专题04 方程（组）及其应用-2022年中考数学真题分类集训营（全国通用）

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专题04 方程（组）及其应用
考点一 一次方程（组）的解法
1、（2021·重庆A卷）解一元一次方程时，去分母正确的是
A．3（x＋1）＝1－2x B．2（x＋1）＝1－3x C．2（x＋1）＝6－3x D．3（x＋1）＝6－2x
{答案}D{解析}方程（x＋1）＝1－x的两边同时乘6，得3（x＋1）＝6－2x．

2、（2021·嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）
A． ①×2–② B．②×(﹣3)–① C． ①×(﹣2)＋② D．①–②×3
{答案}D
{解析}本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法，能用加减消元法解方程组的的条件是相同未知数的系数相同或相反.选项D中不能消去其中的任何一个未知数，因此本题选D．
3、方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
{答案}A
{解析}本题考查了二元一次方程组的解法——加减消元法和代入消元法，根据具体的方程组选取合适的方法是解决本类题目的关键．利用加减消元法解出的值即可．，
①+②得：，解得：，
把代入②中得：，解得：，
∴方程组的解为：；
故选：A．
4、（2021·牡丹江）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A. 3 B．3，-3 C． D．，-
{答案}C
{解析}把代入二元一次方程组得，解方程组可得x，y的值，然后可得x+2y的算术平方根.
①+②得：5x＝7，解得x＝， 把x＝代入②得：y＝，则x+2y＝3，3的算术平方根为，故选C
5、（2021·铜仁）方程2x+10＝0的解是　 　．
{答案}﹣5 {解析}先移项得2x=﹣10，再将未知数的系数化为1得：x=﹣5，因此本题答案为：﹣5．
6、（2021·株洲）关于x的方程的解为________．
{答案}4
{解析}方程移项、合并同类项、把x系数化为1，即可求出解．
方程，
移项,得3x-x=8，
合并同类项，得2x=8.
解得x=4．
故答案为：x=4．
7、 （2021·南京）已知x、y满足方程组则x＋y的值为________.
{答案}1
{解析}解方程组由①×2－②，得：5y＝－5，即y＝－1；把y＝－1代入①，得：x＋3×(－1)＝－1，解得：x＝2.∴x＋y＝2－1＝1.
8、．（2021·泰安）方程组的解是___________．
{答案}
{解析}本题考查了二元一次方程组的解法，， ②-①×3得：2x=24，即 x=12，所以y=4，因此本题答案为．
9、（2021·绍兴）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是　 　（写出一个即可）．
{答案}x-y（本题答案不唯一）
{解析}本题考查了方程组的解的意义．若一组未知数的值是已知方程组的解，则它满足每一个方程，因为x-y =1-1=0，所以多项式A可以是x-y，除此，其他符合题意的多项式均可．因此本题答案为x-y（本题答案不唯一）．
10、（2021·杭州）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．移项，合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
{解析}本题考查了一元一次方程的解法，圆圆的解答中，去分母与去括号都有错误，具体求解时按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行．
{答案}解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：方程两边乘6，得3(x＋1)－2(x－3)＝6．解得x＝－3．
11、（2021·凉山州）（5分）解方程：．
{解析}按去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1的步骤操作即可．
{答案}解：两边同乘以6，得6x－3(x－2)＝6＋2(2x－1)，去括号，得6x－3x＋6＝6＋4x－2，
移项，得6x－3x－4x＝6－2－6，合并同类项，得－x＝－2，系数化为1，得x＝2．

1/2．（2021台州）解方程组：x-y=13x+y=7．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：x-y=1①3x+y=7②，①+②得：4x＝8，解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，则该方程组的解为x=2y=1.

考点二 分式方程的解法
13．(2021·成都)已知x＝2是分式方程kx+x-3x-1=1的解，那么实数k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
{答案}B{解析}把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．
解：把x＝2代入分式方程得：k2-1＝1，解得：k＝4．故选：B．

14.（2021·四川甘孜州）6．分式方程－1＝0的解为( )
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
{答案}C
{解析}本题考查了分式方程的解法．先去分母，化分式方程为整式方程3－（x－1）＝0．解得x＝4．经检验x＝4是分式方程的解．所以x＝4是原分式方程的解．

15、（2021·哈尔滨）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
{答案}D{解析}本题考查了，解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键，两边同时乘以（x＋5）（x－2），∴2（x－2）＝（x＋5），∴，将检验是方程的根，∴方程的解为，因此本题选D．
16.（2021·牡丹江）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 3或4
{答案}D{解析}首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解.原方程可化为整式方程2x＝m(x-1)，∴x＝，而分式方程有正整数解，∴m﹣2＝1，m﹣2＝2，∴m＝3，m＝4，经检验，符合题意，故选D.

