专题08 翻折、对称、折叠问题-2022年中考数学二次函数解答题题型全归纳（全国通用）

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专题08 翻折、对称、折叠问题
【例1】 如图1，抛物线的顶点为，交轴于、两点，交轴于点，其中点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点是上方抛物线上的一点，连接交于点，若，求出点的坐标．
（3）如图3，点的坐标为，，点是对称轴左侧抛物线上的一点，连接，将沿折叠，若点恰好落在抛物线的对称轴上，请求出点的横坐标．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：①；

（2）如图1，过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作轴的平行线交于点，

由抛物线的表达式知点，而点，
由点、的坐标可得，直线的表达式为：，
当时，，故点，则，
轴，
，
，
设点，则点，则，
即，解得：或2，
故点或；

（3）如图2，设抛物线对称轴交轴于，则将直线沿折叠得到直线，则直线与抛物线的交点即为所求点，
设直线所在的直线为：，则，解得：，
故直线的表达式为：，当时，，
设直线交函数对称轴于点，故点，
过点作交于点，由图形折叠知，
，，
，
过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交轴于点，

，，
，
，
，
，
设点的坐标为，
则，，，，
故，解得：，
故点，，
由点、的坐标同理可得，直线的表达式为：②，
联立①②并解得：（舍去正值），
故点的横坐标为：．
【变式训练1】 图①，抛物线过、两点，交轴于点，连接．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴；
（2）点是抛物线对称轴上一动点，当是以为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点的坐标；
（3）如图2，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线过、两点，
，得，
，
抛物线的对称轴是直线，
即该抛物线的解析式为，对称轴是直线；
（2）分两种情况：
设点的坐标为
第一种情况是：时，
则，
点的坐标为，抛物线交轴于点，
点的坐标为，
，
解得，，
点的坐标为；
第二种情况：当时，
，
即，
解得，，
点的坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为，；
（3）因为点的坐标为，点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，得，
即直线的解析式为，
如右图所示，作点关于直线的对称点交于点，过点作轴于点，
设，，
则，
，
，
，
，
，
即，
解得，，
又，，
，
，
即，
解得，，
点的横坐标为，
把代入直线的解析式，得
，
点的坐标为，，
关于直线对称，
点为的中点，
，
解得，
，，
点在抛物线上，
，
解得，，，
点，点在点下方，
点的坐标为．

【变式训练2】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为，连接，点是线段上一个动点（不与、重合），过点作轴的垂线，垂足为点，连接．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点的坐标；
（2）如果点的坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围，并求出的最大值；
（3）过点作轴的垂线，垂足为点，连接，把沿直线折叠，点的对应点为点，求出的坐标．（直接写出结果）

【解答】解：（1）抛物线经过点，，三点，
，解得：，
抛物线解析式为：，
，，
抛物线的顶点；
（2），，
设的解析式，
点在上，
，
，
当时，；
（3），．
点在上，
当时，，
点，
，，
过点作轴于点，
沿翻折得△，
，，，
轴，
，
，
，
，
设，则，，
在△中，，即，解得：，
，
，
在中，，
，
，．

【例2】 如图1，经过原点的抛物线、为常数，与轴相交于另一点．直线在第一象限内和此抛物线相交于点，与抛物线的对称轴相交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，求满足条件的点的坐标；
（3）直线沿着轴向右平移得到直线，与线段相交于点，与轴下方的抛物线相交于点，过点作轴于点．把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上时（图，求直线的解析式；
（4）在（3）问的条件下（图，直线与轴相交于点，把绕点顺时针旋转得到△，点为直线上的动点．当△为等腰三角形时，求满足条件的点的坐标．
【解答】解：（1）由已知点坐标为
把点，代入，得

解得

抛物线的解析式为：
（2）由（1）抛物线对称轴为直线，则点坐标为，
，
当时，



当时，



点坐标为或，
（3）设点坐标为，直线解析式为：
直线与轴夹角为
为等腰直角三角形．
当把沿直线折叠时，四边形为正方形
点坐标为
平行于轴
、关于抛物线对称轴对称


则点坐标可化为
把点坐标代入
得：

解得
，
时，（不合题意舍弃）
则点坐标为
把坐标代入
则
直线的解析式为：
（4）由（3）点坐标为
则为等腰直角三角形
△为等腰直角三角形，直线
当时，△为等腰直角三角形
坐标为或
【变式训练1】 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线，交轴于点、两点，与轴交于点，且．

