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专题训练27：圆的有关性质-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求
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2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练27：圆的有关性质（含答案）
一、知识要点：
1、圆:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外d＞r ；点P在圆上d=r ；点P在圆内d＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
二、课标要求：
1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。
2、掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
4、知道三角形的外心。
三、常见考点：
1、圆的对称性，垂径定理。2、弧、弦、圆心角之间的关系。3、圆周角定理及其推论。
4、三角形的外心。
四、专题训练：
1．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
2．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
3．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（ ）
A．90° B．80° C．69° D．65°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（ ）
A．45°﹣α B．α C．45°+α D．25°+α
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．1 B．2﹣1 C． D．﹣1
8．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO的点E共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（ ）
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
10．在半径为0.5米的地球仪的表面之外，距赤道1米拉一根绳子绕地球仪一周，这条绳子比地球仪的赤道周长多M米；如果在地球赤道表面也这样做，这条绳子比地球赤道周长多N米，则M与N的关系为 ．（①M＝N；②M＞N；③M＜N；④无法确定）
11．已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为 ．
12．如图，AB是半圆O的直径，AB＝8，C是半径OA上的一动点，CD⊥AB交⊙O于点D，在边CB上取一点E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于点F．当DF∥AB时，四边形DCEF的周长为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是 ．
14．如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，则∠BOC＝ 度．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
16．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．
17．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．
18．如图，已知 A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是 ．
19．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
20．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 ．
21．如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
23．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
24．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
参考答案
1．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
分析：连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD＝90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD＝2；由ABC为等边三角形得∠A＝60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，易得∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD＝BD＝1，BC＝CD＝，然后根据矩形的面积公式求解．
解：连结BD、OC，如图，
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD＝2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
而OB＝OC，
∴∠CBD＝30°，
在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，
∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝．
故选：B．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．
2．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
分析：连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
点评：此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
3．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（ ）
A．90° B．80° C．69° D．65°
分析：根据题意可得出△ABE、△BEC是等腰三角形，在等腰三角形中先求出∠AEB的度数，然后利用外角的性质可求出∠EBC的度数，继而可得出答案．
解：∵AB＝AE，EC＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠EBC＝∠ACB，
又∵∠A＝88°，
∴∠ABE＝∠AEB＝46°，∠EBC＝∠ACB＝∠AEB＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝69°．
故选：C．
点评：此题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠ABE及∠EBC的度数，难度一般．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（ ）
A．45°﹣α B．α C．45°+α D．25°+α
分析：连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：连接OD，
∵的度数为α，
∴∠DCE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵BC＝DC，
∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，
∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，
故选：A．
点评：本题考查了圆心角，弧，弦，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
分析：根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论
解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠D＝100°，
故选：A．
点评：本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
分析：连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
点评：本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．1 B．2﹣1 C． D．﹣1
分析：确定点C的运动路径是：以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，先求⊙D的半径为1，说明D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD＝，所以OC的最小值是﹣1．
解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆（CA：PA＝1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆），当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴AB＝3，
∵⊙B的半径为2，
∴BP1＝2，AP1＝3+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2＝C2Q＝﹣1，
C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半径为1，
∵AD＝﹣1+1＝＝AB，
∴OD＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
方法二：如图，取A′（0，﹣3），连接PA′．
根据三角形中位线定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解决问题．
故选：D．
