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专题11 一次函数和反比例函数选填压轴-2022年中考数学选填压轴题专项复习
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这是一份专题11 一次函数和反比例函数选填压轴-2022年中考数学选填压轴题专项复习，文件包含专题11一次函数和反比例函数选填压轴解析版-2022年中考数学选填压轴题专项复习docx、专题11一次函数和反比例函数选填压轴原卷版-2022年中考数学选填压轴题专项复习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
【2022年中考数学填选重点题型突破】
专题11：一次函数和反比例函数的选填压轴问题
【备考指南】
一次函数和反比例函数也是中考选填压轴常考的题型，主要考点类型有
①一次函数与反比例函数相结合的综合题型
②反比例函数K的几何意义与几何图形（面积问题）相结合的综合题型
③反比例函数与一次函数的动点综合问题
④一次函数或反比例函数与几何图形相结合的找规律问题
中考中经常把一次函数和反比例函数以及几何图形三者结合起来考查。有一部分题目还涉及到整体代入思想，换元思想，分类讨论等思想。综合性比较强，题目比较难!解题的关键是
（1） 函数一定要找关键点，恰当的设出关键点的坐标，然后借助于解析式和几何图形的性质把其他关键点的坐标表示出来，进一步可以表示出线段或面积。
（2） 对于几何图形一定要熟练掌握其定义和性质，和一些几何图形必备的结论！
【典例引领】
例1：（2021•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
【答案】C
【解析】
解：由题意得，
函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴1a-1b=b-aab=-14；
故选：C．
变式训练：（2021广西南宁）（3分）如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于点C，D．若AC＝BD，则3OD2﹣OC2的值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
解：延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y＝x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．
∵C、D两点在交双曲线y＝（x＞0）上，则CE＝，DF＝．
∴BD＝BF﹣DF＝b﹣，AC＝﹣a．
又∵AC＝BD， ∴﹣a＝（b﹣），
两边平方得：a2+﹣2＝3（b2+﹣2），即a2+＝3（b2+）﹣4，
在直角△ODF中，OD2＝OF2+DF2＝b2+，同理OC2＝a2+，
∴3OD2﹣OC2＝3（b2+）﹣（a2+）＝4．
故选：C．
例2：（2021江苏苏州）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可．
【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．
变式训练1：（2021牡丹江）如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
过点B作轴，易得，得到，即可求解k的值．
【详解】解：如图，过点B作轴，设，则，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵D为OB中点，
∴，
∴，
即，解得，
∴k的值为8，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是作出辅助线，得到两个相似的三角形．
变式训练2：（2021重庆A卷）.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
例3.（2021•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 2 ．
【答案】2
【解析】
【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC=12OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE=32+42=5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴MNOE=DMDE，
∴MN3=35，
∴MN=95，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值=12×5×（95-1）＝2，
故答案为2．
变式训练：（2021江苏淮安）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．
【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，
∵，，
∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，
∵A点的坐标是，代入反比例函数，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，
则有，解之得：（D点在第三象限），
∴D点的坐标是（-2，-2），
∴，
∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，
∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），
将P（1，1）代入反比例函数，得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．
例4：（2021•自贡）如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ 43 ，前25个等边三角形的周长之和为 60 ．
【答案】43，60．
【分析】设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第一象限交于点B、C两点，可得-3x+b=kx，整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【解析】设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=-3x+b，
∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=-33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，
∴-3x+b=kx，
整理得，-3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由题意可以假设D1（m，m3），
∴m2•3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，3n），
∵（4+n）•3n＝43，
解得n＝22-2，
∴E1E2＝42-4，即第二个三角形的周长为122-12，
设D3（42+a，3a），
由题意（42+a）•3a＝43，
解得a＝23-22，即第三个三角形的周长为123-122，
…，
∴第四个三角形的周长为124-123，
∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225-1224=1225=60，
故答案为43，60．
变式训练：（2021•达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 （﹣1，1） ；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝ 14 ，S1+S2+S3+…+S100的值为 50101 ．
【答案】（﹣1，1）；14；50101．
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（﹣1，1），即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）；先求出y＝kx+k+1与x轴的交点和y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出Sk，求出S1=12×（1-12）=14，S2=12×（ 12-13），以此类推S100=12×（ 1100-1101），相加后得到 12×（1-1101）．
【解析】∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；
∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．
∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．
∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（-k+1k，0），
直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（-k+2k+1，0），
∴SK=12×|-k+1k+k+2k+1|×1=12k(k+1)，
∴S1=12×11×2=14；
∴S1+S2+S3+…+S100=12[11×2+12×3+⋯1100×101]
=12[（1-12）+（12-13）+…+（1100-1101）]
=12×（1-1101）
=12×100101
=50101．
故答案为（﹣1，1）；14；50101．
【强化训练】
1（2021湖南张家界）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【详解】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．
2.（2021•滨州）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=12x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=4x上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y=12x上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
3.（2021湖南娄底）如图，平行于y轴的直线分别交与的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设A的坐标为（x，），B的坐标为（x，），然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设A的坐标为（x，），B的坐标为（x，），
∴S△ABC==，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，设出A，B的坐标是解题关键．
4.（2021•凉山州）如图，矩形OABC的面积为1003，对角线OB与双曲线y=kx（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为 12 ．
【答案】12
【解析】
【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y=kx即可求得k的值．
【解析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为1003，
∴5m•5n=1003，
∴mn=43．
把D的坐标代入函数解析式得：3n=k3m，
∴k＝9mn＝9×43=12．
故答案为12．
5.（2021辽宁抚顺）如图，在中，，点在反比例函数（，）的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于1，则的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】
作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE=，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB=AC，
∴CE=BE，
∵OC=OB，
∴OC=CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴，
∵，OC=OB，
∴，
∴，
∵OC=CE，
∴，
∴，
∵()，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6.（2021湖北鄂州）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．
【答案】﹣9
【解析】
【分析】
首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
∵
∴=
∵点A是双曲线上
∴S△OAC=
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴=
∴
∴=9
∵函数图像位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案为：﹣9
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
7.（2021湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（，k为常数且）的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________（结果用含k的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为k,从而可以求出阴影部分ODBC的面积.
【详解】解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为=1.
∵点B在函数（，k为常数且）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k.
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=k-1.
故答案为：k-1.
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．
8.（2021湖北荆门）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．
【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=
由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，
∴OE=OA=2，DE=AB=1，
∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，
∴△COG∽△EOD，
∴，即，
解得：CG=，
∴点G（，1），
代入可得：k=，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的性质求出OG的长度．
9.（2021贵州遵义）（4分）如图，△ABO的顶点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【解析】
解：
∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S△ANQS△AMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，∴S△ANQ3+S△ANQ=14，
∴S△ANQ＝1，
∵1S△AOB=（ANAO）2=19， ∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故选：D．
10.（2021浙江温州）（5分）点P，Q，R在反比例函数y=kx（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的
值为 275 ．
【答案】275
【解析】
解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（k3a，3a），Q（k2a，2a），R（ka，a），
∴CP=3k3a，DQ=k2a，ER=ka，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF=23GA，
∴S1=23S3＝2S2，
∵S1+S3＝27，
∴S3=815，S1=545，S2=275，
故答案为275．
11.（2021乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
12.（2021浙江宁波）（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 24 ，ba的值为 -13 ．
【答案】24，-13．
【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴12a-12b＝12，∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，∴BCAD=TBTA，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，
∴AK：BK＝3：1，∴S△AOKS△BKO=12a-12b=13，
∴ab=-13．故答案为24，-13．
13.（2021成都）（4分）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为 ，或， ．
【答案】，或，
【解答】解：联立与并解得：，故点的坐标为，，
联立与同理可得：点，，
这两条直线互相垂直，则，故点，，则点，，
则，
同理可得：，
