考点04 中考一轮复习之因式分解-2022届九年级《新题速递·数学》（人教版）

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考点04 中考一轮复习之因式分解

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共14小题）

1.（2021秋•厦门期末）运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解，公式中的a可以是（　　）
A．2x2 B．4x2 C．2x D．4x

【答案】C
【分析】直接利用完全平方公式得出答案．
【解答】解：∵4x2+4x+1
＝（2x）2+2×2x+1
＝（2x+1）2，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：2x．
故选：C．
【知识点】因式分解-运用公式法

2.（2021秋•黄埔区期末）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）＝am+an
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．x2﹣16+6x＝（x+4）（x﹣4）+6x
D．a2﹣b2﹣c2＝（a﹣b）（a+b）﹣c2

【答案】B
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
C．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【知识点】因式分解的意义、因式分解-提公因式法

3.（2021秋•甘井子区期末）若x2+mx+9＝（x﹣3）2，则m＝（　　）
A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3

【答案】B
【分析】根据题目中的式子，将等号右边的式子展开，按照等号左右两边的式子相等，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵x2+mx+9＝（x﹣3）2，
∴x2+mx+9＝x2﹣6x+9，
∴m＝﹣6，
故选：B．
【知识点】因式分解-运用公式法

4.（2021秋•虎林市期末）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）

【答案】D
【分析】根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解．
【解答】解：A、原式＝x（x﹣1），故本选项不符合题意．
B、原式＝（a﹣4）（a+1），故本选项不符合题意．
C、原式＝（a﹣b）2，故本选项不符合题意．
D、原式＝（x+y）（x﹣y），故本选项符合题意．
故选：D．
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用、因式分解-十字相乘法等

5.（2021秋•绥中县期末）已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（　　）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6

【答案】D
【分析】首先提公因式xy，再代入计算即可．
【解答】解：x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×（﹣2）＝﹣6，
故选：D．
【知识点】代数式求值、因式分解-提公因式法

6.（2021秋•河南期末）把2a3﹣8a分解因式，结果正确的是（　　）
A．2a（a2﹣4） B．2（a﹣2） 2
C．2a（a+2）（a﹣2） D．2a（a+2） 2

【答案】C
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣4）
＝2a（a+2）（a﹣2）．
故选：C．
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

7.（2021秋•安定区期末）已知x+y＝1，则＝（　　）
A．1 B． C．2 D．1或2

【答案】B
【分析】利用提公因式法和完全平方公式将进行因式分解，再整体代入计算即可．
【解答】解：＝（x2+2xy+y2）
＝（x+y）2
＝×12
＝，
故选：B．
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

8.（2021春•赫章县期末）已知三角形的三边a，b，c满足（b﹣a）（b2+c2）＝ba2﹣a3，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形

【答案】D
【分析】对（b﹣a）（b2+c2）＝ba2﹣a3因式分解得（b﹣a）（b2+c2﹣a2）＝0，依此即可求解．
【解答】解：（b﹣a）（b2+c2）＝ba2﹣a3，
（b﹣a）（b2+c2）＝a2（b﹣a），
（b﹣a）（b2+c2）﹣a2（b﹣a）＝0，
（b﹣a）（b2+c2﹣a2）＝0，
则b﹣a＝0或b2+c2﹣a2＝0，
则b＝a或b2+c2＝a2，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【知识点】因式分解的应用

9.（2021•河北）若＝8×10×12，则k＝（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】B
【分析】根据平方差公式和分式方程的解法，即可得到k的值．
【解答】解：方程两边都乘以k，得
（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，
∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，
∴80×120＝8×10×12k，
∴k＝10．
经检验k＝10是原方程的解．
故选：B．
【知识点】平方差公式、因式分解-运用公式法

10.（2021秋•潮阳区期末）分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（　　）
A．（x﹣2）（x+3） B．（x+2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3） D．（x+2）（x+3）

【答案】B
【分析】利用乘法和因式分解的关系，根据甲的分解结果确定b的值，根据乙的分解结果确定a的值，然后分解多项式x2+ax+b．
【解答】解：因为（x+6）（x﹣1）＝x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，
由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b＝6，
乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a＝﹣1，
所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6＝（x﹣3）（x+2）
故选：B．
【知识点】因式分解-十字相乘法等