点评：本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短，确定出OC最小时点C的位置是解题关键，也是本题的难点．
8．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO的点E共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：作出图形，根据画图可知应分E在AB的延长线上、在BA的延长线上、在线段AB上，三种情况来解决．
解：
如图所示，点E的位置有3个．当是E1时，∠CE1O＝10°；
当是E2时，则∠CE20＝110°；
当是E3时，则∠CE3O＝50°．
故选：C．
点评：此题根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到三种情况．
9．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（ ）
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
分析：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．
解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故选：C．
点评：本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．
10．在半径为0.5米的地球仪的表面之外，距赤道1米拉一根绳子绕地球仪一周，这条绳子比地球仪的赤道周长多M米；如果在地球赤道表面也这样做，这条绳子比地球赤道周长多N米，则M与N的关系为 ① ．（①M＝N；②M＞N；③M＜N；④无法确定）（填序号）
分析：根据圆的周长公式分别计算出M与N的值，从而得到M与N的大小关系．
解：因为地球仪的半径为0.5米，所以所拉绳子组成的环的半径为0.5+1＝1.5米．
所以绳构成的环的周长为：2π×1.5＝3π米，
又因为地球仪赤道的周长为：2π×0.5＝π米，
所以这条绳子比地球仪赤道的周长多：3π﹣π＝2π米，即M＝2π；
设地球的半径是r米，则增加后，圆的半径是（r+1）米．
所以两者周长的差为：2π（r+1）﹣2πr＝2π米，即N＝2π．
∴M＝N．
故答案为①．
点评：本题主要考查了圆的周长公式：圆的周长＝2π×圆的半径．注意这里的M和N指的都是增加的周长．
11．已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为 6 ．
分析：根据垂径定理解答即可．
解：∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵OD＝4，
∴AD＝，
∴⊙O截y轴所得的弦长为6，
故答案为：6．
点评：此题考查垂径定理问题，关键是根据点的坐标得出OD的长度．
12．如图，AB是半圆O的直径，AB＝8，C是半径OA上的一动点，CD⊥AB交⊙O于点D，在边CB上取一点E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于点F．当DF∥AB时，四边形DCEF的周长为 12 ．
分析：证得四边形DCEF是矩形，进一步证得CD＝OC＝OE＝EF，解等腰直角三角形求得CD＝OC＝OE＝EF＝2，即可求得四边形的面积．
解：如图，连接OD，OF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∵DF∥AB，
∴四边形DCEF是矩形，
∴DC＝EF，
在Rt△CDO和Rt△EFO中，
，
∴Rt△CDO≌Rt△EFO（HL），
∴OC＝OE，
∵CE＝2CD，
∴CD＝OC，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
∴OC＝CD＝2，
∴CE＝4，
∴四边形DCEF的周长＝12，
故答案为12．
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，证得OC＝OE是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
分析：先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②④．
解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，
∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正确，
∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确，
∵AE＝BE，
∴＝，
又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．
∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，
∴BE＞2EC，
∴AE＞2EC，故③错误．
∵∠BEC＝90°，
∴BC＞BE，
又∵AE＝BE，
∴BC＞AE
故⑤错误．
故答案为：①②④．
点评：本题利用了：①等腰三角形的性质；②圆周角定理；③三角形内角和定理．
14．如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，则∠BOC＝ 70 度．
分析：利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出．
解：∵AB和CD为⊙O的两条直径，弧CE的度数为40°，
∴连接OE，则OE＝OC，
∠COE＝40°，
故∠1＝∠2＝（180°﹣∠COE）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠BOC＝∠1＝70°．
故填70°．
点评：本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，比较简单．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 6 ．
分析：根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
点评：本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
16．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 2 ．
分析：连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2．
点评：本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
17．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 120 °．
分析：设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝5x，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结论．
解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
点评：本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
18．如图，已知 A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是 2﹣ ．
分析：先根据当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，连接CD，则CD⊥AD，再求出A、B两点的坐标，再根据勾股定理求出AD，从而得出S△ACD，再根据△AOE∽△ADC，求出△ABE的面积．
解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，
连接CD，则CD⊥AD，
∴A、B两点的坐标是（2，0），（0，2），
在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝OC+OA＝4，
由勾股定理，得：AD＝2，
∴S△ACD＝AD•CD＝×2×2＝2，
∵△AOE∽△ADC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AOE＝S△ADC＝
∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣．
故答案为：2﹣．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线的性质、勾股定理、相似三角形的性质，关键是根据题意画出图形，求出△ABE的面积的最大值和最小值．
19．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 （2，0） ．
分析：根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解．
解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
点评：本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键．
20．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4 ．
分析：（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．
（2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．
点评：本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
21．如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
分析：（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；
（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．
解：（1）∵∠ADC＝∠G，
∴＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，
∵＝，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1＝，
