专题11 新定义-2022年中考数学二次函数解答题题型全归纳（全国通用）

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专题11  新定义【例1】在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．（1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式；（2）当的值最大时，求点的坐标；（3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线” 的顶点的坐标．【解答】解：（1）当时，，解得或4，，，，由题意设抛物线的解析式为，把代入，，解得，抛物线的解析式为． （2）抛物线与是“共根抛物线”， ，，抛物线，的对称轴是直线，点在直线上，，如图1中，当，，共线时，的值最大，此时点为直线与直线的交点，直线的解析式为，， （3）由题意，，，，，，，，顶点，，由题意，不可能是直角，第一种情形：当时，①如图中，当时，，设，则，，，，，，解得或（舍弃），，． ②如图中，当时，同法可得，，解得或（舍弃），，．第二种情形：当．①如图中，当时，，过点作于．则，，由图可知，，，，，，，，由，可得，，，． ②当时，过点作于．同法可得，，，，，，，由，可得，，．综上所述：点坐标为，或，或，或，．【例2】我们不妨将函数图象关于轴对称的函数称为“对称函数”．（1）判断下列函数是否为对称函数？①；②；③．（2）已知对称函数．①设函数位于轴左侧图象与轴的交点为，轴右侧图象的最低点为，在轴上找一点，使值最大，求点坐标．②一次函数与有两个交点，求的取值范围．【答案】（1）①不是“对称函数”，② 是“对称函数”，③ 是“对称函数”；（2）①点；②或．【解答】解：（1）①，该函数不关于轴对称的函数，故不是“对称函数”；②，由函数的性质知，该函数关于轴对称，故是“对称函数”；③，由函数的性质知，该函数关于轴对称，故是“对称函数”； （2）①函数的图象如下：当时，，令，即，解得或1，故点，设轴左侧图象的最低点为，当时，，故点，当时，，同理可得点，由函数图象知，点关于轴的对称点为点，连接交轴于点，则点为所求点，理由：为最大值，由点、的坐标得，直线的表达式为，令，则，故点； ②设函数交轴于点，则点，临界点1：当一次函数过点时，两个函数有3个交点，将点的坐标代入并解得，当时，一次函数与有两个交点；临界点2，当直线分别轴左侧和右侧的曲线只有一个交点时，两个函数有3个交点，联立和得：，则△，解得，故，联立和得：，则△，解得，故；综上，或．【例3】在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线、、为常数，的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于、两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，，，点横坐标为，．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）如图，点为线段上一动点，将以所在直线为对称轴翻折，点的对称点为，若为该抛物线的“梦想三角形”，求点的坐标；（3）当点在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点、的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），由直线的表达式知，，故一次函数的表达式为；当时，，故点，，点，，则点，则，故抛物线的表达式为将点、的坐标代入上式得，解得，故抛物线的表达式为；抛物线的对称轴为直线，故抛物线的顶点坐标为：； （2）当点在轴上时，为梦想三角形，如图1，过作轴于点，则，由点、的坐标知，，由翻折的性质可知，在中，由勾股定理可得，由抛物线的表达式知，点的坐标为，，故，或，当时，则，与矛盾，不合题意，点坐标为，；当点在轴上时，则与重合，过作轴于点，如图2，在中，，，，，轴，，又由折叠可知，，且，，，此时点坐标为，；综上可知点坐标为，或，； （3）①当为平行四边形的边时，如图3，过作对称轴的垂线，过作轴于点，则有且，，在和中，，，，，抛物线对称轴为，点的横坐标为0或，点在直线上，当点横坐标为0时，则，此时点在直线下方，到轴的距离为，即点纵坐标为，；当点的横坐标为时，则与重合，不合题意，舍去；②当为平行四边形的对角线时，，且，，线段的中点坐标为，设，，则，，，，代入直线解析式可得，解得，，；综上可知存在满足条件的点，此时、或、．【例4】我们定义：对于抛物线，以轴上的点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”．（1）已知抛物线经过点，则　      　，顶点坐标为　    　．该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式是　     　．（2）已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围．（3）已知抛物线．