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专题11 三角形-2022年中考数学真题分类集训营（全国通用）
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专题11 三角形
考点一 三角形的有关概念三边关系
1、（2021·江苏徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A.2cm B. 3cm C. 6cm D.9cm
{答案} C{解析}根据三角形三边的关系来进行判别，因为三角形的两边长为分别为3cm、6cm，所以它的第三边长c的取值范围为3
A．3 B．4 C．5 D．6
{答案}A{解析}根据三角形的三边关系，得－1＜AC＜＋1，从而AC＝3，故选A．
3、（2021·绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
{答案}B
{解析}本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边满足任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，因为3+3=2+4，所以最长边不能是6，若是5，此时满足4-3＜2+3＜3+4，所以三角形的最长边是5．因此本题选B．
4、（2021·四川甘孜州）23．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2－8x＋12＝0的解，则这个三角形的周长是_________．
{答案}17
{解析}本题考查了一元二次方程的解法和三角形的三边关系．利用因式分解法解方程 x2－8x＋12＝0得x1＝2，x2＝6．根据三角形三边的关系得3＜第三边的长＜11．∴第三边的长为6．所以这个三角形的周长是4＋7＋6＝17．
5、（2021·济宁）12.已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是__________(写出一个即可)，
{答案}4
{解析}设第三边长为x，则6-3＜x＜6+3，即3＜x＜9，∴所以第三边可以为4.
考点二 三角形内角和定理及推论
6. (2021·湘潭)如图，是△ABC的外角，若，，则（ ）
A. B. C. D.
{答案}D
{解析}本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
∵是的外角，
∴=∠B+∠A
∴∠A=-∠B，
∴∠A=60°
故选：D
/7．（2021·泰州）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为_______．
{答案}140°
{解析}本题考查了三角形内角和外角相关知识，这是一个基本图形，α＝45°＋30°＋65°＝140°．
8、（2021·衡阳）一副三角板如图摆放，且AB//CD.则∠1的度数为 .
{答案}105°{解析}本题考查了平行线的性质与三角形内角和定理的推论，∵AB//CD，∠D=45°，∴∠AFE=∠D=45°，∵∠1是△AEF的外角，∴∠1=∠AFE +∠EAF=45°+60°=105°.因此本题答案为105°
考点三 三角形的主要线段/
9、（2021·福建）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（ ）
A.10 B.5 C.4 D.3
{答案}B
{解析}本题考查了等腰三角形三线合一的性质，∵是等腰三角形的顶角平分线，，∴CD=BD=5，因此本题选B．
10、（2021·广东）已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．8 B． C．16 D．4
{答案}A{解析}本题考查了三角形中位线，因此可得，因此本题选A．
（2021·宜宾）如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝（ ）
A．20° B．45° C．65° D．70°
{答案}D
{解析}由M、N分别是△ABC的边AB、AC的中点，可得MN∥BC，所以∠C＝∠ANM＝45°，所以∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°
/11、（2021·本溪）15．（3分）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 2 ．
{答案}2
{解析}∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
12、（2021·苏州）如图，在中，已知，，垂足为，.若是的中点，则_________.
{答案}1
{解析}本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，定理，取BD中点F，连接EF，因为BD=2CD，所以FD=CD,因为，所以EF=CE,因为是的中点，所以EF为△ABD的中位线，所以EF=EC=AB=1.
考点四 线段的垂直平分线和角平分线
13、（2021·枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（ ）
A
B
C
D
E
A．8 B．11 C．16 D．17
{答案}B{解析}利用线段垂直平分线的性质进行等线段间的转换，然后整体求值．∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．
14、（2021·怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（ ）
A．3 B．32 C．2 D．6
{答案}A
{解析}根据角平分线的性质即可求得．
解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，
故选：A．
15、(2021·湘潭)如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
{答案}3
{解析}本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
考点五 等腰三角形
16(2021·南充） 6.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）
（第6题）
A. B. C.a-b D.b-a
{答案}C
{解析}∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠ABC=×72°=36°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°，∴∠C=∠BDC=36°，∴BD=BC=b，同理：AD=BD=b，∴CD=AC-AD=a-b，故选C．
17、（2021·张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4
{答案}A
{解析}本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
解：x2－6x+8=0
（x－4）（x－2）=0
解得：x=4或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，
所以三角形的底边长为2，
故选：A．
18．(2021·青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
{答案}D
{解析}(1)当70°是顶角时，另两个角相等，都等于×(180°－70°)＝55°；(2)当70°是底角时，另一个底角也是70°，顶角＝180°－70°×2＝40°．因此另外两个内角的底数分别是55°，55°或70°，40°．故选D．
19．（2021·齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是 ．
{答案}10或11．
{解析}分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
∵此时能组成三角形，∴周长＝3+3+4＝10；
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，所以周长＝3+4+4＝11．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
20、(2021·青海)已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足(b－2)2＋｜c－3｜＝0，且a为方程｜x－4｜＝2的解，则△ABC的形状为______三角形．
{答案}等腰
{解析}由非负数的性质可知b－2＝0，c－3＝0．∴b＝2，c＝3．由方程｜x－4｜＝2，得x－4＝±2．x＝6或x＝2．①当a＝6时，2＋3＜6，此时不能构成三角形，舍去；②当a＝2时，2，2，3构成等腰三角形．
21．（2021·黄冈）已知，如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD=DC，∠C=35°，则∠BAD=________度．
{答案}40{解析}本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和等于180°以及三角形外角等知识．由AD=DC可得∠C=∠CAD=35°；由三角形外角的知识可得∠ADB=70°，又有AB=AD，所以∠B=∠ADB=70°；由三角形内角和等于180°可得∠BAD=180°－70°－70°=40°，因此本题答案40．
22、（2021·广东）如图，在△ ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
{解析}先利用三角形边边角的判定方法证明∠DBF=∠ECF，再根据等式的性质，加上相等角得到∠ABC=∠ACB，等角对等边，得到AB=AC.根据等腰三角形定义得到△ ABC是等腰三角形.
{答案}证明：在△BFD和△CFE中，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE，BD=CE，
∴△BFD≌△CFE（AAS）.∴∠DBF=∠ECF.∵∠ABE=∠ACD∴∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD.
∴∠ABC=∠ACB.∴ AB=AC.∴ △ ABC是等腰三角形./
23．(2021·荆门)如图10，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．
(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；
(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．
F
D
E
C
A
B
图10
{解析}(1)由“等边对等角”求出∠ABC，由角平分线的定义求出∠ABD，∠AFE是△ABF的外角，因此∠AFE＝∠BAF＋∠ABD；
(2)由BD既是△ABC的角平分线又是中线可知AB＝BC，从而推出△ABC是边长为2的等边三角形．在Rt△ABF中可解出AF．
{答案}解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝×(180°－40°)＝70°．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝×70°＝35°．
∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°．
∴∠AFE＝∠BAF＋∠ABD＝90°＋35°＝125°．
(2)∵BD平分∠ABC，BD＝BD，AD＝CD，
∴△BDA≌△BDC．∴AB＝BC．
又AB＝AC，∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC为等边三角形．∴∠ABC＝60°，∠ABD＝30°．
∵AD＝DC＝2，∴AB＝4．
在Rt△ABF中，AF＝AB·tan30°＝4×＝．
说明：此题中的条件AE∥BC是多余的．
考点六 全等三角形
24、（2021·四川甘孜州）9．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC
{答案}B
{解析}本题考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定“SAS”、“AAS”、“ASA”可得，添加选项A、C、D都能判定两三角形全等；而添加选项B则不能判定两三角形全等，故选B．
/25（2019·上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是 ．
{答案}{解析}如图，
∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，
∴AB＝＝5，设AD＝x，则BD＝5－x，
∵△ACD≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，
∴∠C1D1B1＝∠BDC，
∵∠B＝90°－∠A，∠B1C1D1＝90°－∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B，∴△C1B1 D1∽△BCD，
∴，即＝2，解得x＝.∴AD的长为.
26（2021·黑龙江龙东）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
{答案} AB＝ED答案不唯一．
{解析}本题考查了三角形全等的条件，解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，∴∠BAC＝∠DEF＝90°，∵BC∥DF，∴∠DFE＝∠BCA，∴添加AB＝ED，在Rt△ABC和Rt△EDF中
∠DFE=∠BCA∠DEF=∠BACAB=ED，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），故答案为：AB＝ED答案不唯一．
27．（2021·北京）在△ABC中，AB=AC，点D在BC上（不与点B，C重合）.只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
{答案}答案不唯一，∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC
{解析}根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD≌△ACD，则可以填∠BAD=∠CAD或者BD=CD或AD⊥BC均可．
（2021·怀化）如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝ °．
{答案}130
{解析}根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据平行线的性质得出∠D＝∠B，代入求出即可．
证明：∵在△ADC和△ABC中
AD=ABAC=ACCD=CB，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠D＝∠B，
∵∠B＝130°，
∴∠D＝130°，
故答案为：130．
28、（2021台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．
29．（2021·铜仁）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
{解析}由已知条件“BF＝EC”结合图形可知：BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，目前已经知道的条件是一边（BF＝EC）、一角（∠B＝∠E），所以可以考虑全等三角形的判定定理AAS、SAS或ASA，再次分析已知条件，发现由AC∥DF可得出∠ACB＝∠DFE，所以考虑由ASA定理证得结果．
{答案}证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.
又∵BF＝CE，∴BC＝EF.在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（ASA）．
30.（2021·湖北孝感）如图，在中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE=DF.连接EF,分别与BC、AD交于点G、H.
求证：EG=FH.
（第18题图）
{解析}本题考查平行四边形性质和全等三角形的判定.先利用平行四边形的的性质得到AD∥BC，进而推出∠FHD=∠EGB,∠E=∠F.结合已知BE=DF.于是可证明△BEG≌△DFH.从而得到EG=FH.
{答案}证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD, ∠ABC=∠CDA
∴∠E=∠F, ∠EBG=∠FDH.
在△EBG和△FDH中，
∴△EBG≌△FDH(ASA)
∴EG=FH.
31、（2021·宜宾）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，连结AD并延长到点E，使DE＝AD，连结CE．
（1）求证：△ABD≌△ECD；
（2）若△ABD的面积为5，求△ACE的面积．
{解析}（1）本题蕴含“倍长中线”的基本图形，根据中点的定义，对顶角相等，全等三角形的判断定理（SAS），证得△ABD≌△ECD；
（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，全等三角形的面积相等可求得△ACE的面积．
{答案}解：（1）证明：∵点D是边BC的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）．
（2）在△ABC中，点D是边BC的中点，∴S△ABD=S△ACD，
∵△ABD≌△ECD，∴S△ABD=S△ECD，
∵S△ABD=5，∴S△ACE=S△ACD＋S△ECD=5+5=10．答：△ACE的面积为10．
/32、（2021·牡丹江）△ABC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E＝∠BDC，AE＝CD，∠EAB+∠DCF＝180°；
（1）如图①，求证AD+BC＝BE；
（2）如图②、图③，请分别写出线段AD，BC，BE之间的数量关系，不需要证明；
D
C
A
B
F
E
D
B
C
F
A
E
A
B
D
E
C
F
图①
图②
图③
（第26题图）
（3）若BE⊥BC，tan∠BCD＝，CD＝10，则AD＝__________.
{解析}（1）根据同角的补角相等，容易得出∠EAB＝∠BCD，，再结合∠E＝∠BDC，AE＝CD，易证△EAB≌△DCB，得到对应线段相等，转化相关线段，得出结论；
（2）图②中，BA-AD ＝ BD，类比（1）的方法，易证△EAB≌△DCB，得到对应线段相等，从而可得BC-AD ＝ BE；图③中，AD-AB ＝ BD，类比（1）的方法，易证△EAB≌△DCB，得到对应线段相等，从而可得AD-BC ＝ BE；
（3）分情况讨论解答.
{答案}解：（1）证明：∵∠EAB+∠DCF＝180°，∠BCD+∠DCF＝180°，∴∠EAB＝∠BCD，
∵∠E＝∠BDC，AE＝CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE＝BD， AB＝BC∴AD+BC＝AD+AB＝BD＝BE；
（2） 图②结论：BC-AD ＝ BE，
图③结论：AD-BC ＝ BE；
（3）14-6或 2+6.
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