则，即，
解得：或，
故点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
14.（2021湖北十堰）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O．如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．证明，利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，
菱形是中心对称图形，
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，
如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．
∵DO⊥OC，
∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°，
∴∠COM=∠ODN，
∵∠CMO=∠DNO=90°，
∴，
菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,,
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15.（2021江苏常州）如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．
【详解】作交BD的延长线于点E，作轴于点F
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∵
∴，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且，
∴
∴
∴
∴
设点A，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
16.（2021湖北孝感）如图，已知菱形的对角线相交于坐标原点，四个顶点分别在双曲线和上，．平行于轴的直线与两双曲线分别交于点，，连接，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先作轴于点G，作轴于点H，证明，利用，同时设出点A的坐标，表示出OH，BH的长度，求出k的值，设直线EF的解析式为，表示点E，F的坐标，求出EF的长度，可求得的面积．
【详解】作轴于点G，作轴于点H，如图所示：
∵即
∴
∴
设点A的坐标为
则
∴
∴
∵的图象在第二，四象限
∴
设直线EF的解析式为：
则
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，快速找到相似三角形求出k的值，是解题的关键．
17.（2021河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．
（1）若过点，则_________；
（2）若过点，则它必定还过另一点，则_________；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有_________个．
【答案】 (1). －16 (2). 5 (3). 7
【详解】解：（1）由图像可知T1（-16,1）
又∵．函数（）的图象经过T1
∴，即k=-16；
（2）由图像可知T1（-16,1）、T2（-14,2）、T3（-12,3）、T4（-10,4）、T5（-8,5）、T6（-6,6）、T7（-4,7）、T8（-2,8）
∵过点
∴k=-10×4=40
观察T1~T8,发现T5符合题意，即m=5；
（3）∵T1~T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16
∴要使这8个点为于的两侧，k必须满足-36＜k＜-28
∴k可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35共7个整数值．
故答案为：（1）-16；（2）5；（3）7．
18. （2021•重庆B）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．163 B．8 C．10 D．323
【答案】D
【解析】
【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE=AD2-DE2=4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE=AD2-DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B（4，83），
∴k=323，
故选：D．
19.（2021•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=2x的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为 2或-3+172 ．
【答案】2或-3+172．
【分析】分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．
【解析】①当点P在AB下方时
作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，
直线AB与x轴交点的坐标为（﹣1，0），则直线l与x轴交点的坐标C（1，0），
设直线l的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣1，
故直线l的表达式为y＝x﹣1①，而反比例函数的表达式为：y=2x②，
联立①②并解得：x＝2或﹣1（舍去）；
②当点P在AB上方时，
同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x+3③，
联立①③并解得：x=-3±172（舍去负值）；
故答案为：2或-3+172．
20..（2021•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝83，则k＝ 403 ．
【答案】403．
【解析】
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，
在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，
∴FN=3MN＝33，
∴AN＝MB＝83-33=53，
设OA＝x，则OB＝x+3，
∴F（x，83），M（x+3，53），
∴83x＝（x+3）×53，
解得，x＝5，
∴F（5，83），
∴k＝5×83=403．
故答案为：403．
【2022年中考数学填选重点题型突破】
专题11：一次函数和反比例函数的选填压轴问题
【备考指南】
一次函数和反比例函数也是中考选填压轴常考的题型，主要考点类型有
①一次函数与反比例函数相结合的综合题型
②反比例函数K的几何意义与几何图形（面积问题）相结合的综合题型
③反比例函数与一次函数的动点综合问题
④一次函数或反比例函数与几何图形相结合的找规律问题
中考中经常把一次函数和反比例函数以及几何图形三者结合起来考查。有一部分题目还涉及到整体代入思想，换元思想，分类讨论等思想。综合性比较强，题目比较难!解题的关键是
（1） 函数一定要找关键点，恰当的设出关键点的坐标，然后借助于解析式和几何图形的性质把其他关键点的坐标表示出来，进一步可以表示出线段或面积。
（2） 对于几何图形一定要熟练掌握其定义和性质，和一些几何图形必备的结论！
【典例引领】
例1：（2021•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
【答案】C
【解析】
解：由题意得，
函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴1a-1b=b-aab=-14；
故选：C．
变式训练：（2021广西南宁）（3分）如图，点A，B是直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作x轴的平行线交双曲线y＝（x＞0）于点C，D．若AC＝BD，则3OD2﹣OC2的值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
解：延长CA交y轴于E，延长BD交y轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y＝x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE＝OE＝a，BF＝OF＝b．
∵C、D两点在交双曲线y＝（x＞0）上，则CE＝，DF＝．
∴BD＝BF﹣DF＝b﹣，AC＝﹣a．
又∵AC＝BD， ∴﹣a＝（b﹣），
两边平方得：a2+﹣2＝3（b2+﹣2），即a2+＝3（b2+）﹣4，
在直角△ODF中，OD2＝OF2+DF2＝b2+，同理OC2＝a2+，
∴3OD2﹣OC2＝3（b2+）﹣（a2+）＝4．
故选：C．
例2：（2021江苏苏州）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可．