11.（2021春•句容市期末）已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．无法确定

【答案】A
【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算．
【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，
∴m2﹣n2＝3n﹣3m，
∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，
∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，
∵m≠n，
∴（m+n）+3＝0，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．
故选：A．
【知识点】因式分解的应用

12.（2021秋•乳山市期中）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mm+m2n2，用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．
【解答】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；
②﹣a2b2+1＝1﹣（ab）2＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；
③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；
④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；
⑤﹣mm+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，
故选：B．
【知识点】因式分解-运用公式法

13.（2021•青山区模拟）对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】D
【分析】按照题目规则，分别调换数字，求出三个数字，求和后除以111，即可求解．
【解答】解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486，
这三个新三位数的和为648+864+486＝1998，
1998÷111＝18，
所以F（468）＝18．
故选：D．
【知识点】因式分解的应用

14.设a为实数，且a3+a2﹣a+2＝0，则（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013＝（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1

【答案】D
【分析】由已知等式用分组分解法，提取公因式法，整式乘法，方程等知识恒等变形，求出符合条件的a+1的值为﹣1，再将﹣1代入式子中进行运算求出值为﹣1，即答案为D．
【解答】解：∵a3+a2﹣a+2＝0，
（a3+1）+（a2﹣a+1）＝0，
（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）＝0
（a2﹣a+1）（a+1+1）＝0，
（a2﹣a+1）（a+2）＝0，
∴a+2＝0，或a2﹣a+1＝0，
（1）若a2﹣a+1＝0时，
△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∵a为实数，
∴此二元一次方程在实数范围内无解；
（2）若a+2＝0时，
变形得：a+1＝﹣1…①
将①代入下列代数式得：
（a+1）2011+（a+1）2012+（a+1）2013
＝（﹣1）2011+（﹣1）2012+（﹣1）2013
＝﹣1+1+（﹣1）
＝﹣1
故选：D．
【知识点】因式分解的应用


二、填空题（共10小题）

15.（2021秋•河西区期末）分解因式：2ax2﹣12axy+18ay2＝　　．

【答案】2a（x-3y）2
【分析】先提公因式2a，然后利用公式法分解因式．
【解答】解：原式＝2a（x2﹣6xy+9y2）
＝2a（x﹣3y）2．
故答案为2a（x﹣3y）2．
【知识点】因式分解-提公因式法

16.（2021•蒙阴县二模）在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝　　．

【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式＝ab（b2﹣5）＝ab（b+）（b﹣），
故答案为：ab（b+）（b﹣）．
【知识点】实数范围内分解因式

17.（2021•鞍山一模）因式分解：x2+4y2﹣4xy＝　　．

【答案】（x-2y）2
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，
故答案为：（x﹣2y）2．
【知识点】因式分解-运用公式法

18.（2021•玄武区一模）分解因式a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）的结果是　　．

【答案】a（x-1）（x-2）
【分析】直接找出公因式进而提取分解因式即可．
【解答】解：a（x﹣1）2﹣a（x﹣1）
＝a（x﹣1）（x﹣1﹣1）
＝a（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为：a（x﹣1）（x﹣2）．
【知识点】因式分解-提公因式法

19.（2021•宁波模拟）设，，则a4+b4+c4﹣a2b2﹣b2c2﹣c2a2的值等于　　　．

【答案】5
【分析】把所给代数式整理为和a2﹣b2，b2﹣c2，a2﹣c2有关的形式，把相关数值代入求值即可．
【解答】解：∵①；②；
∴①+②得：a2﹣c2＝2，
∴原式＝＝＝5，
故答案为5．
【知识点】代数式求值、因式分解的应用

20.（2021秋•黄埔区期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝　　，x3y﹣xy＝　　．

【答案】【第1空】（y-z）（2a+3b）
【第2空】xy（x+1）（x-1）
【分析】原式变形后提取公因式即可；原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
＝2a（y﹣z）+3b（y﹣z）
＝（y﹣z）（2a+3b），
x3y﹣xy
＝xy（x2﹣1）
＝xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（y﹣z）（2a+3b）；xy（x+1）（x﹣1）．
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

