期中测试卷培优版（二）2021-2022学年七年级数学下学期期中考试全真模拟卷（人教版）

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2021-2022七年级下学期期中考试测试卷培优版（二）
（时间：120分钟总分：150）班级姓名得分
一、单项选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．下列说法其中错误的个数（）
①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据实数与数轴的关系，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义去判断即可．
【详解】
解：①实数和数轴上的点是一一对应的，原说法正确；
②无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误；
③16的平方根是，用式子表示应该是，原说法错误；
④因为负数有立方根，原说法错误；
⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．原说法正确．
∴错误的说法有3个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴与实数的关系，无理数，无理数，平方根，立方根，绝对值，相反数，算术平方根的定义，熟记关系和各自的定义是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（　　）
A．（-3，-1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-4，4）
【答案】B
【分析】
利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标减3即可得到点A′的坐标．
【详解】
解：将点A(-1，2)向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度2得到点A′，则点A的坐标是(-1+2，2-3)，即A′(1，-1)
故选：B．
【点睛】
此题主要考查坐标与图形变化平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减;纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
3．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交．
（3）相等的两个角是对顶角．
（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．其中正确的有（）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】
根据相交线和平行线的性质进行判断即可．
【详解】
解：（1）同位角不一定相等，原选项错误，不符合题意．
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，正确，符合题意．
（3）相等的两个角不一定是对顶角，比如，角平分线分得的两个角，原选项错误，不符合题意．
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相交线和平行线的有关性质，解题关键是熟记这些性质，准确进行判断．
4．在实数中，最小的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先化简各数，再根据实数比较大小即可．
【详解】
解：∵ ，，
∴最大，
∵，
∴＞，
∵＜2，
∴＞，
故最小的数是，
故选：C．
【点睛】
本题考查实数的比较大小，解题关键是化简各数，准确的按照实数比较大小的方法进行比较．
5．已知点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】
根据点Q到两坐标轴的距离相等列出方程，然后求解得到a的值，再求解即可．
【详解】
解：∵点Q到两坐标轴的距离相等，
∴|-2+a|=|2a-7|，
∴-2+a =2a-7或-2+a =-2a+7，
解得a=5或a=3，
当a=5时，-2+a =-2+5=3， 2a-7=2×5-7=3；
当a=3时，-2+a =-2+3=1， 2a-7=2×3-7=-1；
所以，点Q的坐标为或．
故选D．
【点睛】
本题考查了点坐标，掌握坐标到坐标轴的距离的表示方法，以及掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．
6．甲、乙、丙、丁四个同学在玩推理游戏，要找出谁在数学测评中获奖．甲说：“是乙获奖．”乙说：“是丙获奖．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正我没有获奖．”如果这四个同学中只有一个人说了实话，请问是谁获奖（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】
若甲说的是真话，则乙是假话，丙说的是真话，和已知不符合．故甲说的是假话，不是乙获奖；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，和已知不符合．故乙说的是假话，不是丙获奖．显然丙说的是真话，丁说的是假话，则是丁获奖．
【详解】
解：本题可分三种情况：
①如果甲是真命题，则乙是假命题，丙是真命题，丁是真命题；显然与已知不符；
②如果甲是假命题，乙是真命题，则丙是假命题，丁是真命题；显然与已知不符；
③如果甲是假命题，乙是假命题，则丙是真命题，丁是假命题；在这种情况下，只有丙说了实话，而其他人都说了假话，因此这种情况符合题意．
在③的条件下，丁说了假话，因此丁才是真正获奖的人．
故选D．
【点睛】
此题主要考查命题的真假推理，解题的关键是用假设的方法，进行分析排除．
7．估计的值在下列哪两个整数之间（）
A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5
【答案】C
【分析】
首先根据4＜7＜9，估算2＜＜3，再确定+1的取值范围即可．
【详解】
∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，首先用算术平方根估算的取值范围是解答此题的关键．
8．在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为，，平移线段AB，得到线段，已知的坐标为，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位，然后可得B′点的坐标．
【详解】
∵A（-1，-1）平移后得到点A′的坐标为（3，-1），
∴向右平移4个单位，
∴B（1，2）的对应点B′坐标为（1+4，2），
即（5，2）．
故答案为：（5，2）．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的变化－平移，关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
9．如图：，，，的度数为（）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图（见解析），利用平行线的判定与性质、角的和差即可得．
【详解】
如图，过点C作，
，
，
，
，
，
，
故选：D．