（1）求的值；
（2）连接、，点为上一点，直线交对称轴左侧的抛物线于点，当时，求点坐标．
（3）在（2）的条件下，在上取点，在上取点，使，连接，且平分线段，在第二象限取点，使射线轴于点，为射线上的一点，在边上取点，将沿折叠，使的对应线段所在的直线与射线交于点，得到，的面积为4时，求的度数．
【解答】解：（1）对于抛物线，
令，可得，
解得或3，
，，
，，
，
，
，
，
，
．

（2）如图1中，取的中点，连接，设交于交于．

，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
由，
解得或，
，．

（3）如图2中，过点作交于，交轴于，设扇形交于．

平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
可以假设，，则，，
，，
，
点在直线，上，
，
解得，
，，
，
当时，过点作于．
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
当时，同法可得，
综上所述，满足条件的的值为或．
【变式训练2】 在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线、、为常数，的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线与其“梦想直线”交于、两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，，，点横坐标为，．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，点为线段上一动点，将以所在直线为对称轴翻折，点的对称点为，若为该抛物线的“梦想三角形”，求点的坐标；
（3）当点在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），由直线的表达式知，，
故一次函数的表达式为；
当时，，故点，，
点，，则点，则，
故抛物线的表达式为
将点、的坐标代入上式得，解得，
故抛物线的表达式为；
抛物线的对称轴为直线，故抛物线的顶点坐标为：；

（2）当点在轴上时，为梦想三角形，
如图1，过作轴于点，则，

由点、的坐标知，，
由翻折的性质可知，
在中，由勾股定理可得，
由抛物线的表达式知，点的坐标为，，故，
或，
当时，则，与矛盾，不合题意，
点坐标为，；
当点在轴上时，则与重合，过作轴于点，如图2，

在中，，，
，
，
轴，
，
又由折叠可知，
，且，
，，
此时点坐标为，；
综上可知点坐标为，或，；

（3）①当为平行四边形的边时，如图3，过作对称轴的垂线，过作轴于点，

则有且，
，
在和中，
，
，
，，
抛物线对称轴为，
点的横坐标为0或，
点在直线上，
当点横坐标为0时，则，此时点在直线下方，
到轴的距离为，即点纵坐标为，
；
当点的横坐标为时，则与重合，不合题意，舍去；
②当为平行四边形的对角线时，
，且，，
线段的中点坐标为，
设，，
则，，
，，
代入直线解析式可得，解得，
，；
综上可知存在满足条件的点，此时、或、．
【例3】 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，与轴的另一交点为点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接，交轴于点，点是线段上的动点（不与点，点重合），将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，请直接写出线段的长．
【解答】解：（1）抛物线经过点和点，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）存在，理由是：
在轴正半轴上取点，使，过点作，垂足为，
在中，
令，解得：或，
点坐标为，
点坐标为，
可知：点和点关于轴对称，
，即，
，
，
在中，，
即，解得：，
，
，
若，
则，
，，
则，
为锐角，
当点在第三象限时，
为钝角，不符合；
当点在轴上方时，
，设点坐标为，
过点作轴的垂线，垂足为，
则，，
，
解得：，
，
点的坐标为，；

当点在第四象限时，
同理可得：，，
，
解得：，
，
点的坐标为，，
综上：点的坐标为，或，；

（3）设与交于点，
，，设直线表达式为，
则，解得：，
直线表达式为，
设点的坐标为，
，，设直线表达式为，
则，解得：，
直线表达式为，
令，则，
点坐标为，
可得：点是线段中点，
和的面积相等，
由于折叠，
，即，
由题意可得：
当点在直线上方时，
，
即，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
解得：或0（舍，
，，
，

当点在直线下方时，如图，
同理可得：四边形为平行四边形，
，
由于折叠可得：，
，

综上：的长度为或．
【变式训练1】 如图，抛物线与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线与轴交于点，连接、，点为抛物线上的一个动点（点与点不重合），且，请求出所有满足条件的点的横坐标．

【解答】解：（1）把点，分别代入，得
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
（2）抛物线与轴相交于点，点，
，对称轴为直线，
，，
，

，
，
，
由翻折得，，
，
；
（3）设交轴于点，

设直线的解析式为，则
，
解得，，
的解析式为：，
，
抛物线的解析式为，
，
分两种情况：
①当点、在直线的同侧时，
，
，
直线的解析式为：，
联立方程组，
解得，（舍，，
；
②当点与点在的两侧时，
，
点、点到直线的距离相等，
，，
，
在轴上截取，过点作的平行线，交抛物线于点和，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，，
综上，当点的横坐标为3或或时，．
【变式训练2】 如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接．
（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标；
（3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标．

【解答】解：（1）抛物线过点，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线；
针对于抛物线的解析式为，
令，则，
或，
；