21.（2021春•下城区期末）已知x2+kx+12＝（x+a）（x+b），x2+kx+15＝（x+c）（x+d），其中a，b，c，d均为整数．则k＝　　．

【答案】±8
【分析】把等式右边展开，由对应相等得出a+b＝k＝c+d，ab＝12，cd＝15；再由a，b，c，d均为整数，求出k的值即可．
【解答】解：∵x2+kx+12＝（x+a）（x+b），
∴x2+kx+12＝x2+（a+b）x+ab，
∴a+b＝k，ab＝12；
∵x2+kx+15＝（x+c）（x+d），
∴x2+kx+15＝x2+（c+d）x+cd，
∴c+d＝k，cd＝15；
∵a，b，c，d均为整数，
∴k＝±8；
故答案为±8．
【知识点】因式分解-十字相乘法等

22.（2021秋•齐河县期末）找规律：m2﹣1＝（m﹣1）（m+1），m3﹣1＝（m﹣1）（m2+m+1），m4﹣1＝（m﹣1）（m3+m2+m+1）…根据上面的规律得mn﹣1＝　　．

【答案】（m-1）（mn-1+mn-2+…+m+1）
【分析】直接利用公式法以及数之变化规律进而得出答案．
【解答】解：∵m2﹣1＝（m﹣1）（m+1），m3﹣1＝（m﹣1）（m2+m+1），m4﹣1＝（m﹣1）（m3+m2+m+1）…
∴根据上面的规律得：mn﹣1＝（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）．
故答案为：（m﹣1）（mn﹣1+mn﹣2+…+m+1）．
【知识点】因式分解-运用公式法、规律型：数字的变化类

23.（2021•浙江自主招生）△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC的周长为　　．

【答案】12
【分析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．
【解答】解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119
∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120
（a+1）（b+1）（c+1）＝120
∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边
∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．
故可分为以下6种情况：
（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c＝12．
（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．
综上可知，△ABC的周长为12．
故答案为12．
【知识点】因式分解的应用、三角形三边关系

24.（2021•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　　．

【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【知识点】因式分解的应用、一元二次方程的解


三、解答题（共10小题）

25.（2021秋•雁江区期末）把下列多项式进行因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x2y+6xy﹣9y；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；

【分析】（1）提公因式﹣y，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）利用平方差公式，再整理即可．
【解答】解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y
＝﹣y（x2﹣6x+9）
＝﹣y（x﹣3）2；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（5x+4y）（x+8y）．
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

26.（2021春•溧水区期末）因式分解：
（1）a3﹣2a2+a；
（2）4a2（2x﹣y）+b2（y﹣2x）．

【分析】（1）先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式（2x﹣y），再利用平方差公式进行因式分解即可；
【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣2a+1）＝a（a﹣1）2，
（2）原式＝（2x﹣y）（ 4a2﹣b2）＝（2x﹣y） （2a+b）（ 2a﹣b）．
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

27.（2021秋•南安市期中）分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2．
（2）（x+y）2﹣4（x+y﹣1）．

【分析】（1）直接提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）
＝3a（x﹣y）2；

（2）原式＝（x+y）2﹣4（x+y）+4
＝（x+y﹣2）2．
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

28.（2021春•沙坪坝区期末）对任意一个三位数m，如果m的百位数字与个位数字相等，则称这个三位数m为“对称数”；对任意一个三位数n，如果n的百位数字与个位数字之和等于十位数字，那么称这个三位数n为“平衡数”．
（1）直接写出既是“对称数”又是“平衡数”的所有三位数；
（2）若一个三位数x，交换x的百位数字与个位数字得到一个新的三位数y，如果x+y既是“对称数”又是“平衡数”，求出符合条件的三位数x的个数，并说明理由．

【分析】（1）根据“对称数”和“平衡数”的定义写出三位数即可；
（2）根据三位数的表示法表示出x和y，再根据“对称数”和“平行数”的定义，求出x的百位上的数字即可解决问题．
【解答】解答：（1）既是“对称数”又是平衡数的三位数是121，242，363，484；
（2）设x的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则表示x的三位数字为：100a+10b+c，
交换x的百位上的数字与十位上的数字得y，即100c+10b+a，
∴x+y＝100（a+c）+20b+（a+c），
∵x+y既是“对称数”又是“平衡数”，
∴，
∴b＝2a＝2c，
∵a，b，c为自然数，且0＜a＜9，0＜b＜9，0＜c＜9，
分两种情况：
①当a＝c时，
当a＝c＝1时，b＝2，此时x为121，
当a＝c＝2时，b＝4，此时x为242，
当a＝c＝3时，b＝6，此时x为363，但x+y不是三位数，
②当a≠c时，
当a＝1，c＝2时，此时x为132；
当a＝2，c＝1时，此时x为231；
当a＝1，c＝3时，此时x为143；
当a＝3，c＝1时，此时x为341；
故满足条件的三位数x有6个．
【知识点】因式分解的应用