17、（2021·黑龙江龙东）已知关于x的分式方程xx-3-4=k3-x的解为非正数，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12
{答案} A{解析}本题考查了分式方程的解法，用含字母的式子表示方程的解，解：方程xx-3-4=k3-x两边同时乘以（x﹣3）得：x﹣4（x﹣3）＝﹣k，
∴x﹣4x+12＝﹣k，∴﹣3x＝﹣k﹣12，∴x=k3+4，
∵解为非正数，∴k3+4≤0，∴k≤﹣12．故选：A．
18、（2021·齐齐哈尔）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（　　）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
{答案} D
{解析}分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．去分母得：3x＝﹣m+5（x﹣2），解得：x＝，由方程的解为正数，得到m+10＞0，且m+10≠4，则m的范围为m＞﹣10且m≠﹣6，故选：D．

19、（2021·江苏徐州）方程的解为 .
{答案} x=9{解析}把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的根再进行验根确定 .∵，把两边同时乘以x(x-1)，得9x-9=8x，∴x=9，经检验x=9是原方程的根.

20．（2021·南京）方程＝的解是______.
{答案} x＝
{解析}去分母，得：x(x＋2)＝(x－1)2，去括号，得：x2＋2x＝x2－2x＋1，移项、合并同类项，得：4x＝1，系数化为1，得：x＝.检验：当x＝时，(x－1)(x＋2)≠0，故x＝是原分式方程的根.
21、(2021·潍坊)若关于x的分式方程有增根，则_________．
{答案}3{解析}本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值． ，解得.又∵关于的分式方程有增根，即，∴，，解得：，
22（2021·遵义） (2)解方程＝
{解析}（2）本小题考查分式方程的解法，先去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程即可求得x，切记要验根．{答案}解: (2)去分母，得2x－3＝3x－6解得x＝3;检验:把x＝3带入(x－2) (2x－3) ≠0所以x＝3是原分式方程的解．
23．（2019·上海）解方程：
{答案} x＝－4 {解析}去分母得：2x2－8＝x2－2x，即x2＋2x－8＝0，分解因式得：(x－2)(x＋4)＝0，解得：x＝2或x＝－4，经检验x＝2是增根，所以原分式方程的解为x＝－4．

考点三 一元二次方程的解法
24、（2021•临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣2+23，x2＝﹣2﹣23 B．x1＝2+23，x2＝2﹣23
C．x1＝2+22，x2＝2﹣22 D．x1＝23，x2＝﹣23
【分析】方程利用配方法求出解即可．
【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，
移项得：x2﹣4x＝8，
配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，
开方得：x﹣2＝±23，
解得：x1＝2+23，x2＝2﹣23．
故选：B．
25、（2021•凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
【解析】∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
26、．（2021•泰安）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
27、（2021·聊城）用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是（　　）
A．(x－)2＝ B．(x－)2＝C．(x－)2＝ D．(x－)2＝
{答案}A{解析}由2x2－3x－1＝0，得2x2－3x＝1，∴x2－x＝，x2－x＋()2＝＋()2，∴(x－)2＝．本题中“x”即完全平方式“a2－2ab＋b2”中的“2ab”，确定b值是完成配方的关键．
28、．（2021·黑龙江龙东）已知2+3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
{答案} B{解析}本题考查了一元二次方程解的概念，将实数根代入原方程，解：根据题意，得（2+3）2﹣4×（2+3）+m＝0，解得m＝1；故选：B．
29、（2021·营口）一元二次方程x2－5x+6＝0的解为（　　）
A．x1=2，x2=－3 B．x1=－2，x2=3 C．x1=－2，x2=－3 D．x1=2，x2=3
{答案}D{解析}对于x2－5x+6＝0，△=（－5）2－4×1×6=1，由求根公式可得x==，∴x1=2，x2=3是原方程的解．

30、（2021•扬州）方程（x+1）2＝9的根是　x1＝2，x2＝﹣4　．
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解析】（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣4．、
31、（2021·齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0
解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
32、（2021•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；
【解析】（1）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1=32，x2＝1；
33、（2021·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值.
【问题】解方程：
【提示】可以用“换元法”解方程.
解：设（t≥0），则有，
原方程可化为：
【续解】
{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．本题用来换元的式子为，可设，其两边分别平方后有，这样原方程可变形为关于的一元二次方程，即可求得的值，再根据所设条件对的值进行讨论后作出取舍，即可求出的值．
{答案}解：【续解】
∴，即，
∵，
∴，
则有，配方，得：
解得：，
经检验：，是原方程的根.

