专题09 路径问题-2022年中考数学二次函数解答题题型全归纳（全国通用）

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专题09  路径问题【例1】平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，点，的坐标分别为，，与轴交于点，点为顶点．（1）求抛物线的解析式和；（2）点是直线下方的抛物线上一点，且，求点的坐标；（3）如图2，若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动．求当点从点运动到点时，点运动的路径长．【解答】解：（1）将，分别代入抛物线可得：，解得；抛物线解析式为，，；，；．（2）如图1所示，过作轴交于点，设点，直线的表达式为，将，分别代入可得：，解得，直线表达式为，，，，，，，，解得，，或．（3）如图2所示当点与点重合时，，，，又，，，，当点与点重合时，，，，，△，，，，四边形是平行四边形，．【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．点为抛物线对称轴上一点．（1）若点在抛物线上，则代数式的值是        （2）连接、，当时，求点的坐标；（3）以为边在的下方作等边三角形，当点从点运动到点的过程中，求出点经过路径的长度是多少？【解答】解：（1）将点的坐标代入得：，则，故答案为； （2）连接，当时，则，即点在的中垂线上，对于，令，则，令，解得或，故点、、的坐标分别为、、，函数的对称轴为，点，则，故直线与轴负半轴的夹角为，设线段的中点为，则点，，，则直线与轴的夹角为，故设直线的表达式为，将点的坐标代入上式得：，解得，故直线的表达式为，当时，，故点； （3）如图2，当点在时，等边三角形为，当点在点时，等边三角形为，连接，则，，，，，，△，，由、的坐标知，，而，则，即点经过路径的长度是4．【变式训练2】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于、，在轴上有一点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）点是第二象限内的抛物线上一动点．若，求此时点坐标；（3）连接，点是线段上的动点，连接，把线段绕着点顺时针旋转至，点是点的对应点．当动点从点运动到点时，判断动点的轨迹并求动点所经过的路径长．【解答】解：（1）将，代入，可得，，； （2）过点作，与轴交于点，，，，，，，，，，，直线解析式为，时，，，； （3）点随点运动而运动，点在线段上运动，点的运动轨迹是线段，当点在点时，，当点在点时，，点的轨迹长为，故答案为．【例2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，轴于点，连接．点是线段的中点，点的坐标为，点是线段上的一个动点．过点，，的抛物线与轴正半轴交于点，连接交线段于点．（1）求的度数；（2）当点运动到原点时，求过，，三点的抛物线的函数表达式及点的坐标；（3）以线段为一边作等边三角形，点与点在直线同侧，当点从点运动到点时，请直接写出点运动的路径的长．【解答】解：（1）点的坐标为，轴于点，，，点的坐标为，轴于点，，，轴，轴，，四边形是矩形，，在中，，； （2）由（1）知，，点是的中点，，设抛物线的解析式为，将点，，代入抛物线解析式中，得，，抛物线的解析式为，令，则，或，； （3）如图，当点从点运动到点时，点的运动轨迹是线段，以为边的等边三角形的顶点的轨迹是线段，当抛物线过原点时，与的交点记作点，当抛物线过点时，与的交点为，是等边三角形，，，△是等边三角形，，，，，由（2）知，，，直线的解析式为，令，则，，当抛物线过点时，即抛物线过点，，，设抛物线的解析式为，，，过点，，的抛物线的解析式为，令，则，或，，的解析式为，令，则，，，即点运动的路径的长为．【变式训练1】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于，，在轴上有一点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）点是第二象限内的抛物线上一动点．①求面积最大值并写出此时点的坐标；②若，求此时点坐标；（3）连接，点是线段上的动点，连接，把线段绕着点顺时针旋转至，点是点的对应点．当动点从点运动到点，则动点所经过的路径长等于　　（直接写出答案）【解答】解：（1）将，代入，可得，，；（2）①，，设，过点作轴交于点；，，当时，的面积最大，最大值为，此时点坐标为，；②过点作，与轴交于点，，，，，，，，，，，直线解析式为，时，，，；（3）点随点运动而运动，点在线段上运动，点的运动轨迹是线段，当点在点时，，当点在点时，，点的轨迹长为，故答案为．【变式训练2】平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴直线交轴于点，点为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线下方的抛物线上一点，且，求点的坐标；（3）如图2若点是线段上的一个动点，，，则点的线段上运动时，点不变，点随之运动，求当点从点运动到点时，点运动的路径长．【解答】解：（1）由题意可得，解得，抛物线的解析式为； （2）过点作轴于，连接交轴于，连接，如图1由可得顶点为，．又，．，，，，，，．设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为．解方程组，得，，点的坐标为，或，； （3）设点在点处时点在点，点在点处时点在点，如图2．，，，，，．同理可得△，．，是定值，点的运动路径是线段．△，．，，点的运动路径长为．【变式训练3】如图，抛物线过点，，与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点为线段上的动点，连接，过点作垂直于直线，垂足为，当点从点运动到点时，求点运动路径的长．