【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角的和差，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
10．一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0，1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2021次跳到点（　　　）

A．（3，44） B．（4，45） C．（44，3） D．（45，4）
【答案】A
【分析】
由题目中所给的跳蚤运动的特点找出规律，即可解答．
【详解】
由图可得，（0，1）表示1＝12次后跳蚤所在位置；
（0，2）表示8＝（2＋1）2−1次后跳蚤所在位置；
（0，3）表示9＝32次后跳蚤所在位置；
（0，4）表示24＝（4＋1）2−1次后跳蚤所在位置；
…
∴（0，44）表示（44＋1）2−1＝2024次后跳蚤所在位置，
则（3，44）表示第2021次后跳蚤所在位置．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．


二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．方程的根是__________．
【答案】或．
【分析】
根据平方根的定义求解即可．
【详解】
解：，
两边开方得，或，
解得，或．
【点睛】
本题考查了平方根的意义，解题关键是熟练运用平方根的意义，准确进行计算．
12．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个．

【答案】
【分析】
首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可.
【详解】
∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1.
即：当n=3时，共有2个交点；
当n=4时，共有5个交点；
当n=5时，共有9个交点；…，
∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)=个.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律.
13．以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为_____．
【答案】（﹣2≤y≤7）．
【分析】
根据平移的特点可知，向右平移横坐标变化，纵坐标不变可得解；
【详解】
A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）向右平移7个单位可得，，
∴所得图形上任意一点的坐标可表示（﹣2≤y≤7）．
故答案是：（﹣2≤y≤7）．
【点睛】
本题主要考查了图形的平移，准确分析计算是解题的关键．
14．如图，，设，那么，，的关系式______．

【答案】
【分析】
过作，过作，根据平行线的性质可知，然后根据平行线的性质即可求解；
【详解】
如图，过作，过作，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；
15．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，于是可以用表示的小数部分．若，其中x是整数，且，写出x﹣y的相反数_____．
【答案】
【分析】
根据题意得方法，估算的大小，求出的值，进而求出x﹣y的值，再通过相反数的定义，即可得到答案．
【详解】
解：∵
∴的整数部分是2
由题意可得的整数部分即，
则小数部分

则
∴x﹣y的相反数为
故答案为．
【点睛】
本题主要考查二次根式的估算，解题的关键是估算无理数的小数部分和整数部分．
16．已知点A坐标为，若直线轴，且，则点B坐标为________．
【答案】（1，7）或（1，﹣3）
【分析】
由直线轴可确定点B的横坐标为1，然后分当点B在点A上方和点B在点A下方两种情况，结合解答即可．
【详解】
解：∵直线轴，点A坐标为，
∴点B的横坐标为1，
∵，
∴当点B在点A上方时，点B的纵坐标为7，
当点B在点A下方时，点B的纵坐标为﹣3，
∴点B的坐标为（1，7）或（1，﹣3）．
故答案为：（1，7）或（1，﹣3）．
【点睛】
本题考查了图形与坐标，属于基础题目，正确分类、掌握解答的方法是解题关键．
17．对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72 []=8 []=2 []=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
【答案】255
【解析】
解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．
18．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，将三角形绕点顺时针旋转一周，共有 _________次出现三角形的一边与三角形AOB的某一边平行．

【答案】
【分析】
要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．
【详解】
解：分8种情况讨论：
（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°；
（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°；
（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°，
（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°，
（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；
（6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°
（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°，
（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°；
综上所述：∠BAD的所有可能的值为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．
故答案为：8．