∴EB＝DE•tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2＝，
∴AE＝＝，
∴AB＝AE+EB＝，
∴⊙O的半径为．
点评：本题考查了圆周角定理、轴对称的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
分析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
点评：本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
分析：（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，即2∠A+α+β＝180°，再解方程即可．
解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
24．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
分析：（1）利用圆周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，从而可判断△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于 的中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，如图1，先证明∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明△OAP和△OBP都为等边三角形，从而得到四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝PA，证明△APB≌△ADC得到PB＝DC，从而得到PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
（1）证明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：当点P位于 的中点时，四边形PBOA是菱形．
理由如下：连接OP，如图1，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，
而P是的中点，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP都为等边三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）解：如图2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
分析：（1）连接OA，求BE＝3，设OA＝x，则OB＝x，OE＝x﹣3，得出（x﹣3）2+42＝x2，易求出半径；
（2）连接CD，先证OA⊥BC，再得OA∥CD，设OA与BC交于点H，OH＝a，则CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH＝a，求出AB＝2a，则可得出sin∠ACB＝．
解：（1）如图1，连接OA，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，AB＝5，
∴BE＝＝＝3，
设OA＝x，则OB＝x，
∴OE＝x﹣3，
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
解得x＝，
∴⊙O的半径为；
（2）如图2，连接CD，设OA与BC交于点H，
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BHO＝90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHO＝∠BCD，
∴OA∥CD，
设OH＝a，则CD＝2a，
∵BD＝2DF，BD＝2OD，
∴DF＝OD，
∴OA＝2CD＝4a，
∴AH＝3a，
∴BH＝＝＝a，
∴AB＝＝2a，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝＝＝
一、知识要点：
1、圆:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角之间的关系
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角
定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外d＞r ；点P在圆上d=r ；点P在圆内d＜r 。
性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
二、课标要求：
1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关系。
2、掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
4、知道三角形的外心。
三、常见考点：
1、圆的对称性，垂径定理。2、弧、弦、圆心角之间的关系。3、圆周角定理及其推论。
4、三角形的外心。
四、专题训练：
1．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
2．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
3．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（ ）
A．90° B．80° C．69° D．65°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（ ）
A．45°﹣α B．α C．45°+α D．25°+α
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．1 B．2﹣1 C． D．﹣1
8．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO的点E共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（ ）
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
10．在半径为0.5米的地球仪的表面之外，距赤道1米拉一根绳子绕地球仪一周，这条绳子比地球仪的赤道周长多M米；如果在地球赤道表面也这样做，这条绳子比地球赤道周长多N米，则M与N的关系为 ．（①M＝N；②M＞N；③M＜N；④无法确定）
11．已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为 ．
12．如图，AB是半圆O的直径，AB＝8，C是半径OA上的一动点，CD⊥AB交⊙O于点D，在边CB上取一点E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于点F．当DF∥AB时，四边形DCEF的周长为 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是 ．
14．如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，则∠BOC＝ 度．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
16．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．
17．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．
18．如图，已知 A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是 ．
19．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 ．
20．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 ．
21．如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
23．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
24．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
参考答案
1．如图，⊙O的半径为1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D、E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．
分析：连接BD、OC，根据矩形的性质得∠BCD＝90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD＝2；由ABC为等边三角形得∠A＝60°，于是利用圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝120°，易得∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD＝BD＝1，BC＝CD＝，然后根据矩形的面积公式求解．
解：连结BD、OC，如图，
∵四边形BCDE为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD＝2，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
而OB＝OC，
∴∠CBD＝30°，
在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，
∴矩形BCDE的面积＝BC•CD＝．
故选：B．
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质．
2．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
分析：连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
点评：此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
3．圆中有两条等弦AB＝AE，夹角∠A＝88°，延长AE到C，使EC＝BE，连接BC，如图．则∠ABC的度数是（ ）
A．90° B．80° C．69° D．65°
