专题09 巧解三角函数-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）

专题09  巧解三角函数  (原卷版）

必会模型一：双直角三角形。（高为些类模型的常见辅助线。）AD为中介，把AB，AC相联系。

图1：

图2：

必会模型二：三直角三角形.(RT△+斜边上的高)

(1)    多组相等比例线段

sinA=sin∠1 ===

sinB=sin∠2===

cosA=cos∠1 ===

cosB=cos∠2 ===

tanA=tan∠1 ===

tanB=tan∠2 ===

(2)    可得射影定理.(快速求线段长.)

AC2＝AD•AB

BC2＝BD•AB

CD2＝AD•BD

三、必会核心技巧： 作垂线，构Rt△ .

中考真题精选

一．填空题

1．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行　    　海里就开始有触礁的危险．

2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．

（Ⅰ）sin∠ABC的值为　              　；

（Ⅱ）点D，F分别为AB，AC上的点，点A关于DF的对称点为E，且DE∥AC，连接DE，EF分别交BC于点H，G，当S△ADF＝15S△EHG时，请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点D，F，并简要说明点D，F的位置是如何找到的（不要求证明）　              　．

3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD，cos∠E，则的值是　               　．

4．如图，四边形ABCD中，BD与AC相交于E点，AE＝CE，BC＝AC＝DC，则tan∠ABD•tan∠ADB＝　              　．

5．关于x的方程2x2﹣5xsinA+2＝0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角△ABC的一个内角；关于y的方程y2﹣10y+m2﹣4m+29＝0的两个根恰好是△ABC的两边长，则△ABC的周长是　                　．

6．如图，工程师为了测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测∠ABD＝37°，再沿BD方向前进100米到达点C，测得∠ACD＝45°，则小岛A到公路BD的距离约为　    　米．（参考数据：sin37°＝0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）

7．如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为　              　．

8．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：，大楼底端B到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝　                　米．

9．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD＝20m，则甲楼的高AB的高度是　             　m．（结果保留根号）

10．△ABC中，AC＝2，点D为直线AB上一点，且AB＝3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为　                　．

11．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为　                　．

12．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛60海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为　                　海里/小时．

13．如图，一楼房AB后有一假山，其斜面坡度为i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，则楼房AB的高为　                　米．

二．解答题

14．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，1.7）

（1）求屋顶到横梁的距离AG；

（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．

15．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．

16．筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．

（1）经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

（3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO＝8m．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上．

（参考数据：cos43°＝sin47°，sin16°＝cos74°，sin22°＝cos68°）

17．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，隧道高6.5m（即BC＝6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，1.73）

18．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．

（1）求无人机的飞行高度AM；

（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）

（已知数据：sinα，cosα，tanα，sinβ，cosβ，tanβ＝2，1.732）

19．深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的A处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向B移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．

（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？

（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？

（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°，cos42°，tan42°）

20．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin34°≈0.56；cos34°≈0.83；tan34°≈0.67）

21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）