29.（2021秋•南关区校级期末）如图，在一个边长为a米的正方形铁皮的四角各剪去一个边长为b（b＜）米的正方形．
（1）用含a和b的代数式表示剩余铁皮的面积；
（2）利用因式分解的知识计算，当a＝6.6，b＝1.7时，剩余铁皮的面积是多少平方米．


【分析】（1）根据图形，可以用含a和b的代数式表示剩余铁皮的面积；
（2）将a＝6.6，b＝1.7代入（1）中的结果，然后利用平方差公式，可以求得剩余铁皮的面积是多少平方米．
【解答】解：（1）由图可得，
剩余铁皮的面积是（a2﹣4b2）平方米；
（2）当a＝6.6，b＝1.7时，
a2﹣4b2
＝6.62﹣4×1.72
＝（6.6+2×1.7）×（6.6﹣2×1.7）
＝10×3.2
＝32，
即剩余铁皮的面积是32平方米．
【知识点】因式分解的应用、列代数式

30.（2021•北碚区自主招生）对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．
（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；
（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．

【分析】（1）把25写成两个正整数的平方和，再根据A（m）＝ab求出A（25）便可；
（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，根据（k）＝，得a、b的方程，求得a与 b的关系式，进而由a、b、k满足的条件求得k的值便可．
【解答】解：（1）25是“平方和数”．
∵25＝32+42，
∴A（25）＝3×4＝12；

（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，
∵A（k）＝，
∴ab＝，
∴2ab＝a2+b2﹣4，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
∴（a﹣b）2＝4，
∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，
∵a、b为正整数，k为两位数，
∴当a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时，k＝10；
当a＝2，b＝4或a＝4，b＝2时，k＝20；
当a＝3，b＝5或a＝5，b＝3时，k＝34；
当a＝4，b＝6或a＝6，b＝4时，k＝52；
当a＝5，b＝7或a＝7，b＝5时，k＝74；
综上，k的值为：10或20或34或52或74．
【知识点】因式分解的应用

31.（2021秋•喀什地区期末）我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），
所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．
但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．
x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42
＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．
这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．
（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；
（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+　　+9y2﹣　　＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（　　）2＝[（x﹣5y）+　　][（x﹣5y）﹣　　]
＝（x﹣y）（x﹣　　）；
（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．

【答案】【第1空】25y2
【第2空】25y2
【第3空】4y
【第4空】4y
【第5空】4y
【第6空】9y
【分析】（1）根据小白发现的方法即可分解因式；
（2）结合（1）的方法即可填空；
（3）根据已知所给两种方法进行分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x+7
＝x2﹣8x+16+7﹣16
＝（x﹣4）2﹣9
＝（x﹣4）2﹣32
＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）
＝（x﹣1）（x﹣7）；
（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]
＝（x﹣y）（x﹣9y）；
故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；
（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x﹣13m•（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；
方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2
＝（x+6m）2﹣49m2
＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）
＝（x+13m）（x﹣m）．
【知识点】因式分解的应用、多项式乘多项式

32.（2021春•平川区校级期末）阅读材料
∵（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，∴（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，这说明多项式x2+x﹣6能被x﹣2整除，同时也说明多项式x2+x﹣6有一个因式为x﹣2；另外，当x＝2时，多项式x2+x﹣6的值为零．
根据上述信息，解答下列问题
（1）根据上面的材料猜想：已知一个多项式有因式x﹣2，则说明该多项式能被　　整除，当x＝2时，该多项式的值为　　；
（2）探索规律：一般地，如果一个关于x的多项式M，当x＝k时，M的值为0，试确定M与代数式x﹣k之间的关系；
（3）应用：已知x﹣2能整除x2+kx﹣14，利用上面的信息求出k的值．