分析：根据题意可得出△ABE、△BEC是等腰三角形，在等腰三角形中先求出∠AEB的度数，然后利用外角的性质可求出∠EBC的度数，继而可得出答案．
解：∵AB＝AE，EC＝BE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠EBC＝∠ACB，
又∵∠A＝88°，
∴∠ABE＝∠AEB＝46°，∠EBC＝∠ACB＝∠AEB＝23°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝69°．
故选：C．
点评：此题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠ABE及∠EBC的度数，难度一般．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（ ）
A．45°﹣α B．α C．45°+α D．25°+α
分析：连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
解：连接OD，
∵的度数为α，
∴∠DCE＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵BC＝DC，
∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，
∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，
故选：A．
点评：本题考查了圆心角，弧，弦，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
分析：根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论
解：在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D＝180°﹣∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠D＝100°，
故选：A．
点评：本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
分析：连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
点评：本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．1 B．2﹣1 C． D．﹣1
分析：确定点C的运动路径是：以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC的长最小，先求⊙D的半径为1，说明D是AB的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得OD＝，所以OC的最小值是﹣1．
解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆（CA：PA＝1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆），当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴AB＝3，
∵⊙B的半径为2，
∴BP1＝2，AP1＝3+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2＝C2Q＝﹣1，
C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半径为1，
∵AD＝﹣1+1＝＝AB，
∴OD＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
方法二：如图，取A′（0，﹣3），连接PA′．
根据三角形中位线定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解决问题．
故选：D．
点评：本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短，确定出OC最小时点C的位置是解题关键，也是本题的难点．
8．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO的点E共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：作出图形，根据画图可知应分E在AB的延长线上、在BA的延长线上、在线段AB上，三种情况来解决．
解：
如图所示，点E的位置有3个．当是E1时，∠CE1O＝10°；
当是E2时，则∠CE20＝110°；
当是E3时，则∠CE3O＝50°．
故选：C．
点评：此题根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到三种情况．
9．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（ ）
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
分析：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．
解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故选：C．
点评：本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答．
10．在半径为0.5米的地球仪的表面之外，距赤道1米拉一根绳子绕地球仪一周，这条绳子比地球仪的赤道周长多M米；如果在地球赤道表面也这样做，这条绳子比地球赤道周长多N米，则M与N的关系为 ① ．（①M＝N；②M＞N；③M＜N；④无法确定）（填序号）
分析：根据圆的周长公式分别计算出M与N的值，从而得到M与N的大小关系．
解：因为地球仪的半径为0.5米，所以所拉绳子组成的环的半径为0.5+1＝1.5米．
所以绳构成的环的周长为：2π×1.5＝3π米，
又因为地球仪赤道的周长为：2π×0.5＝π米，
所以这条绳子比地球仪赤道的周长多：3π﹣π＝2π米，即M＝2π；
设地球的半径是r米，则增加后，圆的半径是（r+1）米．
所以两者周长的差为：2π（r+1）﹣2πr＝2π米，即N＝2π．
∴M＝N．
故答案为①．
点评：本题主要考查了圆的周长公式：圆的周长＝2π×圆的半径．注意这里的M和N指的都是增加的周长．
11．已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为 6 ．
分析：根据垂径定理解答即可．
解：∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵OD＝4，
∴AD＝，
∴⊙O截y轴所得的弦长为6，
故答案为：6．
点评：此题考查垂径定理问题，关键是根据点的坐标得出OD的长度．
12．如图，AB是半圆O的直径，AB＝8，C是半径OA上的一动点，CD⊥AB交⊙O于点D，在边CB上取一点E，使得CE＝2CD．EF⊥AB交⊙O于点F．当DF∥AB时，四边形DCEF的周长为 12 ．
分析：证得四边形DCEF是矩形，进一步证得CD＝OC＝OE＝EF，解等腰直角三角形求得CD＝OC＝OE＝EF＝2，即可求得四边形的面积．
解：如图，连接OD，OF，
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∵DF∥AB，
∴四边形DCEF是矩形，
∴DC＝EF，
在Rt△CDO和Rt△EFO中，
，
∴Rt△CDO≌Rt△EFO（HL），
∴OC＝OE，
∵CE＝2CD，
∴CD＝OC，
∵AB＝8，
∴OD＝4，
∴OC＝CD＝2，
∴CE＝4，
∴四边形DCEF的周长＝12，
故答案为12．
点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，证得OC＝OE是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
分析：先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②④．
解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，
∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正确，
∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确，
∵AE＝BE，
∴＝，
又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．
∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，
∴BE＞2EC，
∴AE＞2EC，故③错误．
∵∠BEC＝90°，
∴BC＞BE，
又∵AE＝BE，
∴BC＞AE
故⑤错误．
故答案为：①②④．
点评：本题利用了：①等腰三角形的性质；②圆周角定理；③三角形内角和定理．
14．如图，已知：AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，则∠BOC＝ 70 度．
分析：利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求出．
解：∵AB和CD为⊙O的两条直径，弧CE的度数为40°，
∴连接OE，则OE＝OC，
∠COE＝40°，
故∠1＝∠2＝（180°﹣∠COE）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠BOC＝∠1＝70°．
故填70°．
点评：本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，比较简单．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 6 ．
分析：根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解．
解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形
∴OB＝BC＝6，
故答案为6．
点评：本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
16．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 2 ．