【点睛】
本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．

三、解答题：（本题共8小题，共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．已知a的平方等于4，b的算术平方根等于4，c的立方等于8，d的立方根等于8，
（1）求a，b，c，d的值；
（2）求的值．
【答案】（1）a＝±2，b＝16，c＝2，d＝512；（2）6或2
【分析】
（1）结合题意，根据乘方、算数平方根、立方根的性质计算，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据有理数混合运算以及算数平方根的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵a2＝4，
∴a＝±2
，
∴b＝16
∵c3＝8，
∴c＝2
，
∴d＝512；
（2）当a＝2时，
当a＝-2时，
∴的值为6或2．
【点睛】
本题考查了乘方、算数平方根、立方根、有理数混合运算的知识；解题的关键是熟练掌握乘方、算数平方根、立方根的性质，从而完成求解．
20．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫（A，B，C，D都在格点上）．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：

（1）A→C（　　，　　），B→C（　　，　　），C→D（　　，　　）；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，则该甲虫走过的路程是　　；
（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+3，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（2﹣a，b﹣5），M→N（4﹣a，b﹣3），则N→A应记为什么？
【答案】（1）+4，+4；+3，0；+1，﹣3；（2）12；（3）见解析；（4）（﹣2，﹣2）
【分析】
（1）根据规定及实例可知A→C记为（+4，+4），B→C记为（+3，0），C→D记为（+1，﹣3）；
（2）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长；
（3）按题目所示平移规律，通过平移即可得到点P的坐标，在图中标出即可．
（4）根据M→A（2﹣a，b﹣5），M→N（4﹣a，b﹣3），可知4﹣a﹣（2﹣a）＝2，b﹣3﹣（b﹣5）＝2，从而得到点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，从而得到N→A应记为什么．
【详解】
解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负，
∴A→C记为（+4，+4），B→C记为（+3，0），C→D记为（+1，﹣3）；
故答案为：+4，+4；+3，0；+1，﹣3；
（2）据已知条件可知：A→B表示为：（+1，+4），B→C记为（+3，0），C→D记为（+1，﹣3）；
∴该甲虫走过的路线长为1+4+3+1+3＝12．
故答案为：12；
（3）P点位置如图所示．

（4）∵M→A（2﹣a，b﹣5），M→N（4﹣a，b﹣3），
∴4﹣a﹣（2﹣a）＝2，b﹣3﹣（b﹣5）＝2，
∴从而得到点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，
∴N→A应记为（﹣2，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点A、B、C、D都在格点（网格中每两条线的交点）上．

（1）求四边形的面积：
（2）把四边形先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出第二次平移后的四边形；
（3）线段的端点M、N也在格点上，以线段为一边画出一个，使其面积等于四边形的面积，且第三个顶点P也在格点上．
【答案】（1）8；（2）见讲解（3）见详解
【分析】
（1）利用割补法求解即可
（2）根据平移规律找到点A、B、C、D的对应点A1、B1、C1、D1依次连接即可
（3）根据四边形ABCD的面积等于的面积，求出以MN为底的高即可
【详解】
（1）由图可知：


（2）如图所示：

（3）
设以MN为底的高为


如图所示：即为所求

【点睛】
本题考查的是作图—平移变换，割补法求不规则图形的面积，解题关键是熟知图形平移的性质．
22．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根为﹣3；c是的整数部分；
（1）求a+b+c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【答案】（1）-33；（2）
【分析】
（1）由平方根的性质知3a-14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a=3，根据立方根定义可得b的值，根据可得c的值；
（2）分别将a，b，c的值代入3a-b+c，可解答．
【详解】
解：（1）∵某正数的两个平方根分别是3a-14和a+2，
∴（3a-14）+（a+2）=0，
∴a=3，
又∵b+11的立方根为-3，
∴b+11=(-3)3=-27，
∴b=-38，
又∵，
∴，
又∵c是的整数部分，
∴c=2；
∴a+b+c=3+(-38)+2=-33；
（2）当a=3，b=-38，c=2时，
3a-b+c=3×3-(-38)+2=49，
∴3a-b+c的平方根是±7．
【点睛】
本题主要考查了立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
23．已知，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，．请在所给的平面直角坐标系中按要求完成以下问题：

（1）画出三角形ABC；
（2）将三角形ABC先向下平移6个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到的三角形（点，，分别是点A，B，C移动后的对应点）请画出三角形；并判断线段AC与位置与数量关系．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；位置关系是：平行；数量关系是：相等．
【分析】
（1）根据点A、B、C三点的坐标在坐标系中描出各点，再顺次连接即可得；
（2）将三顶点分别向下平移6个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到对应点，顺次连接可得，继而根据平移的性质解答可得．
【详解】
解：1）如图所示，△ABC即为所求；