考点四 一元二次方程根的判别式
34、（2021•河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解析】由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
故选：A．
35．（2021•南京）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【分析】先把方程（x﹣1）（x+2）＝p2化为x2+x﹣2﹣p2＝0，再根据方程有两个不相等的实数根可得△＝1+8+4p2＞0，由﹣2﹣p2＞0即可得出结论．
【解析】∵关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数），
∴x2+x﹣2﹣p2＝0，
∴△＝1+8+4p2＝9+4p2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵两个的积为﹣2﹣p2，
∴一个正根，一个负根，
故选：C．
36、（2021•攀枝花）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，则m的值可以为（　　）
A．﹣1 B．-14 C．0 D．1
【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．
【解析】∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0没有实数根，
∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m）＝1+4m＜0，
解得：m＜-14，
故选：A．
37．（2021•怀化）已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4 B．k＝﹣4 C．k＝±4 D．k＝±2
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．
【解析】∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
故选：C．
38（2021•辽阳）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是　k＜﹣1　．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解析】由题意可知：△＝4+4k＜0，
∴k＜﹣1，
故答案为：k＜﹣1
39．（2021•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞0且m≠1　．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解析】根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
考点五 一元二次方程根与系数的关系
40、（2021·黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
{答案}A{解析}根据一元二次方程根与系数的关系“”求解．
设x1＝2，另一个根为x2，则2+ x2＝﹣5，解得X2＝﹣7．

/41、（2021•遵义）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5 B．10 C．11 D．13
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解析】根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
42、（2021·江西）8.若关于的一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
【解析】设一元二次方程的两根为，并设，根据，可得，∴另外一根为-2，故答案为-2

43、（2021•泰州）方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为　﹣3　．
【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出x1•x2的值．
【解析】∵方程x2+2x﹣3＝0的两根为x1、x2，
∴x1•x2=ca=-3．
故答案为：﹣3．
44、（2021•泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　2　．
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解析】根据题意得则x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
45、(2021·南充）20.已知，是一元二次方程的两个实数根.
（1） 求k的取值范围；
（2） 是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.
{解析}（1）根据一元二次方程的两个实数根得到△=（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，解关于k的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得出含有k的式子，将等式变形后代入，解答关于k的方程，注意舍去不符合题意的值．
{答案}解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵+＝k﹣2，
∴＝＝k﹣2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝．
又∵k≤﹣1，
∴k＝﹣．
∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2，成立，k值为﹣．

考点六 方程（组）的实际应用
46、（2021·张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A. B. C. D.
{答案}B
{解析}本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设有x人，根据车的辆数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：，
∴列出方程：．
故选：B．
47、(2021·青海)如图5，根据图中的信息，可得正确的方程是( )
A．π×()2x＝π×()2(x－5) B．π×()2x＝π×()2(x＋5)
C．π×82x＝π×62(x＋5) D．π×82x＝π×62×5
图5

{答案}B
{解析}圆柱形量筒中水的体积＝量筒的底面积×水的高度．大量筒中水的体积＝π×()2x，小量筒中水的体积＝π×()2(x＋5)．∵两个量筒中水量相同，∴π×()2x＝π×()2(x＋5)．故选B．
48、（2021·襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B． C． D．
{答案}C
{解析}根据“小马＋大马＝100匹”及“小马拉瓦的片数＋大马拉瓦的片数＝100片”，得，故选C．
49、（2021·黑龙江龙东）学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
{答案} B
{解析}本题考查了二元一次方程的应用，解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，
根据题意得：15x+25y＝200，化简整理得：3x+5y＝40，得y＝8-35x，
∵x，y为非负整数，∴x=0y=8，x=5y=5，x=10y=2，∴有3种购买方案：
方案1：购买了A种奖品0个，B种奖品8个；
方案2：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；
方案3：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．故选：B．
50、（2021·长沙）随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得 （　　）
A． B． C． D．
{答案}B
{解析}本题考查了分式方程应用，根据题意可知生产时间＝数量÷效率，而且生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，所以，因此本题选B．
/51、（2021·宜宾）学校为了丰富学生知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等．设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D． ＝+8
{答案}B
{解析}设文学类图书平均每本x元，则科普类图书平均每本（x+8）元，根据“用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学类图书的本数相等”得：＝．
/52（2021·河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为( )
A. B. 5 000×2(1+x)=7 500
C. D.
{答案}C{解析}2017年的快递业务收入为5000亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，则2018年的快递业务收入为5000（1+x）亿元， 2019年的快递业务收入是在2018年的基础上增加的，∴2019年的快递业务收入为5000(1+x)＝5000(1+x) (1+x)，即用 5000(1+x)2表示，∴可列方程是．