【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形
∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为
∴设点C坐标为
∵
∴
∴
∴
∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是
∴
解得（舍去）
∴点B坐标为
故应选：B
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．
变式训练1：（2021牡丹江）如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
过点B作轴，易得，得到，即可求解k的值．
【详解】解：如图，过点B作轴，设，则，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵D为OB中点，
∴，
∴，
即，解得，
∴k的值为8，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是作出辅助线，得到两个相似的三角形．
变式训练2：（2021重庆A卷）.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分，反比例函数的图象经过AE上的两点A，F，且，的面积为18，则k的值为（ ）
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】B
【解析】
解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为矩形，O为对角线，
∴AO=OD，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AD为∠DAE的平分线，∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，∴OB∥AE，
∵S△ABE=18，∴S△OAE=18，
设A的坐标为（a，），
∵AF=EF，∴F点的纵坐标为，
代入反比例函数解析式可得F点的坐标为（2a，），
∴E点的坐标为（3a，0），
S△OAE=×3a×=18，
解得k=12，
故选：B．
例3.（2021•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为 2 ．
【答案】2
【解析】
【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．首先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小．
【解析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC=12OB＝1，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（4，0），E（0，﹣3），
∴OD＝4，OE＝3，
∴DE=32+42=5，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△DNM∽△DOE，
∴MNOE=DMDE，
∴MN3=35，
∴MN=95，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值=12×5×（95-1）＝2，
故答案为2．
变式训练：（2021江苏淮安）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．
【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，
∵，，
∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，
∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，
∵A点的坐标是，代入反比例函数，得
则反比例函数关系式为
又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，
则有，解之得：（D点在第三象限），
∴D点的坐标是（-2，-2），
∴，
∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，
∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），
将P（1，1）代入反比例函数，得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．
例4：（2021•自贡）如图，直线y=-3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝ 43 ，前25个等边三角形的周长之和为 60 ．
【答案】43，60．
【分析】设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第一象限交于点B、C两点，可得-3x+b=kx，整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．
【解析】设直线y=-3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．
∵y=-3x+b，
∴当y＝0时，x=33b，即点D的坐标为（33b，0），
当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），
∴OA＝﹣b，OD=-33b．
∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=3，
∴∠ADO＝60°．
∵直线y=-3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，
∴-3x+b=kx，
整理得，-3x2+bx﹣k＝0，
由韦达定理得：x1x2=33k，即EB•FC=33k，
∵EBAB=cos60°=12，
∴AB＝2EB，
同理可得：AC＝2FC，
∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=433k＝16，
解得：k＝43．
由题意可以假设D1（m，m3），
∴m2•3=43，
∴m＝2
∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，
设D2（4+n，3n），
∵（4+n）•3n＝43，
解得n＝22-2，
∴E1E2＝42-4，即第二个三角形的周长为122-12，
设D3（42+a，3a），
由题意（42+a）•3a＝43，
解得a＝23-22，即第三个三角形的周长为123-122，
…，
∴第四个三角形的周长为124-123，
∴前25个等边三角形的周长之和12+122-12+123-122+124-123+⋯+1225-1224=1225=60，
故答案为43，60．
变式训练：（2021•达州）已知k为正整数，无论k取何值，直线11：y＝kx+k+1与直线12：y＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 （﹣1，1） ；记直线11和12与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝ 14 ，S1+S2+S3+…+S100的值为 50101 ．
【答案】（﹣1，1）；14；50101．
【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（﹣1，1），即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）；先求出y＝kx+k+1与x轴的交点和y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出Sk，求出S1=12×（1-12）=14，S2=12×（ 12-13），以此类推S100=12×（ 1100-1101），相加后得到 12×（1-1101）．
【解析】∵直线11：y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；
∵直线12：y＝（k+1）x+k+2＝k（x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，
∴直线12：y＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．
∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（﹣1，1）．
∵直线11：y＝kx+k+1与x轴的交点为（-k+1k，0），
直线12：y＝（k+1）x+k+2与x轴的交点为（-k+2k+1，0），
∴SK=12×|-k+1k+k+2k+1|×1=12k(k+1)，
∴S1=12×11×2=14；
∴S1+S2+S3+…+S100=12[11×2+12×3+⋯1100×101]
