押第21题 计算与几何结合-备战2022年中考数学临考题号押题（广东专用）

押第21题

计算与几何结合

广东中考对计算与几何结合、较复杂几何证明知识的考查要求较高，均是以8分题为主的形式进行考查，一般难度较大，要求考生熟练掌握与相关计算法则和技巧，几何的基础知识外，还需要一定的知识运用能力．纵观近3年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查方程组与几何证明结合的知识运用．二是考查三角形证明，（特殊）平行四边形相关证明与计算．

1．（2021广东）已知关于x、y的方程组与的解相同．

（1）求a、b的值；

（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由．

【解答】解：

（1）由题意得，解得

由，解得

（2）该三角形的形状是等腰直角三角形，理由如下：

由（1）得x2﹣4x+12=0

           （x-）2=0

              x1=x2=

∴该三角形的形状是等腰三角形

∵（2）2=24，（）2=12

∴（2）2=（）2+（）2

∴该三角形的形状是等腰直角三角形

2．（2019广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．

（1）求△ABC三边的长；

（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．

【解答】解：（1）AB＝＝2，

AC＝＝2，

BC＝＝4；

（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°，

连接AD，AD＝＝2，

∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB•AC﹣π•AD2＝20﹣5π．

3．（2018广东）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．

（1）求证：△ADE≌△CED；

（2）求证：△DEF是等腰三角形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=CD．

由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，

∴AD=CE，AE=CD．

在△ADE和△CED中，，

∴△ADE≌△CED（SSS）．

（2）由（1）得△ADE≌△CED，

∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，

∴EF=DF，

∴△DEF是等腰三角形．

4．（2019广州）已知P＝（a≠±b）

（1）化简P；

（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值．

【解答】解：（1）P＝﹣＝＝＝；

（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，

∴b＝a﹣，

∴a﹣b＝，

∴P＝；

1．（2021佛山市大沥镇一模）如图，已知菱形ABCD的周长是48cm， AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，∠EAF＝2∠C．

（1）求∠C的度数；

（2）已知DF的长是关于x的方程x2－5x－a＝0的一个根，求该方程的另一个根．

解答】（1）解：∵AE⊥BC，AF⊥CD

∴∠F＝∠E＝900

在四边形AECF中，

∠C＋∠FAE＝180°

∵∠EAF＝2∠C

∴∠C＝60°

（2）∵菱形ABCD的周长是48cm

∴AD＝12 cm  ∠ADC＝1200

∴∠ADF＝600

在Rt△ADF中，∠DAF＝300

∴DF＝AD＝6cm  

DF的长是关于x的方程x2－5x－a＝0的一个根

设方程的另外一个根为x1

根据根与系数的关系得：x1＋6＝5

∴x1＝－1          

2．（2021•新疆）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AD∥CB，

∴∠DAE＝∠BCF，

∵DE∥BF，

∴∠DEF＝∠BFE，

∴∠AED＝∠CFB，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（AAS），

∴AE＝CF；

（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，

则DE＝BF，

又∵DE∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵BE＝DE，

∴四边形EBFD为菱形．

3．（2021•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，

理由：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴AC⊥EF，

∵DE＝BF，

∴OE＝OF，

又∵OA＝OC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形．

4．（2021•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△BDE≌△FAE；

（2）求证：四边形ADCF为矩形．

【解答】证明：（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是线段AD的中点，

∴AE＝DE，

∵∠AEF＝∠DEB，

∴△BDE≌△FAE（AAS）；

（2）∵△BDE≌△FAE，

∴AF＝BD，

∵D是线段BC的中点，

∴BD＝CD，

∴AF＝CD，

∵AF∥CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AB＝AC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴四边形ADCF为矩形．

5．（2021•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

（1）求证：四边形OEFG是矩形；

（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，

∵E是AD的中点，

∴AE＝OEAD，

∴∠EAO＝∠AOE，

∴∠AOE＝∠BAO，

∴OE∥FG，

∵OG∥EF，

∴四边形OEFG是平行四边形，

∵EF⊥AB，

∴∠EFG＝90°，

∴四边形OEFG是矩形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，

∴∠AOD＝90°，

∵E是AD的中点，

∴OE＝AEAD＝5；

由（1）知，四边形OEFG是矩形，

∴FG＝OE＝5，

∵AE＝5，EF＝4，

∴AF3，

∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．

6．（2021•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．

（1）求证：△BAE≌△CDE；

（2）求∠AEB的度数．

【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，

∴∠AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，

∴∠EAB＝∠EDC＝150°，

在△BAE和△CDE中

，

∴△BAE≌△CDE（SAS）；

（2）∵AB＝AD，AD＝AE，

∴AB＝AE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∵∠EAB＝150°，

∴∠ABE（180°﹣150°）＝15°．

（限时：30分钟）

1．已知方程组与的解相同.

（1）求a，b的值；

（2）若三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的一元二次方程ax2＋3bx＋20＝0的两个根，试判断该三角形的形状，并说明理由.

【解答】解：(1)由题意，得方程组与的解相同．

解方程得

将代入得解得

(2)当a＝1，b＝－3时，一元二次方程可化为x2－9x＋20＝0.

解得x1＝4，x2＝5.

∵32＋42＝52，∴该三角形为直角三角形．

2．（2021•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．

（1）求证：EF＝DE；

（2）当AF＝2时，求GE的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，

∴∠ECM＝45°，

∵MN∥BC，∠BCM＝90°，

∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，

∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，

∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，

∴MC＝ME，

∵CD＝MN，

∴DM＝EN，

∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，

∴∠DEF＝90°，

∴∠DEM+∠FEN＝90°，

∴∠EDM＝∠FEN，

在△DME和△ENF中

，

∴△DME≌△ENF（ASA），

∴EF＝DE；

（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，

∴ME＝NF，

∵四边形MNBC是矩形，

∴MC＝BN，

又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，

∴BN＝MC＝NF＝1，

∵∠EMC＝90°，

∴CE，

∵AF∥CD，

∴△DGC∽△FGA，

∴，

∴，

∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，

∴AC＝4，

∵AC＝AG+GC，

∴AG，CG，

∴GE＝GC﹣CE；

如图2所示，

同理可得，FN＝BN，

∵AF＝2，AB＝4，

∴AN＝1，

∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，

∴AC＝4，

∵AF∥CD，

∴△GAF∽△GCD，

∴，

即，

解得，AG＝4，

∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，

∴AE，

∴GE＝GA+AE＝5．

3．（2021•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．

（1）求证：四边形BNDM是菱形；

（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠DMO＝∠BNO，

∵MN是对角线BD的垂直平分线，

∴OB＝OD，MN⊥BD，

在△MOD和△NOB中，，

∴△MOD≌△NOB（AAS），

∴OM＝ON，

∵OB＝OD，

∴四边形BNDM是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴四边形BNDM是菱形；

（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，

∴BM＝BN＝DM＝DN，OBBD＝12，OMMN＝5，

在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM13，

∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．

4．（2021•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．

（1）求证：△PBE≌△QDE；

（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴EB＝ED，AB∥CD，

∴∠EBP＝∠EDQ，

在△PBE和△QDE中，，

∴△PBE≌△QDE（ASA）；

（2）证明：如图所示：

∵△PBE≌△QDE，

∴EP＝EQ，

同理：△BME≌△DNE（ASA），

∴EM＝EN，

∴四边形PMQN是平行四边形，

∵PQ⊥MN，

∴四边形PMQN是菱形．