【解答】解：（1）将，，代入得：，解得：，． （2）①设，若，在的同侧，则，点在抛物线的对称轴上，，或，，．②若，在异侧，则与抛物线的顶点重合，即，存在点，，，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形． （3）连接，，点的路径是以的中点为圆心，长的一半为半径的，连接，，，，，．【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为，连结，，直线交轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）若点以每秒个单位的速度由点向点直线运动，连结，以为边向下作，使得，设运动时间为，①当为何值时，恰好平分？并说明理由；②当点从点运动到点时，请直接写出点经过的路径长．【解答】解：（1）当时，，，，或，，，顶点为，设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为（2）①，，，，，，，，作于，如图，，，设经过秒，恰好平分，，，，，，，，，；②，，，，，，四点共圆，，设直线的解析式为，把点代入，解得，直线的解析式为，点在直线上运动，当点与点重合时，，可得点的坐标为，当点与点重合时，，可得点的坐标为，当点从点运动到点时，点经过的路径长为．【变式训练1】平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点，的坐标分别为，，对称轴交轴于点，为顶点．（1）求抛物线的解析式和；（2）点是直线下方的抛物线上一点，且，求点的坐标；（3）如图2若点是线段上的一个动点，，，则点的线段上运动时，点不变，点随之运动，求当点从点运动到点时，点运动的路径长．【解答】解：（1）由题意可得，解得，抛物线的解析式为．．又，．，，，，，； （2）如答图1，延长交的延长线于点，可得点的坐标为设直线的解析式为，则有解得，直线的解析式为：，解方程组，可得点的坐标为，； （3）设点在点处时点在点，点在点处时点在点，如答图2，，，，，．同理可得△，．，是定值，点的运动路径是线段．△，．，，点的运动路径长为．【例4】抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．（1）如图1，求直线的表达式；（2）如图1，点是抛物线上位于第一象限内的一点，连接，，当面积最大时，一动点从点从出发，沿适当路径运动到轴上的某个点再沿适当路径运动到轴上的某个点处，最后到达线段的中点处停止．求当面积最大时，点的坐标及点在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当面积最大时，把抛物线向右平移使它的图象经过点，得到新抛物线，在新抛物线上是否存在点，使的面积等于的面积．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，令，，，令，，或，，，设直线的解析式为，，，直线的解析式为； （2）如图1，设，，过点作轴交于，直线的解析式为，，，，时，的面积最大，最大值为，即：点，，，，，，，点和点重合，作点，关于轴的对称点，，再作点，关于的对称点，，连接交轴于，交轴于，连接，，，此时最小，最小值为； （3）如图2，在抛物线中，令，，或，由平移知，抛物线向右平移到，则平移了个单位，，设点，过点作轴交于，直线的解析式为，，的面积等于的面积，由（2）知，，，或或或（舍，，或，或，．【变式训练1】如图1，抛物线经过，两点，交轴于点，以为边在轴上方作等边三角形．（1）求抛物线的解析式；（2）在轴上方的抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，是线段上的动点，是线段上的动点，与相交于点．①若，试猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；②若，当点由运动到时，请直接写出点经过的路径长．【解答】解：（1）将点，代入抛物线的解析式得：，解得：，．抛物线的解析式为． （2）存在点，使得．理由：如图所示：过点作轴，垂足为．为等边三角形，，．，，．．．．设．，即，解得：，．点的坐标为或． （3）①结论：，．为等边三角形，，．在和中，，．，．．．②当时，由①可知点在以为弦的圆上，过点作，垂足为．，．．又，垂足为，，．．点运动的路径．当时，点在的垂直平分线上时，如图所示：过点作，则点运动的路径的长．，，．点运动的路径为．综上所述，点运动的路径为或．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线分别与轴交于，两点，与轴交于点，直线垂直平分线段，分别交于点，轴于点．（1）判定的形状；（2）在线段下方的抛物线上有一点，当面积最大时，点沿适当的路径运动到直线上的点处，再沿垂直于的方向运动到直线上的点处，最后沿适当的路径运动到点处停止运动，当点的运动路径最短时，求点的坐标及点经过的最短路径长．（3）如图2，过点作轴于点，将绕点逆时针旋转一个角度，的两边分别交，于点，点，当为等腰三角形时，求此时的值．【解答】解：（1）结论：是直角三角形．理由如下：对于抛物线抛物线，令，得，解得或，，，，，令得到，，，，，，，，，，是直角三角形． （2）如图1中，设，，时，的面积最大，此时，，作关于直线的对称点，连接交直线于，作于，则线路的路径最短，理由：易证四边形是平行四边形，可得，，，根据两点之间线段最短可知，此时线路的路径最短．直线的解析式为，、关于直线对称，，，直线的解析式为，由，解得，，，，，由平移的性质可知，．（把点向左平移个单位，向下平移个单位得到，最短路径． （3）①如图2中，在中，，，，，，，，当与重合，与重合时，的等腰三角形，易知． ②如图3中，当时，作于，于，则四边形是矩形，易知：，，，，，，，，，，，在中，易知，，，，，，，．综上所述，当是等腰三角形时，的值为、．