=12[（1-12）+（12-13）+…+（1100-1101）]
=12×（1-1101）
=12×100101
=50101．
故答案为（﹣1，1）；14；50101．
【强化训练】
1（2021湖南张家界）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接，则的面积为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两平行直线之间共底三角形的面积相等可知，当C点位于O点是，△ABC的面积与△ABO的面积相等，由此即可求解．
【详解】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，
∴△ABC的面积等于△ABO的面积，
连接OA、OB，如下图所示：
则
．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形和性质，熟练掌握反比例函数上一点向坐标轴作垂线，与原点构成的矩形的面积为这个结论．
2.（2021•滨州）如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=12x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线y=4x上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线线y=12x上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故选：C．
3.（2021湖南娄底）如图，平行于y轴的直线分别交与的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设A的坐标为（x，），B的坐标为（x，），然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设A的坐标为（x，），B的坐标为（x，），
∴S△ABC==，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，设出A，B的坐标是解题关键．
4.（2021•凉山州）如图，矩形OABC的面积为1003，对角线OB与双曲线y=kx（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为 12 ．
【答案】12
【解析】
【分析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n），根据矩形OABC的面积即可求得mn的值，把D的坐标代入函数解析式y=kx即可求得k的值．
【解析】设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．
∵矩形OABC的面积为1003，
∴5m•5n=1003，
∴mn=43．
把D的坐标代入函数解析式得：3n=k3m，
∴k＝9mn＝9×43=12．
故答案为12．
5.（2021辽宁抚顺）如图，在中，，点在反比例函数（，）的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于1，则的值为_________．
【答案】3
【解析】
【分析】
作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质得出OC=CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE=，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB=AC，
∴CE=BE，
∵OC=OB，
∴OC=CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴，
∵，OC=OB，
∴，
∴，
∵OC=CE，
∴，
∴，
∵()，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6.（2021湖北鄂州）如图，点A是双曲线上一动点，连接，作，且使，当点A在双曲线上运动时，点B在双曲线上移动，则k的值为___________．
【答案】﹣9
【解析】
【分析】
首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义求得△AOC的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三角形的面积的性质求得△BOD的面积，依据反比例函数的比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：如图作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
∵
∴=
∵点A是双曲线上
∴S△OAC=
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
又∵直角△AOC中，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△OAC∽△BOD，
∴=
∴
∴=9
∵函数图像位于第四象限
∴ｋ＝﹣9
故答案为：﹣9
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明△OAC∽△BOD是解题关键．
7.（2021湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（，k为常数且）的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为________（结果用含k的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为k,从而可以求出阴影部分ODBC的面积.
【详解】解：∵D是反比例函数图象上一点
∴根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为=1.
∵点B在函数（，k为常数且）的图象上，四边形OABC为矩形，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：矩形ABCO的面积为k.
∴阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△AOD的面积=k-1.
故答案为：k-1.
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于中等题型．
8.（2021湖北荆门）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．
【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=
由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，
∴OE=OA=2，DE=AB=1，
∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，
∴△COG∽△EOD，
∴，即，
解得：CG=，
∴点G（，1），
代入可得：k=，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的性质求出OG的长度．
9.（2021贵州遵义）（4分）如图，△ABO的顶点A在函数y=kx（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】D
【解析】
解：
∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，∴ANAM=12，ANAO=13，
∴S△ANQS△AMP=14，
∵四边形MNQP的面积为3，∴S△ANQ3+S△ANQ=14，
∴S△ANQ＝1，
∵1S△AOB=（ANAO）2=19， ∴S△AOB＝9，
∴k＝2S△AOB＝18，
故选：D．
10.（2021浙江温州）（5分）点P，Q，R在反比例函数y=kx（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的
值为 275 ．
【答案】275
【解析】
解：∵CD＝DE＝OE，
∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，
则P（k3a，3a），Q（k2a，2a），R（ka，a），
∴CP=3k3a，DQ=k2a，ER=ka，
∴OG＝AG，OF＝2FG，OF=23GA，
∴S1=23S3＝2S2，
∵S1+S3＝27，
∴S3=815，S1=545，S2=275，
故答案为275．
11.（2021乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
12.（2021浙江宁波）（5分）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，则a﹣b的值为 24 ，ba的值为 -13 ．