①若抛物线的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求、的值及衍生中心的坐标；②若抛物线关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，为正整数）．求的长（用含的式子表示）．【解答】解：（1）抛物线经过点，，，抛物线解析式为，抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标关于的对称点为，即：新抛物线的顶点坐标为，中，令，，关于点的对称点坐标为，设新抛物线的解析式为，点在新抛物线上，，，新抛物线解析式为，故答案为，，；（2）抛物线①，抛物线的顶点坐标为，设衍生抛物线为，抛物线关于点的衍生抛物线为，，衍生抛物线为②，联立①②得，，整理得，，这两条抛物线有交点，，；（3）①抛物线，此抛物线的顶点坐标为，抛物线的衍生抛物线为，，③两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，④，联立③④，（舍或，，抛物线的顶点坐标为，抛物线的衍生抛物线的顶点坐标为，衍生中心的坐标为； ②抛物线的顶点坐标为，点关于点的对称点为，抛物线的顶点坐标为，同理：，．【例5】定义：若一次函数和反比例函数满足，则称为一次函数和反比例函数的“等差”函数．（1）判断和是否存在“等差”函数？若存在，写出它们的“等差”函数；（2）若和存在“等差”函数，且“等差”函数的图象与的图象的一个交点的横坐标为1，求反比例函数的表达式；（3）若一次函数和反比例函数（其中、、为常数，且，，存在“等差”函数，且与“等差”函数有两个交点，、，，试判断“等差”函数图象上是否存在一点（其中，使得的面积最大？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）存在，假设一次函数与反比例函数存在“等差”函数，则，，，解得：，存在“等差”函数，其解析式为；（2）根据题意知：，，，则“等差”函数的解析式为，反比例函数的解析式为，根据题意，将代入，得：，解得，，故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（3）存在．根据题意知：，，，，则“等差”函数的解析式为，一次函数解析式为，与“等差”函数有两个交点，、，，，即，，，，如图，过点作轴，交于，则，点（其中，点在，之间，，，，当时，取得最大值，最大值为．此时点的坐标是，．【例6】定义：若函数与轴的交点，的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或，则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为3，与轴交点的纵坐标为，满足，称为友好函数．（1）判断是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．【解答】解：（1）是友好函数，理由如下：当时，；当时，或3，与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3，是友好函数； （2）当时，，即与轴交点的纵坐标为，是友好函数，时，，即在上，代入得：，，而，； （3）①如图1，当在轴负半轴上时，由（2）可得：，即，显然当时，，即与轴的一个交点为，则，只需满足，即； ②如图2，当在轴正半轴上，且与不重合时，显然都满足为锐角，，且； ③当与原点重合时，不符合题意，综上所述，或，且．【例7】定义：如图，把经过抛物线，，，为常数）与轴的交点和顶点的直线称为抛物线的“伴线”，若抛物线与轴交于，两点在的右侧），经过点和点的直线称为“标线”．（1）已知抛物线，求伴线的解析式．（2）若伴线为，标线为，①求抛物线的解析式；②设为“标线“上一动点，过作平行于“伴线”，交“标线“上方的抛物线于，求线段长的最大值．【解答】解：（1）与坐标轴的交点为，，，顶点，设伴线，，，；（2）①伴线为，则，标线为，则，，，，将点，代入，，，，点，，，，或，当时，（舍去），；②设点，平行于“伴线”，的直线解析式为，与抛物线的交点，，，，当时，有最大值；【例8】定义：对于抛物线、、是常数，，若，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）将黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②新抛物线如图所示，与轴交于、在的左侧），与轴交于，点是直线下方的抛物线上一动点，连结、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．③当直线下方的抛物线上动点运动到什么位置时，四边形的面积最大并求出此时点的坐标和四边形的最大面积．【解答】解：（1）不唯一，例如：；（2）①：；②存在点，如图1，使四边形为菱形．设点坐标为，交于若四边形是菱形，则有．连结则于，，，解得，（不合题意，舍去）点的坐标为，；③过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设，易得，直线的解析式：则点的坐标为．，当时，四边形的面积最大此时点的坐标为，四边形的面积最大值是3