分析：连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，由直角三角形的性质得出AC＝2CH＝2，AC＝BC＝2，AB＝2BC，得出BC＝2，AB＝4，求出OA＝2即可．
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，
∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，
∵∠A＝30°，
∴AC＝2CH＝2，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，
∴BC＝2，AB＝4，
∴OA＝2，
即⊙O的半径是2；
故答案为：2．
点评：本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
17．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 120 °．
分析：设∠A＝4x，∠B＝3x，∠C＝5x，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结论．
解：∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
点评：本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
18．如图，已知 A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是 2﹣ ．
分析：先根据当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，连接CD，则CD⊥AD，再求出A、B两点的坐标，再根据勾股定理求出AD，从而得出S△ACD，再根据△AOE∽△ADC，求出△ABE的面积．
解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，
连接CD，则CD⊥AD，
∴A、B两点的坐标是（2，0），（0，2），
在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝OC+OA＝4，
由勾股定理，得：AD＝2，
∴S△ACD＝AD•CD＝×2×2＝2，
∵△AOE∽△ADC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△AOE＝S△ADC＝
∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣．
故答案为：2﹣．
点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是切线的性质、勾股定理、相似三角形的性质，关键是根据题意画出图形，求出△ABE的面积的最大值和最小值．
19．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 （2，0） ．
分析：根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解．
解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上
∴经过点A，B，C可以确定一个圆
∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上
∴设圆心坐标为M（2，m）
则点M在线段BC的垂直平分线上
∴MB＝MC
由勾股定理得：＝
∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1
∴m＝0
∴圆心坐标为M（2，0）
故答案为：（2，0）．
点评：本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键．
20．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4 ．
分析：（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可．
（2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径．
解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：r＝a2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4．
点评：本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
21．如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1＝，求⊙O的半径．
分析：（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，即可证明∠1＝∠2；
（2）连接DF，根据垂径定理可得FD＝FC＝10，再根据对称性可得DC＝DF，进而可得DE的长，再根据锐角三角函数即可求出⊙O的半径．
解：（1）∵∠ADC＝∠G，
∴＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴＝，
∴∠1＝∠2；
（2）如图，连接DF，
∵＝，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，CE＝DE，
∴FD＝FC＝10，
∵点C，F关于DG对称，
∴DC＝DF＝10，
∴DE＝5，
∵tan∠1＝，
∴EB＝DE•tan∠1＝2，
∵∠1＝∠2，
∴tan∠2＝，
∴AE＝＝，
∴AB＝AE+EB＝，
∴⊙O的半径为．
点评：本题考查了圆周角定理、轴对称的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
分析：（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
点评：本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
23．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
分析：（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，即2∠A+α+β＝180°，再解方程即可．
解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
24．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；
（3）已知PA＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．
分析：（1）利用圆周角定理得到∠BAC＝∠CPB＝60°，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，从而可判断△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于 的中点时，四边形PBOA是菱形，连接OP，如图1，先证明∠AOP＝∠BOP＝60°，再证明△OAP和△OBP都为等边三角形，从而得到四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD＝PA，证明△APB≌△ADC得到PB＝DC，从而得到PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
（1）证明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：当点P位于 的中点时，四边形PBOA是菱形．
理由如下：连接OP，如图1，
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，
而P是的中点，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
又∵OA＝OP＝OB，
∴△OAP和△OBP都为等边三角形，
∴OA＝AP＝OB＝PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）解：如图2，在PC上截取PD＝PA，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴PA＝DA，∠DAP＝60°，
∵∠PAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△APB和△ADC中
，
∴△APB≌△ADC（ASA），
∴PB＝DC，
又∵PA＝PD，
∴PC＝PD+DC＝PA+PB＝a+b．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了等边三角形的判定与性质和菱形的判定．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
分析：（1）连接OA，求BE＝3，设OA＝x，则OB＝x，OE＝x﹣3，得出（x﹣3）2+42＝x2，易求出半径；
（2）连接CD，先证OA⊥BC，再得OA∥CD，设OA与BC交于点H，OH＝a，则CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH＝a，求出AB＝2a，则可得出sin∠ACB＝．
解：（1）如图1，连接OA，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，AB＝5，
∴BE＝＝＝3，
设OA＝x，则OB＝x，
∴OE＝x﹣3，
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
解得x＝，
∴⊙O的半径为；
（2）如图2，连接CD，设OA与BC交于点H，
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BHO＝90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHO＝∠BCD，
∴OA∥CD，
设OH＝a，则CD＝2a，
∵BD＝2DF，BD＝2OD，
∴DF＝OD，
∴OA＝2CD＝4a，
∴AH＝3a，
∴BH＝＝＝a，
∴AB＝＝2a，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC＝＝＝
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