（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为，
，
，
，
，，
是等腰三角形，
①当时，
，
，
，
②当时，
，
，
，
③当时，
，
，，，
即满足条件的点的坐标为或或，或；

（3）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为，
，
令，则，
或，
点，
直线的解析式为，
过点作轴于，过点作于，
，
由（2）知，，
由折叠知，，，
△，
，，
设点，
，，
，，
点，
点在直线上，
①，
点在抛物线上，
②，
联立①②解得，或，
即点的横坐标为或．


【变式训练3】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，连接，已知．
（1）点的坐标是　
（2）若点是抛物线上的任意一点，连接、．
①当与的面积相等时，求点的坐标；
②把沿着翻折，若点与抛物线对称轴上的点重合，直接写出点的横坐标．

【解答】解：（1）点，
，
，
，
，
，
故答案为：；

（2）①把点和点坐标代入二次函数中得，
，
解得，
二次函数的解析式为：，
设直线的解析式为，则
，
解得，，
直线的解析式为：，
设点的坐标为，
过作轴，与交于点，则
，
与的面积相等，
，
，或，
解方程，得或，
无解，
或；

②，
对称轴为，
点与抛物线对称轴上的点重合，
可设，，，
当点在直线的上方时，如图1，
设与抛物线的对称轴的交点为点，与的交点为点，过点作于点，
则，，

，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
，
，或（舍，
当点在直线下方时，如图2，

设与抛物线的对称轴的交点为点，与的交点为点，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
，
（舍去），或，
综上，点的横坐标为或．
【例4】 如图，抛物线与轴相交于点，顶点为，直线分别与轴、轴相交于、两点，并且与直线相交于点．
（1）若直线和抛物线有两个不同交点，求的取值范围，并用表示点、的坐标；
（2）将沿轴翻折，若点的对称点恰好落在抛物线上，与抛物线的对称轴相交于点，连接，求的值及△的面积；
（3）在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得，，整理得，
△，解得，
，
且，
令，得，
，
，
．

（2）设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为，
联立得，，解得，
，，
点是点关于轴的对称点，
，，
将点的坐标代入得，，解得或（舍去），
，，，，


；

（3）如图，①当点在轴左侧时，
四边形是平行四边形，
与互相平分，，，
，；
将点的坐标代入得，，解得或（舍，
，；
②当点在轴右侧时，
四边形是平行四边形，
且，
，，，，
，；
将点的坐标代入得，，解得或（舍，
，；
综上所述，当点，和，时，、、、能构成平行四边形．

【变式训练1】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点、，与轴相交于点，顶点为，且．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点是对称轴右侧抛物线上的点，联结，交对称轴于点，当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将沿直线翻折，当点恰好与点重合时，折痕交轴于点，交轴于点，求的值．

【解答】解：（1）二次函数的图象与轴交于点，
点的坐标为，
，
连接，在中，，
，

将点代入，得，
解得：．
所以，这个二次函数的解析式为；

（2）过点作，过点作，垂足分别为点、．

抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
点的横坐标为5，
把代入，得，
点的坐标为；

（3）过点作，垂足分别为点，

点的坐标为，
，，
将沿直线翻折，点恰好与点重合，
，
，
又，
，
．
【变式训练2】 如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点，且点坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）抛物线与轴交于点，连接，，在抛物线上有一个动点，且，求满足条件的点的横坐标．

【解答】解：（1）将，代入中，
可得，
，
；
（2）如图，设对称轴于的交点为，

与轴交于，两点，
；
，，
点，
对称轴为直线，
，，
点在抛物线的对称轴上，
，
将沿直线翻折得到△，
，，
，
，
点
，
，
，
点；
（3）如图，设交轴于点，

点，点，
直线解析式为：，
点，
抛物线的解析式为：与轴交于点，
点
，
若点，点在的同侧时，
，
点与点到直线的距离相等，即，
直线解析式为：，
，
，，
点的横坐标为；
若点与点在的两侧时，
，
点与点到直线的距离相等，
点，点

在轴上截取，过点作的平行线交抛物线于点和，
，
点坐标，
直线解析式为：，
，

综上所述：当点的横坐标为或或时，．
【变式训练3】 如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；

【解答】解：（1）抛物线经过点，与轴相交于，两点，
，得，
即抛物线的函数表达式是；
（2）与轴相交于，两点，
，该抛物线的对称轴是直线，
设抛物线的对称轴与轴的交点为，
则点的坐标为，
，
将沿直线翻折得到△，点恰好落在抛物线的对称轴上，
，，，
，，
的坐标为，，，
，
，，
，
点的坐标为，
由上可得，点的坐标为，，点的坐标为．