专题3.1 全真模拟卷01-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试专题复习（人教版）

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 专题3.1人教版八年级下学期期中全真模拟卷01
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间100分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级、座号、准考证号等信息填写在试卷和答题卡规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若二次根式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
【分析】根据负数没有平方根列出关于a的不等式，求出不等式的解集确定出a的范围即可．
【解析】∵二次根式有意义，
∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，
故选：A．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．2
【分析】根据二次根式的加减法对A、C、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
【解析】A、原式＝2，所以A选项的计算错误；
B、原式＝3，所以C选项的计算错误；
C、原式＝2，所以C选项的计算正确；
D、2与不能合并，所以D选项的计算错误．
故选：C．
3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角为直角 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对边平行且相等
【分析】举出正方形具有而菱形不一定具有的所有性质，即可得出答案．
【解析】正方形具有而菱形不一定具有的性质是：①正方形的对角线相等，而菱形不一定对角线相等，②正方形的四个角是直角，而菱形的四个角不一定是直角，
故选：A．
4．以下各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　）
A． B．2，3，4 C．2，2，1 D．4，5，6
【分析】由（2）2+（2）2＝16＝42，可得出三边长为2，2，4的三角形为直角三角形，此题得解．
【解析】∵（2）2+（2）2＝16＝42，
∴三边长为2，2，4的三角形为直角三角形．
故选：A．
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．﹣1
【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA＝OB，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．
【解析】如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，则根据勾股定理知OB，
∴OA＝OB，
∴a＝﹣1．
故选：A．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若 AC＝3，BC＝4．则BD的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．
【解析】∵AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC，
∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故选：A．
7．如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的长．
【解析】∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝3cm，
∵BC＝AD＝5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，
故选：B．
8．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．12 B．16 C．20 D．24
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解析】∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×6＝24．
故选：D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果．
【解析】易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC•AF•BC＝10．
故选：C．
10．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（　　）cm2．

A．16﹣8 B．﹣12+8 C．8﹣4 D．4﹣2
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解析】∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为4cm，
2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（24）cm，
∴空白部分的面积＝（24）×4﹣12﹣16，
＝816﹣12﹣16，
＝（﹣12+8）cm2．
故选：B．
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（　　）

A．14 B．16 C．18 D．20
【分析】过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
【解析】过F作AM的垂线交AM于D，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4
＝（S1+S3）+S2+S4
＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC
＝SRt△ABC×3
＝4×3÷2×3
＝18．
故选：C．

12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【解析】如图所示：
∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故选：C．
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
13．计算：2×（1）　2　．
【分析】先算乘法，再合并同类二次根式即可．
【解析】2×（1）
＝2﹣22
＝2，
故答案为：2．
14．已知一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边的长为　5或　．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解析】设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42＝x2，
∴x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝42，
∴x；
∴第三边的长为5或．
故答案为：5或．
15．代数式有意义，则字母x的取值范围是　x≤1且x≠﹣2　．
【分析】根据分母不为零分式有意义，被开方数是非负数，可得到答案．
【解析】由题意，得
1﹣x≥0且x+2≠0，
解得x≤1且x≠﹣2，
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
16．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为　18m　．

【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【解析】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5m，AB＝12m，
∴AC13（m），
∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝5+13＝18（m）．
答：棵树原来高18m．
故答案为：18米．
17．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1200m，则隧道AB的长度为　2400　米．

【分析】由D为AC的中点、E为BC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，根据DE的长度结合三角形中位线定理即可得出AB的长度．
【解析】∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∵DE为△ABC的中位线，
又∵DE＝1200m，
∴AB＝2DE＝2400m．
故答案是：2400．
18．观察下列各式：①；②；③，…请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：　 　．
【分析】从给出的三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，依此可以找出规律．
【解析】从①②③三个式子中，
我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，
根号里的还是原来的分数，
即（n+1）．
19．如图所示，直线经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E．若DE＝5，BF＝3，则EF的长为　 　．

