专题训练26：平行四边形-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求

2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练26：平行四边形（含答案）
一、知识要点：
1、平行四边形
(1)定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
(2)平行四边形的性质
平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
(3)平行四边形的判定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(4)中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
2、矩形
(1)定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
(2)矩形的性质
矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
(3)矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形。
3、菱形
(1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。
(3)菱形的判定
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形。
4、正方形:正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。
二、课标要求：
1、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
2、探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3、了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。
4、探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质。
5、探索并证明三角形的中位线定理。
三、常见考点：
1、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定。
2、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定在几何问题中的综合运用。
3、三角形的中位线定理。
四、专题训练：
1．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）

A．2 B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（　　）

A．4 B．8 C． D．6
4．如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（　　）

A．AB＝AC B．BC＝BD C．AC＝BD D．AB＝BC
5．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A． B． C．3 D．2
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
7．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
8．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为　 　．

10．在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是　 　．

11．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　 　．


12．如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为　 　．

13．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，点D是BC边的中点，则中线AD的长度的取值范围是　 　．
14．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　 　．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF为菱形，③S△ADF：S△ABC＝1：4．其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）

16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．


17．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF　 　（填“是”或“不是”）平行四边形．


18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．



19．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．






20．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积；
（3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值．



21．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．
（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；
（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角．


参考答案
1．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（　　）

A．2 B． C． D．
分析：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x+2，
∵AE⊥BC，BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，
∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，
整理得：2x2+4x﹣6＝0，
解得x＝1或﹣3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故选：B．
点评：本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
分析：根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．
解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
点评：本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（　　）

A．4 B．8 C． D．6
分析：由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH＝BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH＝BD，
∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，
∴BD＝8，
∴OH＝BD＝4；
故选：A．
点评：本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH＝BD．
4．如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（　　）

A．AB＝AC B．BC＝BD C．AC＝BD D．AB＝BC
分析：根据菱形的判定方法即可解决问题．
解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，
故选：D．
点评：本题考查菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（　　）

A． B． C．3 D．2
分析：延长BF交CD的延长线于H，可证EF是△BCH的中位线，由中垂线的性质可得BC＝CH＝8，可求DH＝3，由“AAS”可证△ABF≌△GFH，可得AB＝GH＝5，可求解．
解：如图，延长BF交CD的延长线于H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵E是边BC的中点，
∴EF是△BCH的中位线，
∴BF＝FH，
∵∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF，
∴CF是BH的中垂线，
∴BC＝CH＝8，
∴DH＝CH﹣CD＝3，
在△ABF和△GHF中，
，
∴△ABF≌△GFH（AAS），
∴AB＝GH＝5，
∴DG＝GH﹣DH＝2，
故选：D．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
分析：根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
解：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
点评：本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
7．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
分析：可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．
解：
如图，连接AC、BD相交于点O，

∵四边形ABCD的四边相等，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，S四边形ABCD＝AC•BD，
∴×24BD＝120，解得BD＝10cm，
∴OA＝12cm，OB＝5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝＝13（cm），
∴四边形ABCD的周长＝4×13＝52（cm），
故选：A．
点评：本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键，注意勾股定理的应用．
8．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝　4或﹣2　．
分析：分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值．
解：根据题意画图如下：

以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（﹣2，1），
则x＝4或﹣2；
故答案为：4或﹣2．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为　　．

分析：先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．
解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，

∵根据题意四边形ABEF为菱形，
∴AB＝BE＝，
又∵∠ABE＝30°
∴在Rt△BHE中，EH＝，
根据题意，AB∥CF，
根据平行线间的距离处处相等，
∴HE＝CG＝，
∴Rt△ABC的面积为．
故答案为：．
点评：本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE＝CG，最终求出直角三角形面积．
10．在四边形ABCD中，顺次连接四边中点E、F、G、H，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD填加一个条件，使四边形EFGH成为一个菱形．这个条件是　AC＝BD或ABCD是等腰梯形　．

分析：要使四边形EFGH是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．由中位线定理可知，原四边形必须是对角线相等的四边形．如矩形、等腰梯形、正方形，等．
解：顺次连接四边形各边中点，根据菱形的特点可知四边必须相等，
由中位线定理可知，原四边形必须是对角线相等的四边形．
如矩形、等腰梯形、正方形都是对角线相等的四边形等，
所以添加的条件可是：AC＝BD或ABCD是等腰梯形等．
点评：主要考查了中位线定理和特殊四边形菱形的特点．要掌握：中位线平行且等于底边的一半．
11．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　36　．

分析：连接EF，FG，GH，EH，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，得到EH，EF，FG，GH分别是△ABD，△ABC，△BCD，△ACD的中位线，根据三角形中位线定理得到EH，FG等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC＝BD＝6，得到EH＝EF＝GH＝FG＝3，根据四边都相等的四边形是菱形，得到EFGH为菱形，然后根据菱形的性质得到EG⊥HF，且EG＝2OE，FH＝2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得到OE2+OH2＝EH2＝9，再根据等式的性质，在等式的两边同时乘以4，根据4＝22，把等式进行变形，并把EG＝2OE，FH＝2OH代入变形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值
解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝BD＝3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，
∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，
∴（2OE）2+（2OH）2＝36，
即EG2+FH2＝36．
故答案为：36．

点评：此题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理以及等式的基本性质，本题的关键是连接EF，FG，GH，EH，得到四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质得到EG⊥HF，建立直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
12．如图，在▱ABCD中，AB＝2，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为　16　．