【答案】24，-13．
【解答】解：如图，连接AC，OE，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意A，D关于原点对称，∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∴S△AOE＝S△DEO＝12，∴12a-12b＝12，∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，∴BCAD=TBTA，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝1：3，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝a，则AT＝3a，AK＝TK＝1.5k，BK＝0.5k，
∴AK：BK＝3：1，∴S△AOKS△BKO=12a-12b=13，
∴ab=-13．故答案为24，-13．
13.（2021成都）（4分）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为 ，或， ．
【答案】，或，
【解答】解：联立与并解得：，故点的坐标为，，
联立与同理可得：点，，
这两条直线互相垂直，则，故点，，则点，，
则，
同理可得：，
则，即，
解得：或，
故点的坐标为，或，，
故答案为：，或，．
14.（2021湖北十堰）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O．如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．证明，利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，
菱形是中心对称图形，
∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，
如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．
∵DO⊥OC，
∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°，
∴∠COM=∠ODN，
∵∠CMO=∠DNO=90°，
∴，
菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O,,
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15.（2021江苏常州）如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）
A. B. 4 C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．
【详解】作交BD的延长线于点E，作轴于点F
∵
∴
∴为等腰直角三角形
∵
∴，即
∴DE=AE=
∵BC=AO，且，
∴
∴
∴
∴
设点A，
∴
解得：
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．
16.（2021湖北孝感）如图，已知菱形的对角线相交于坐标原点，四个顶点分别在双曲线和上，．平行于轴的直线与两双曲线分别交于点，，连接，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先作轴于点G，作轴于点H，证明，利用，同时设出点A的坐标，表示出OH，BH的长度，求出k的值，设直线EF的解析式为，表示点E，F的坐标，求出EF的长度，可求得的面积．
【详解】作轴于点G，作轴于点H，如图所示：
∵即
∴
∴
设点A的坐标为
则
∴
∴
∵的图象在第二，四象限
∴
设直线EF的解析式为：
则
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，快速找到相似三角形求出k的值，是解题的关键．
17.（2021河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~8的整数）．函数（）的图象为曲线．
（1）若过点，则_________；
（2）若过点，则它必定还过另一点，则_________；
（3）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有_________个．
【答案】 (1). －16 (2). 5 (3). 7
【详解】解：（1）由图像可知T1（-16,1）
又∵．函数（）的图象经过T1
∴，即k=-16；
（2）由图像可知T1（-16,1）、T2（-14,2）、T3（-12,3）、T4（-10,4）、T5（-8,5）、T6（-6,6）、T7（-4,7）、T8（-2,8）
∵过点
∴k=-10×4=40
观察T1~T8,发现T5符合题意，即m=5；
（3）∵T1~T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16
∴要使这8个点为于的两侧，k必须满足-36＜k＜-28
∴k可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35共7个整数值．
故答案为：（1）-16；（2）5；（3）7．
18. （2021•重庆B）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．163 B．8 C．10 D．323
【答案】D
【解析】
【分析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC＝90°，根据勾股定理得到AE=AD2-DE2=4，根据矩形的性质得到AD＝BC，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝4，求得AF＝2，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，
∴∠BHC＝90°，
∵点D（﹣2，3），AD＝5，
∴DE＝3，
∴AE=AD2-DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，
∴∠CBH＝∠DCH，
∵∠DCG+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，
∠CPD＝∠APO，
∴∠DCP＝∠DAE，
∴∠CBH＝∠DAE，
∵∠AED＝∠BHC＝90°，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴BH＝AE＝4，
∵OE＝2，
∴OA＝2，
∴AF＝2，
∵∠APO+∠PAO＝∠BAF+∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B（4，83），
∴k=323，
故选：D．
19.（2021•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y=2x的图象交于A，B两点，若点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为 2或-3+172 ．
【答案】2或-3+172．
【分析】分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．
【解析】①当点P在AB下方时
作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，
直线AB与x轴交点的坐标为（﹣1，0），则直线l与x轴交点的坐标C（1，0），
设直线l的表达式为：y＝x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b＝﹣1，
故直线l的表达式为y＝x﹣1①，而反比例函数的表达式为：y=2x②，
联立①②并解得：x＝2或﹣1（舍去）；
②当点P在AB上方时，
同理可得，直线l的函数表达式为：y＝x+3③，
联立①③并解得：x=-3±172（舍去负值）；
故答案为：2或-3+172．
20..（2021•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝83，则k＝ 403 ．
【答案】403．
【解析】
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解析】过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，
在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，
∴FN=3MN＝33，
∴AN＝MB＝83-33=53，
设OA＝x，则OB＝x+3，
∴F（x，83），M（x+3，53），
∴83x＝（x+3）×53，
解得，x＝5，
∴F（5，83），
∴k＝5×83=403．
故答案为：403．
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