【分析】首先证明∠ABF＝∠EAD，再利用AAS定理证明△AFB≌△DEA，进而得到AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，然后再根据线段的和差关系可得答案．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠BAF+∠EAD＝90°，
∵BF⊥a，DE⊥a，
∴∠AED＝∠AFB＝90°
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EAD，
∴△AFB≌△DEA，
∴AF＝ED＝5，AE＝BF＝3，
∴EF＝AF+AE＝5+3＝8，
故答案为：8
20．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是　　．

【分析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE′的长即为最小值．
【解析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，
∵PE＝PE′，
∴AP+PE＝AP+PE′＝AE′，
在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，
根据勾股定理得：AE′，
则PA+PE的最小值为．
故答案为：．

三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（1）（2π）0+|4﹣3|
（2）（）（）﹣（1）2
【分析】（1）根据零指数幂的意义和绝对值的意义计算；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解析】（1）原式＝1+34﹣3
＝﹣3；
（2）原式＝5﹣3﹣（2﹣21）
＝2﹣3+2
＝﹣1+2．
22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE＝OF．

【分析】由平行四边形性质可证得△AOE≌△COF，则可证得OE＝OF．
【解答】证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中

∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF．
23．在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．请画出三个图形，并直接写出其周长（所画图象全等的只算一种）．

图1中所画直角三角形周长：　 　．
图2中所画直角三角形周长：　 　．
图3中所画直角三角形周长：　 　．
【分析】利用网格特点和全等三角形的性质画直角三角形，然后根据勾股定理定理计算各三角形的边长得到它们的周长．
【解析】如图1、2、3，

图1中所画直角三角形周长＝235．
图2中所画直角三角形周长2；
图3中所画直角三角形周长25＝35．
故答案为5；2；35．
24．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．
【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；

（2）BC＝2CD．
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2CD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD．

25．如图，O是矩形ABCD的对角线的中点，M是AD的中点，若AB＝6，AD＝8，求四边形ABOM的周长．

【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AB，再证明OM是△ABD的中位线，得出OMAB＝3，即可得出四边形ABOM的周长．
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴BD10，
∵O是BD的中点，
∴OBBD＝5，
∵M是AD的中点，
∴AMAD＝4，OM是△ABD的中位线，
∴OMAB＝3，
∴四边形ABOM的周长＝AB+OB+OM+AM＝6+5+3+4＝18．
26．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．
（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为　 　．

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC＝∠OCE，证出EO＝CO，同理得出FO＝CO，即可得出EO＝FO；
（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出AC，得出△ACE的面积AE×EC，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，得出△ABC的面积AB•AC，凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴EO＝CO，
同理：FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：
由（1）得：EO＝FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO＝FO＝CO，
∴EO＝FO＝AO＝CO，
∴EF＝AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，
∴∠AEC＝90°，
∴AC5，
△ACE的面积AE×EC3×4＝6，
∵122+52＝132，
即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴△ABC的面积AB•AC12×5＝30，
∴凹四边形ABCE的面积＝△ABC的面积﹣△ACE的面积＝30﹣6＝24；
故答案为：24．
27．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．

【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF＝BD，结合条件可求得AF＝DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD＝CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DCBC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCFAC▪DF4×5＝10．

28．【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．求证：AM＝AD+MC．

【探究展示】
（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM＝AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若（2）中矩形ABCD两边AB＝6，BC＝9，求AM的长．
【分析】（1）先构造出△ADE≌△NCE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）设出MC＝x，利用（2）的结论得出AM＝9+x，再利用勾股定理建立方程求出CM即可得出结论．
【解析】（1）如图1，延长AE，BC相交于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠∠DAE＝∠MAE，
∴∠ENC＝∠MAE，在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD＝CN，
∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；

（2）结论AM＝AD+CM仍然成立，
理由：如图2，
延长AE，BC相交于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ENC，
∵AE平分∠DAE，
∴∠DAE＝∠MAE，
∴∠ENC＝∠MAE，
在△ADE和△NCE中，，
∴△ADE≌△NCE，
∴AD＝CN，
∴AM＝MN＝NC+MC＝AD+MC；

（3）设MC＝x，则BM＝BC﹣CN＝9﹣x，
由（2）知，AM＝AD+MC＝9+x，
在Rt△ABM中，AM2﹣BM2＝AB2，
（9+x）2﹣（9﹣x）2＝36，
∴x＝1，
∴AM＝AD+MC＝10．