021青海）将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应是（    ）

2.（2021·泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为A（0，3），B（—1，1），C（3，1）．△A'B'C'是△ABC关于x轴的对称图形，将△A'B'C'绕点B'逆时针旋转180°，点A'的对应点为M，则点M的坐标为___________．

3.（2021湖南邵阳）将一张矩形纸片按如图所示操作：

（1）将沿向内折叠，使点A落在点处，

（2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M．

若，则的大小是（    ）

A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 115°

4.（2021山东枣庄）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　）

A.  B. 6 C. 4 D. 5

5.（2021湖北武汉）.如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，，．设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是________．

6.（2021山东青岛）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（    ）

A.  B.  C.  D.

7.（2021湖北咸宁）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8.（2021贵州黔西南）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为　    　．

9.（2021山东滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为（　　）

A． B． C． D．

10.（2021浙江杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝　  　，BE＝　    　．

11.（2021山东潍坊）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则_______．

12.（2021浙江衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）

A． B． C． D．

13.（2021贵州铜仁）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝　   　．

14.（2021四川内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知，则EF的长为（    ）

A. 3 B. 5 C.  D.

15.（2021·无锡）如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC=∠BCD=90°AB=3，BC＝，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED＝，则线段DE的长度为（     ）

A．             B．               C．                D．

16.（2021·广东）如题9图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　）

A．1           B．          C．            D．2

17.（2021浙江台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（　　）

A．7+3 B．7+4 C．8+3 D．8+4

18.（2021·安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处，请完成以下探究：

（1）∠PAQ的大小为　   　°；

（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　   　.

19（2021黑龙江龙东）在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点对应点落在矩形的边上，则折痕的长为______．

20.（2021贵州遵义）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是　    　．

21（2021·重庆B卷）如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ABC沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠ADE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（    ）

 A． B．3 C．  D．4

22.如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是　     　．