专题05 四边形存在性问题-2022年中考数学二次函数解答题题型全归纳（全国通用）

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如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为．
（1）求此抛物线；
（2）求直线的解析式；
（3）设直线与该抛物线的对称轴交于点，在射线上是否存在一点，过作轴的垂线交抛物线于点，使点、、、是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线与轴相交于，两点，点在点的右侧，与轴相交于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标；
（3）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使以，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，二次函数的图象经过点，且与直线相交于，两点，点在轴上，过点作轴，垂足为点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值；
（3）在（2）的条件下，点在何位置时，四边形是平行四边形？并求出满足条件的点的坐标．
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，直线的图象与该二次函数的图象交于、两点，其中点坐标为，点在轴上．
（1）求的值及这个二次函数的解析式；
（2）若是线段下方抛物线上一动点，当面积最大时，求点坐标以及面积最大值；
（3）若为直线与这个二次函数图象对称轴的交点，为线段之间的一个动点，过作轴的垂线，与这个二次函数图象交于点，问是否存在这样的点，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标．
（3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
菱形
如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点，，，．
（1）求点的坐标和抛物线的函数关系式；
（2）点是上一点（不与点、重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交于点，当时，求点的坐标；
（3）设抛物线的对称轴交轴于点，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上一点，点是坐标平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
综合与探究
已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点，．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点，的坐标和的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请直接写出点的坐标 或 ；
（4）若点在直线上，点在平面上，直线上是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，在直线上方的抛物线上有一动点，连接，与直线相交于点，当时，求的值；
（3）点是直线上一点，在平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，直线与轴、轴分别交于点，点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为，点为抛物线的对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在轴的上方时，求四边形周长的最小值；
（3）在平面直角坐标系内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
矩形
如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点．
（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点（其中，，使，求点的坐标；
（4）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，且．
.（1）该抛物线的解析式为 ；
（2）直线与轴交于点，与直线交于点，与抛物线上直线上方部分交于点，设，求的最大值及此时点的坐标；
（3）若点、为（2）中求出的点，点为轴的一个动点，点为坐标平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形为矩形时，直接写出点的坐标．
如图所示，平面直角坐标系中，直线交坐标轴与、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点．
（1）求抛物线解析式；
（2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出值；
（3）在抛物线取点，在坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果有请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
如图所示，将二次函数的图象沿轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数的图象．函数的图象的顶点为点．函数的图象的顶点为点，两函数图象分别交于、两点．
（1）求函数的解析式；
（2）如图2，连接、、、，判断四边形的形状，并说明理由．
（3）如图3，连接，点是轴上的动点，在平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线与轴，轴分别交于点，，点三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）轴上是否存在点，使最小？若存在，请求出点的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，设为线段中点．若是抛物线上一动点，将点绕点旋转得到点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．
（1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中、用含的式子表示）；
（2）点是直线上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求的值；
（3）设是抛物线的对称轴上的一点，点在抛物线上，当以点、、、为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点的坐标．