（2）如图所示，A1B1C1即为所求，AC与A1C1平行且相等．
【点睛】
本题主要考查作图−平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质．
24．定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A是一个“西西数”，从各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为，如：，．
（1）求，的值．
（2）若A，B为两个“西西数”，且，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据新定义的法则进行运算即可得到答案；
（2）先由（1）的运算发现并总结规律，可得的值等于的十位数字，再运用规律结合进行合理的分类讨论，分种情况：或或，再根据新定义可得答案．
【详解】
解：（1）由定义可得：


（2）探究：
，



发现并总结规律：的值等于的十位数字，
A，B为两个“西西数”，且，
或
而或不合题意舍去，
的值最大，则最大，最小，

当时，或或或
当时，或或或或或
最小为最大为
此时的值最大为
【点睛】
本题考查的是新定义运算，同时考查了规律探究，弄懂新定义的运算法则，理解并运用规律，掌握合理的分类讨论是解题的关键．
25．如图1，一只甲虫在的方格（每一格的边长均为1）上沿着网格线运动它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为；从C到D记为（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）．

（1）填空：（_______，_______）；（_______，______）．
（2）若甲虫的行走路线为，甲虫每秒钟行走2个单位长度，请计算甲虫行走的时间．
（3）若这只甲虫去P处的行走路线为，，，．请依次在图2上标出点E，F，M，P的位置．
【答案】（1）+4，+1，-2，+1；（2）8秒；（3）图见解析．
【分析】
（1）根据题意，向上向右为正，向下向左为负，进而得出答案；
（2）根据甲虫的行走路线，借助网格求出总路程，再根据时间等于路程除以速度即可；
（3）结合各点变化得出其位置，进而得出答案．
【详解】
解：（1）结合网格可知
（+4，+1）；（-2，+1）；
故答案为：+4，+1，-2，+1；
（2）∵甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A，
∴甲虫走过的路程为：1+4+2+1+1+2+4+1=16
甲虫行走的时间为：16÷2=8秒；
（3）如图2所示：

【点睛】
本题考查了正数和负数，坐标位置的确定，读懂题目信息，明确正数和负数的意义是解题的关键．
26．综合与探究
如图1，，，，求的大小．
小明的解题思路：过点P作，通过平行线的性质来求．
（1）按小明的解题思路，易求得的大小为______度．
（2）如图2，已知直线，直线a，b分别与直线m，n相交于点B，D和点A，C．点P在线段上运动（不与B，D两点重合），记，，问与，之间有何数量关系？判断并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若把“线段”改为“直线”，请求出与，之间的数量关系．

【答案】（1）116；（2）（2）∠APC=+，理由见解析；（3）点P在线段上时，∠APC=+；当P在BD延长线时，∠APC=-；当P在DB延长线时，∠APC=-
【分析】
（1）过P作PM∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC的度数；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠BAP=∠APE=，∠PCD=∠CPE=，即可得出答案；
（3）画出图形，分三种情况：①点P在BD的延长线上，②点P在DB的延长线上，③点P在线段上，根据平行线的性质得出∠APE=，∠CPE=，即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图1，过P作PM∥AB，
∴∠APM+∠PAB=180°，
∴∠APM=180°-124°=56°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠CPM+∠PCD=180°，
∴∠CPM=180°-120°=60°，
∴∠APC=56°+60°=116°；
故答案为：116；
（2）如图2，∠APC=+，理由如下：
过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE=，∠PCD=∠CPE=，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=+；

（3）如图3，当P在BD延长线时，∠APC=-；理由：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE=，∠PCD=∠CPE=，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=-；

如图4，当P在DB延长线时，∠APC=-；理由：
过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE=，∠PCD=∠CPE=，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=-；

点P在线段上时，∠APC=+，理由如（2）．
综上所述，若把“线段”改为“直线”，与，之间的数量关系为：点P在线段上时，∠APC=+；当P在BD延长线时，∠APC=-；当P在DB延长线时，∠APC=-．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．