分析：根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AE＝AB＝DE＝CD＝2，∠BEC＝90°，可得BC＝AD＝2+2＝4，再根据勾股定理解答即可．
解：∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝2，BC＝AD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2 ，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝2，
同理可证 DE＝DC＝2，
∴DE+AE＝AD＝4，
∴BE2+CE2＝BC2＝AD2＝16．
故答案为：16．
点评：此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
13．在△ABC中，AB＝3，AC＝4，点D是BC边的中点，则中线AD的长度的取值范围是　0.5＜AD＜3.5　．
分析：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝4，
∵AB＝3，
∴1＜AE＜7，
∴0.5＜AD＜3.5．
故答案为：0.5＜AD＜3.5．

点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定以及三角形的三边关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是　（2，）　．

分析：根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，
∴CD＝AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝120°，
∴∠OAD＝60°，
Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，
∴C（2，），
故答案为：（2，）．
点评：此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF为菱形，③S△ADF：S△ABC＝1：4．其中正确的结论是　①②③　．（填写所有正确结论的序号）

分析：①根据三角形的中位线定理可得出AD＝FE、AF＝FC、DF＝EC，进而可证出△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②根据三角形中位线定理可得出EF∥AB、EF＝AD，进而可证出四边形ADEF为平行四边形，由AB＝AC结合D、F分别为AB、AC的中点可得出AD＝AF，进而可得出四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③根据三角形中位线定理可得出DF∥BC、DF＝BC，进而可得出△ADF∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，结论③正确．此题得解．
解：①∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、DF、EF为△ABC的中位线，
∴AD＝AB＝FE，AF＝AC＝FC，DF＝BC＝EC．
在△ADF和△FEC中，，
∴△ADF≌△FEC（SSS），结论①正确；
②∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF＝AB＝AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．
∵AB＝AC，D、F分别为AB、AC的中点，
∴AD＝AF，
∴四边形ADEF为菱形，结论②正确；
③∵D、F分别为AB、AC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝（）2＝，结论③正确．
故答案为：①②③．
点评：本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．

16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．

分析：（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；
（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．
解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
17．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，则四边形AECF　是　（填“是”或“不是”）平行四边形．

分析：（1）由ASA证明△AOF≌△COE即可；
（2）由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA）
（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：
由（1）得：△AOF≌△COE，
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
故答案为：是．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．

分析：（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．
点评：此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．
19．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．

分析：（1）根据平行四边形的对角线互相平分确定AO和DO的长，然后求得周长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC与BD相互平分，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AC＝26，BD＝10，
∴OA＝13，OD＝5，
∵AD＝12，
∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；
（2）由（1）知 OA＝13，OD＝5，AD＝12，
∵52+ 122＝132 ，
∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2 ，
∴△AOD是直角三角形．
点评：考查了平行四边形的性质及勾股定理的逆定理的知识，解题的关键是了解对角线互相平分，难度不大．
20．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积；
（3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值．

分析：（1）根据菱形性质和全等三角形的判定即可得证；
（2）根据矩形的判定定理，先判断四边形EBFE是矩形，再根据勾股定理求菱形边长，即可求得结论；
（3）根据直角三角形的双垂型证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例和勾股定理，用含OB的式子表示OA和AB即可得结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）由△AOE≌△COF，得OE＝OF，
∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF＝BD，
∴▱EBFE是矩形，∴∠EBF＝90°，
设菱形ABCD的边长为x，∴AB＝AD＝x，∴AE＝16﹣x，
在Rt△AEB中，根据勾股定理，得
AB2＝AE2+BE2，即x2＝（16﹣x）2+82，解得x＝10，
∴S菱形＝BC•BE＝10×8＝80．
答：菱形ABCD的面积为80．
（3）∵EF⊥AB，垂足为G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA⊥OB∴∠AOG+∠BOG＝90°，
∵OG⊥AB，∴∠AOG+∠OAG＝90°，
∴∠BOG＝∠OAG，∠AGO＝∠BGO＝90°，
∴△OBG∽△AOG
∴，
∴OG2＝AG•BG
∵在Rt△GOB中，根据勾股定理，得
OG2＝OB2﹣BG2
∴OB2﹣BG2＝AG•BG，
∵OB＝3AG，
∴BG2+AG•BG﹣90AG2＝0
∴（BG﹣9AG）（BG+10AG）＝0
BG＝9AG，BG＝﹣10AG（不符合题意，舍去），
AB＝BG+AG＝10AG，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得
OA2＝AB2﹣OB2＝100AG2﹣90AG2＝10AG2
∴OA＝AG∴＝
答：的值为．
点评：本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、双垂型三角形相似，解决本题的关键是综合运用以上知识．
21．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，点E在边AC上AB＝AE，过点E作EF∥BC，交AD于点F，连接BF．
（1）如图1，求证：四边形BDEF是菱形；
（2）如图2，当AB＝BC时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角．

分析：（1）根据菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据AB＝BC可得∠BAC＝∠BCA，再根据EF∥BC，可得∠AEF＝∠C，进而可得度数等于∠BAD的2倍的所有的角．
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∵AB＝AE，AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴DB＝DE，∠BDA＝∠EDA．
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠BDA，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴EF＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF为菱形．
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝2∠BAD，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCA＝2∠BAD，
∵∠ABF＝∠AEF，
∴∠ABF＝2∠BAD．
所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：
∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF