专题13 锐角三角函数及其应用-2022年中考数学真题分类集训营（全国通用）

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1.（2021·杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinBB．b＝csinBC．a＝btanBD．b＝ctanB
{答案}B
{解析}本题考查了锐角三角函数，因为sinB＝，所以b＝csinB，因此本题选B．
2.（2021·聊城）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A
B
C
A． B． C． D．
{答案}D{解析}利用网格特征把∠ACB放置于直角三角形中求正弦值．如图，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC＝＝＝5，于是sin∠ACB＝＝．
A
B
C
D
3.(2021·南充）8.如图，点A,B,C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）
A. B. C. D.
{答案}B
{解析}过点B作BD⊥AC于D点D， 则∠ADB=90°，设小正方形方格的边长为1，根据勾股定理得AB=，BD=,∴在Rt△ABD中，sin∠BAC=,故选B．
4.（2021•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（ ）
A．acsx+bsinx B．acsx+bcsx C．asinx+bcsx D．asinx+bsinx
{答案}A
{解析}本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．作CE⊥y轴于E，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝a，AD＝BC＝b，∠ADC＝90°，∴∠CDE+∠ADO＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAO＝x，∵sin∠DAO，cs∠CDE，∴OD＝AD×sin∠DAO＝bsinx，DE＝D×cs∠CDE＝acsx，∴OE＝DE+OD＝acsx+bsinx，∴点C到x轴的距离等于acsx+bsinx；因此本题选 A．
5.．（2021·天津）2sin45°的值等于（ ）
A. 1B. C. D. 2
{答案}B
{解析}本题考查了特殊值的三角函数值。2sin45°=2×＝2，故选B.
6.（2021·牡丹江）如图，在△ABC中，sinB＝， tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（ ）
A．B． C．D．2
A
B
C
{答案}B{解析}过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．如图，在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，
∴AD＝AB•sinB＝1，在Rt△ACD中，tanC＝2，∴＝2，即CD＝，
根据勾股定理得：AC＝，故选B.
B
A
CC
DC
7.（2021·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为 （ ）
A. B. C. D.


{答案}B
{解析}本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，∵AC＝2，CB＝3，∴AB，∴sin∠ABC，∴∠ADC的正弦值等于，因此本题选B．
9．（2021·黔东南州）cs60°＝ ．
{答案}12
9.．（2021·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝，CD＝1,则BC的长为 .
{答案}5或7{解析}本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D在BC延长线上，在△ABD中 tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD－ CD＝6－1＝5；②点D在BC上，在△ABD中 tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD＋ CD＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．
10.（2021·常州）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形 ACDE、BCFG，连接 EC、EG，则tan∠CEG＝________．
{答案}
{解析}本题考查了正切的定义、正方形的性质以及等腰直角三角形的三边关系．连结CG ，∵ACBD、CFBG是正方形．∴∠ECG＝45°＋45°＝90°，设BC＝a，则AC＝2a，CG＝ ，CE＝ ，∴tan∠CEG＝
11．（1）（2021·扬州）（本题满分8分）计算或化简：（1）2sin60°+；
解：原式＝2+2-2．
12.(2021·株洲）计算：．
{答案}2
{解析}先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．
原式．
考点二 直角三角形的边角关系
13.（2021·温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为
A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米
{答案}A
{解析}本题考查了解直角三角形的应用，过点A作AE⊥BC，垂足为E，由题意 AE＝CD＝150，在Rt△ABE中，tanα＝,∴，∴BC＝BE＋CE＝1.5＋150tanα，因此本题选A．
14.（2021·安徽）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，csA＝ eq \f(4,5) ，则BD的长度为（ ）
A． eq \f(9,4) B． eq \f(12,5) C． eq \f(15,4) D．4
{答案}C
{解析}在Rt△ABC中，csA＝＝，则AB＝AC＝5，∴BC＝＝3.在Rt△BCD中，cs∠DBC＝＝，cs∠DBC＝csA，∴BD＝BC＝×3＝.
15.（2021·黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
{答案}
{解析}本题考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）．因为∠C＝90°，∠ADC＝60°，所以∠DAC＝30°，所以CD＝AD．因为∠B＝30°，∠ADC＝60°，所以∠BAD＝30°，所以BD＝AD，所以BD＝2CD．因为BC＝，所以CD＋2CD＝，所以CD＝，所以DB＝，因此本题答案为．
16.．（2021·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC上一动点，则2AD＋DC的最小值为___________．
{答案}6
{解析}本题考查了含30°的直角三角形，垂线段最短．如答图，作∠BCE＝30°，CE与AC在BC两侧，过点D作DF⊥CE于F．过点A作AH⊥CE于点H．在Rt△CDF中，因为∠BCE＝30°，所以DF＝CD，则由“垂线段最短”可知，AD＋DF的最小值为线段AH的长，即AD＋CD的最小值为线段AH的长．在Rt△ABC，因为∠B＝60°，所以∠ACB＝30°，因为AB＝2，所以BC＝4，AC＝．在Rt△ACH中，∠ACH＝∠ACB＋∠BCE＝30°＋30°＝60°，所以∠CAH＝30°，所以CH＝AC＝×＝，AH＝CH＝×＝3，所以AD＋CD的最小值为3，因为2AD＋DC＝2(AD＋CD)，所以2AD＋DC的最小值为6．
17..(2021·宁波)图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50 cm，∠ABC＝47°.
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30 cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？(参考数据：sin47°≈0.73，cs47°≈0.68，tan47°≈l.07)
{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用．
（1）作AH⊥BC于点H，根据三角函数计算BH，进而求得BC；
（2）由三角函数计算AH的长，从而作出判断．
{答案}19.解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，
∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，
∴BH＝AB·csB＝50cs47°＝50×0.68＝34，
∴BC＝2BH＝68cm.
（2）在Rt△ABH中，AH＝AB·sinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5(cm)，
∵36.5>30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.
18.（2021·淮安）（本小题满分8分）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果精确到1千米）．
{解析}过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出AD，CD的长，在Rt△BCD中，由∠BDC＝90°，∠CBD＝45°可得出BD＝CD，再结合AB＝AD+BD即可求出A、B两点间的距离．
{答案}解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．
在Rt△ACD中，AC＝8千米，∠CAD＝30°，∠CAD＝90°，
∴CD＝AC•sin∠CAD＝4千米，AD＝AC•cs∠CAD＝43千米≈6.8千米．
在Rt△BCD中，CD＝4千米，∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝4千米，
∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11千米．
答：A、B两点间的距离约为11千米．
19.（2021·盐城） 如图，在中，的平分线交于点.求的长？
20．解析：本题考查的是解直角三角形的知识，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．第一步在Rt△ABC利用锐角三角函数关系求出∠A和∠ABC，第二步在Rt△BCD中求利用锐角三角函数关系得出BC的长，第三步在Rt△ABC利用锐角三角函数关系求出AB的长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
又∵CD＝，
∴ ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A＝30°
∴.
考点三 锐角三角函数的实际应用
20.（2021·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A.B.C.D.
{答案}A{解析}本题考查了利用三角函数计算物体高度，作CF⊥AB于F，由题意得CF=DB=b，∵tan∠ACF=AF:CF,∴AF=tan∠ACF×CF=，∴AB=AF+FB=AF+CD=,因此本题选A.