53、（2021·无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 尺．
{答案}8
{解析}根据题意可设绳长为x，则x－4＝x－1，则x＝36，则井深8尺．
54.、（2021·牡丹江）“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是__________元.
{答案}80{解析}可设每个书包的进价是x元，根据等量关系：某商店将单价标为130元的书包按8折出售，可获利30％，列出方程（1+30％）x＝130×0.8，解得x＝80，故每个书包的进价是80元．
55、（2021·常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是______次．
{答案}4{解析}设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：
x+y=1015-1×10+5y=35，整理得：x+y=105y=30，解得：x=4y=6，因此本题答案为4．
56、(2021·绥化)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天，设原计划每天加工零件x个，可列方程______．
{答案}＝＋2 {解析}实际每天加工零件1.5x个．原计划的工作时间＝(天)，实际的工作时间＝(天)，根据“结果比原计划少用2天”可列方程＝＋2．
53、（2021·黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了________个人．
{答案}10
{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得1＋x＋x(1＋x)＝121，即(1＋x)2＝121，解得x1＝10，x2＝－12（舍去），因此本题答案为10．

57、（2021·安顺）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：

（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？
{解析} （1）本题考查了一元一次方程的应用.由题意可知，学习委员共用922元购买了两种钢笔，两种钢笔的总费用等于922元，易求出其中一种钢笔钢笔的数量是小数，因此可以判定学习委员错了；（2）本题是一个不定方程，根据一次函数的增减性，确定笔记本的价格.
{答案}（1）设单价为6元的钢笔买了支，则单价为10元的钢笔买了（）支，
根据题意，得，解得：.
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了
（2）设笔记本的单价为元，根据题意，得
，整理，得，
因为，随的增大而增大，所以，∵取整数，∴.
当时，，当时，，
所以笔记本的单价可能是2元或者6元.

58、（2021·淮安）（本小题满分8分））某停车场的收费标准如下∶中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆?
{解析}设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
{答案}解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
依题意，得：x+y=3015x+8y=324，
解得：x=12y=18．
答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．
59、（2021·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染，


商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件.
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单.
{解析}本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键是理解题意列方程组． 设乙商品的进价是x元，乙商品的数量是y件，先用x或y的代数式则甲商品进价、甲商品的数量，再根据进价乘以数量等于总金额列方程组求解即可．
{答案}解：解：设乙商品的进价是x元，乙商品的数量是y件，则甲商品进价是1.5x元，甲商品的数量是（y+40）件，根据题意得，
解得 ，∴1.5x=60，y+40=120，答：乙商品的进价是40元，补全进货单如下：
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
60
120
7200
乙
40
80
3200
60、（2021·菏泽）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
{解析}（1）利用二元一次方程组求解即可；
（2）根据字母的取值范围利用一元一次不等式解决方案问题．
{答案}解：（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得
解得
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元．
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54－m）根，
根据题意，得6m＋4(54－m)≤260，
解得m≤22．
又m＞20，且m为整数，
∴m等于21或22．
∴共有两种购买跳绳的方案，
方案一：购买跳绳21根；
方案二：购买跳绳22根．
61、（2021·泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线B的平均速度．
{解析}本题考查了分式方程的应用，可直接设速度，用时间关系来列方程，也可以设时间，用速度关系来列方程，切记解分式方程一定要检验．
{答案}解：设A路线的平均速度为x，则B路线的平均速度为(1＋50%)x．

解得：x＝50．
经检验，x＝50是原方程的根．
50×(1＋50%)＝75（km/h）
答：路线B的平均速度为75km/h．
62、（2021·滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每下克水果售价为多少元?
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
{解析}本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，（1）根据月销售量=500-（销售单价-50）×10来求解，（2）设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润×销售的数量得方程再求解，（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质求解．
{答案}解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10×（55-50）=450千克；
（2）设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750=（x-40）[500-10（x-50）]，
解得：x1=65，x2=75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y=（m-40）[500-10（m-50）]=-10（m-70）2+9000，
∴当m=70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．