2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第15讲.期末复习之——几何综合（含答案）

中点模型

①中线（点）：倍长（类）中线

②两中点：中位线

③等腰三角形底边中点：三线合一

④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰

⑤中垂线：中垂线上的点连两端点

有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线．

【例1】         如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，若∠EMD = 3∠MEA．求证：BC=2AB．

【解析】证法一：

如右图（a），延长EM交CD的长线于点，连结CM

∵AB∥CD，

∴∠ME'D =∠MEA ．

又AM = DM ，∠AME =∠DME'

∴△AFM ≌△．

∴EM =

∵AB∥CD，CE⊥AB，

∴EC⊥CD．

∴CM是Rt△斜边的中线，

∴=MC．

∴，

∴∠EMC = 2= 2∠AEM ．

∵∠EMD =3∠MEA，

∴∠CMD =∠DCM，

∴MD = CD ．

∵AD = 2DM，AB = CD ，AD = BC，

∴BC = 2AB ．

证法二：

如右图(b)，过点M作交BC于，过点作交AB的延长线于点，连接．

∴点是的中点，，，，

∵点是Rt△EBC斜边BC的中点，

∴，∴．

∴．

∵∠EMD = 3∠MEA，∴，

∴

∴，．

∴．∴,∴．

∴BC = 2AB．

【例2】         如图所示，分别以△ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，

⑴ 求证：AM⊥EG ；⑵ 求证：EG = 2AM．

【解析】⑴ 如图所示，延长AM到N，使MN = AM,延长MA交EG于点P，连接BN、NC．

∵BM = CM，

∴四边形ABNC是平行四边形．

∴BN = AC = AG．

∵∠EAG +∠BAC = ，

  ∠ABN +∠BAC = ，

∴∠EAG =∠ABN．

∵AE = AB，

∴△EAG≌△ABN．∴∠AEG =∠BAN．

又∵∠EAB = ，

∴∠EAP +∠BAN = ．

∴∠AEP +∠EAP = ．

∴MA⊥EG．

⑵ 证明：∵△EAG≌△ABN，∴EG = AN = 2AM．

【例3】 已知：如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FG⊥DE于点H．

⑴ 求证：FG = DE．

⑵ 求证：FD + BG ≥．                       (2013房山二模)

【解析】延长GC到点P，使得GP = DF，连接EP，DP．

⑴ ∵DF∥GP，GP = DF

∴四边形DFGP为平行四边形

∴FG = DP，FG∥DP

又∵FG⊥DE，∴DP⊥DE

∴∠ADE =∠CDP

在△ADE和△CDP中

∴△ADE≌△CDP

∴DE = DP = FG

⑵ 由⑴知道△DEP为等腰直角三角形

∴

在△EGP中，EG + DF = EG + GP≥PE = FG

当EG∥FD时，取到等号

【例4】         如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？

【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差．

如右图，连接CP、AP．可得：

所以

而，，

所以(平方分米)．

【例5】         已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.

⑴ 如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为           ．

⑵ 如图②，点D不在AB上，⑴中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．                                                 （八中期末）

【解析】⑴ BD =

⑵ 结论成立，

证明：连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得△MDE≌△MFC,

∴DM = FM，DE = FC，

∴AD = ED = FC，

作AN⊥EC于点N，

由已知∠ADE =90°，∠ABC =90°，

可证得∠1 =∠2，∠3 =∠4，

∵CF∥ED，

∴∠1 =∠FCM，

∴∠BCF =∠4 +∠FCM = ∠3 +∠1 =∠3 +∠2 =∠BAD.

∴△BCF≌△BAD,

∴BF = BD，∠5 =∠6，

∴∠DBF =∠5 +∠ABF =∠6 +∠ABF =∠ABC = 90°，

∴△DBF是等腰三角形，

∵点M是DF的中点，

则△BMD是等腰三角形，

∴BD =

【例6】         已知正方形，在边上取一点，作交的外角平分线于，

求证：．

【解析】 法一：如图，连接，过作，交于．

∵，，

∴．

又∵为等腰直角三角形，∴．

又，，

∴，

∴，故．

法二：如图，过作，交的延长线于，连接，

则，

∴，∴．

而，∴．

又，，

∴，有，

∴．

法三：在AB上截取BN=BE，证明即可；

训练1.             如图所示 ，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD = BC，AC与BD交于点O，∠AOB=，P、Q、R分别是OA、OB、OC的中点，求证：△PQR是正三角形．

【解析】证明：如右图，连接BP、CR．

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AD = BC，OA = OB，OC = OD．

∵∠AOB = 60°，

∴△AOB、△COD都是正三角形．

∵P是OA的中点，R是OD的中点，

∴BP⊥OA，CR⊥OD．

∵PR是△ODA的中位线，

∴PR = ．

∴PR = PQ = QR．

∴△PQR是正三角形．

训练2.             如图⑴，四边形中，若，则必然等于．

请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形中取一点，使得，求证：．

【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若和，位置为时可得出和相等（本质为四点共圆）．图⑵中，与关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使与成形，我们可有如下四种方法．

【解析】分别过点、作，，交于点，连接．

∵，

∴，，，

∵，    

∴，

∴四边形为平行四边形    

∴

∵      

∴≌

∴

在四边形中，

∴    

∴

     （∠5不动移∠6）          （∠5，∠6不移动）          （∠5，∠6不移动）

训练3.             已知：在△ABC中，BC = a，AC = b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：

⑴ 如图(a)，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a = b = 3，且∠ACB =60°，则CD = ________；

⑵ 如图(b)，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a = b = 6，且∠ACB =90°，则CD = ________；

⑶ 如图(c)，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数．

【解析】⑴ ；

⑵ ；

⑶ 如图（d），以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E，连接AE、CE、DE．

∴CD = ED，∠CDE = 60°．

∴△CDE为等边三角形．

∴CE = CD．

当点E、A、C不在一条直线上时，有CD = CE < AE + AC = a + b；

如图(e),当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD = CE = a + b；

此时∠CED =∠BCD =∠ECD =60°，∴∠ACB =120°．

因此当∠ACB =120°时，CD有最大值是a + b．