21.（2021·长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米B．米C．21米D．42米
{答案}A
{解析}本题考查了三角函数的应用——仰俯角问题，如图水平距离＝42÷tan30°＝42÷＝，因此本题选A．
22.(2021自贡)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为 米（结果保留根号）．
{答案}故答案为：62．
{解析}本题考查了解直角三角形的知识，通过构造直角三角形，解直角三角形，从而解决问题．
解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝32（米），
∴DE＝CF＝32（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝62（米），
因此本题答案为：62．
23.（2021·泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移___________m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°﹦1.2）
（第15题）
A
B
C
D
E
H
G
{答案}10
{解析}本题考查了锐角三角函数的应用，因为斜坡AB的坡比为12：5，即BE:AE=12：5．设BE=12k，则AE=5k，AB=13k.因为斜坡AB长26m，所以13k=26，所以k=2，即：BE=24 m，则AE=10 m，设坡顶B沿BC至少向右移至点G处，过点G作GH⊥AD，垂足为点H，且设BG=x，则GH：AH≤tan50°，即24：AH≤1.2，所以AH≥20，因为AE=10，所以EH≥10，即坡顶B沿BC至少向右移10 m时，才能确保山体不滑坡．，因此本题答案为10．
24.（2021·咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）
{答案}20.8
{解析}本题考查了解直角三角形的应用，如图，过P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=24×=≈20.8，因此本题填20.8．
25.（2021·遵义）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间身高1.6m的小聪做了如下实验:当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°;在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．(额头到地面的距离以身高计计算精确到0．1m， sin18°≈0.31， cs18°≈0.95， tan18°≈0.32)
{解析}本题考查锐角三角函数的实际应用，根据锐角三角函数的意义及MN＝BC＝BE－EC列方程求解即可．解题时要注意牢记特殊三角函数值，按要求取近似数．
{答案}解:延长BC交AD于点E，则AE＝AD－DE＝0.6m．根据题意，得MN＝BC＝BE－EC，
即MN＝－＝1.875－0.346≈1．529≈1.5（m）
答:小聪在地面的有效距离MN的长度约为1.5m．
26.（2021·铜仁）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
{解析}探究这艘船继续向东航行是否安全，只要判断它到灯塔C的距离与47 km的大小即可。因此考虑过C作CD⊥AB于点D构造直角三角形，然后通过解Rt△BCD求出CD，与47 km比较大小即可解决问题．
{答案}解：如图所示：过点C作CD⊥AB，垂足为D． 根据题意可知∠BAC＝90°﹣30°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝60 km. 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，
∴sin60°＝，∴CD＝60×sin60°＝60×＝30（km）＞47km，∴这艘船继续向东航行安全．
27.(2021·绥化)如图8，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？
(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19．)
北
P
C
A
B
图8
50°
37°
{解析}由AB∥南北线，求得∠A，∠B．然后利用正弦先求出PC，再求出PB．
{答案}解：由已知，得∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100．
在Rt△PAC中，∵sinA＝，∴PC＝PA·sin50°≈77．在Rt△PBC中，∵sinB＝，∴PB＝≈128(千米)．答：这时，B处距离观测塔约为128千米．
28.（2021·聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43）
55°
45°
A
B
C
D
M
N
{解析}过点N作出平行于AC的直线，即可构造两个直角三角形，通过解直角三角形求解，均属于“已知一边一角”解直角三角形类型．
{答案}解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F．
则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30m．
55°
45°
A
B
C
D
M
N
E
F
29．（2021·宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2 km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站A测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
第24题图
{解析}过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝CD＝x km，从而AC＝x km，在Rt△BCD中，由正切函数得到x的方程求解即可．
{答案}解：如答图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝∠ACD＝45°，从而AD＝CD＝x km，AC＝x km，DB＝(2－x)km，∠CBD＝60°．
第24题答图
在Rt△BCD中，由tan∠CBD＝，得tan60°＝，即＝，解得x＝3－，经检验，x＝3－是原方程的根，从而AC＝x km＝•(3－)＝(3－) km．答：船C离观测站A的距离为(3－) km．
3.0.（2021·安顺）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）.（参考数据：，，，）
（1）求屋顶到横梁的距离；
（2）求房屋的高（结果精确到）.
图①图②
{解析}（1）过点E作EH⊥BC，垂足为H.房屋是轴对称图形，因此EG=HB=EF=6.在Rt△AEG中，利用，求出AG长.
（2）在Rt△CEH、Rt△DEH中，已知CD和∠ECD、∠EDB的度数，可求出EH的高度，进而求出房屋高度AB的长.
{答案}（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在的直线是对称轴，，
∴，，.在中，，，
∵，，.∴（米）
答：屋顶到横梁的距离约是4.2米.
（2）过点作于点，设，在中，，，
∵，∴，在中，，，
∵，∴.∵，
∴，∵，，解得.
∴（米）答：房屋的高约是14米.