【答案】【第1空】（x-2）
【第2空】0
【分析】（1）根据题意和多项式有因式x﹣2，说明多项式能被x﹣2整除，当x＝2时，多项式的值为0；
（2）根据（1）得出的关系，能直接写出当x＝k时，M的值为0，M与代数式x﹣k之间的关系；
（3）根据上面得出的结论，当x＝2时，x2+kx﹣14＝0，再求出k的值即可．
【解答】解：（1）已知一个多项式有因式x﹣2，说明此多项式能被（x﹣2）整除，当x＝2时，该多项式的值为0；
故答案为：（x﹣2），0；
（2）根据（1）得出的关系，得出M能被（x﹣k）整除；
（3）∵x﹣2能整除x2+kx﹣14，
∴当x﹣2＝0时，x2+kx﹣14＝0，
当x＝2时，x2+kx﹣14＝4+2k﹣14＝0，
解得：k＝5．
【知识点】因式分解的意义、整式的除法、因式分解的应用

33.（2021秋•宛城区校级期中）【例题讲解】因式分解：x3﹣1．
∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．
∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝　　；
（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；
（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．

【答案】1
【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；
（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；
（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．
【解答】解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
故答案为：1；
（2）设另一个因式为（x2+ax+k），
（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，
∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，
∴a+1＝3，a+k＝﹣3，
解得a＝2，k＝﹣5；
答：k的值为﹣5；
（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：
设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），
①（x2+1）（x2+ax+b）
＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b
＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，
∴a＝0，b+1＝1，b＝1，
由b+1＝1得b＝0≠1，
②（x2+x+1）（x2+ax+1）
＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，
∴a+1＝0，a+2＝1，
解得a＝﹣1．
即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），
∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．
答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．
【知识点】因式分解-分组分解法、因式分解的意义、同类项

34.（2021•重庆模拟）定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果得到的和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这个过程继续计算．
例如55263→5526+12＝5538，5538→553+32＝585，585→58+20＝78，78÷13＝6，所以55263是“一刀两断”数.3247→324+28＝352，35+8＝43，43÷13＝3…4，所以3247不是“一刀两断”数．
（1）判断5928是否为“一刀两断”数：　　（填是或否），并证明任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；
（2）对于一个“一刀两断”数m＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，a，b，c，d均为正整数），规定G（m）＝||，若m的千位数满足1≤a≤4，千位数字与十位数字相同，且能被65整除，求出所有满足条件的四位数m中，G（m）的最大值．

【答案】是
【分析】（1）依照样例进行计算便可判断5928是不是“一刀两断”数，设任意一个能被13整除的n位数前n﹣1位数字为P，个位数字为Q，则这个n位数可表示为10P+Q＝13k（k为正整数），再证明P+4Q是13的倍数；
（2）由m＝1000a+100b+10c+d，m能被65整除，得m既能能被13整除又能被5整除，∴d＝0或d＝5，再分d＝0和d＝5两种情况，分别求得m的值，进而求得结果．
【解答】解：（1）∵5928→592+32＝624，624→62+16＝78，78÷13＝6，
∴5928是“一刀两断”数，
故答案为：是；
证明：设任意一个能被13整除的n位数前n﹣1位数字为P，个位数字为Q，则这个n位数可表示为10P+Q＝13k（k为正整数），
∴Q＝13k﹣10P，
∴10P+Q→P+4Q＝P+4（13k﹣10P）＝52k﹣39P＝13（4k﹣3P），
∴10P+Q是“一刀两断“数．
∴任意一个能被13整除的数是“一刀两断”数；

（2）∵m＝1000a+100b+10c+d，m能被65整除，
∴m既能能被13整除又能被5整除，
∴d＝0或d＝5，
当d＝0时，，
∴a+b是13的倍数，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，
∴a+b＝13，
∵1≤a≤4，
∴a＝4，b＝9，
∴m＝4940，
当d＝5时，，
∴a+b+2是13的倍数，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，
∴a+b+2＝13，
∴a+b＝11，
∵1≤a≤4，
∴a＝2，b＝9或a＝3，b＝8或a＝4，b＝7．
∴m＝2925或3835或4745
∴G（4940）＝，G（4745）＝45，G（3835）＝，G（2925）＝，
∴G（m）的最大值为45．
【知识点】因式分解的应用