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押第24题 反比例函数与几何综合-备战2022年中考数学临考题号押题（广东专用）
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押第24题 反比例函数与几何综合
广东中考对反比例函数知识的考查要求高，一般是以8分或10分简答题的形式进行考查，一般难度大，除了要求考生熟练掌握与反比例函数有关的基础知识，函数图像性质，还需要掌握几何证明的相关知识．纵观近3年的中考试题，主要考查以下两个方面：一是考查反比例的解析式，面积，与一次函数的综合运用．二是考查几何证明与计算．
1．（2021广东）如图，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A、C．反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB、BC分别交于点D、E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF、BG．
（1）填空：k=________；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【解答】
（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），
则k=s•t=st＝2，
故答案为2；
（2）解：过点D作DP⊥x轴交于点P
由题意得，S矩形OBC=AB•AO=k=8，S矩形ADPO=AD•AO=k=2
∴=即BD=AB
∵S△BDF=BD•AO=AB•AO=3
（3）连接OE
由题意得S△OEC=OC•CE=1，S△OBC=OC•CB=4
∴即CE=BE
∵∠DEB=∠CEF，∠DBE=∠FCE
∴△DEB∽△FEC
∴CF=BD
∵OC=GC，AB=OC
∴FG=AB-CF=BD-BD=BD
∵AB∥OG
∴BD∥FG
∴四边形BDFG为平行四边形
2．（2019广东）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
【分析】（1）利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标；
（2）欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知EC∥BF且EC＝BF即可；
（3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；
②根据①的结果即可得到结论．
【解答】解：（1）令x2+x﹣＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣7．
∴A（1，0），B（﹣7，0）．
由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；
（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，
∴∠COF＝∠DD1F＝90°，
∵∠D1FD＝∠CFO，
∴△DD1F∽△COF，
∴＝，
∵D（﹣3，﹣2），
∴D1D＝2，OD＝3，
∴D1F＝2，
∴＝，
∴OC＝，
∴CA＝CF＝FA＝2，
∴△ACF是等边三角形，
∴∠AFC＝∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，
∴∠ECF＝∠AFC＝60°，
∴EC∥BF，
∵EC＝DC＝＝6，
∵BF＝6，
∴EC＝BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）∵点P是抛物线上一动点，
∴设P点（x，x2+x﹣），
①当点P在B点的左侧时，
∵△PAM与△DD1A相似，
∴或＝，
∴＝或＝，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣；
当点P在A点的右侧时，
∵△PAM与△DD1A相似，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣（不合题意舍去）；
当点P在AB之间时，
∵△PAM与△DD1A相似，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣；
综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣；
②由①得，这样的点P共有3个．
3．（2019广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点A的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．
1．（2021佛山市禅城区一模）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C的坐标和△ABC的面积．
【分析】（1）由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，从而得出＝，进一步求出三角形AOM的面积，求出k的值即可；
（2）求出一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N坐标，根据S△AOC＝S△CON+S△AON 计算结果即可．
【解答】解：（1）设AE交x轴于M．由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，
∵OM∥EB，
∴∠AMO＝∠AEB，∠AOM＝∠ABE，
∴△AMO∽△AEB，
∴＝（）2＝，
∵S△ABE＝6，
∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝，
∵S△AOM＝|k|，k＜0，
∴|k|＝，
解得k＝﹣3，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，
由题意得，，解得，
∵A在第二象限，点C在第四象限，
∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），
∵A与B关于原点O中心对称，
∴B（1，﹣3），
∴S△ABC＝6×4+×2×6+×2×2+×4×4＝8．
2. （佛山市大沥镇一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，、分别落在落在轴和轴上，是矩形的对角线． 将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图像经过点，交于点．
（1）填空：的值等于 ；
（2）连接，图中是否存在与相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段上是否存在这样的点，使得是等腰三角形． 请直接写出的长．
【分析】（1）证明△COF∽△AOB，则，求得：点F的坐标为（1，2），即可求解；
（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．证△OAB∽△BFG：，，即可求解；
（3）分GF＝PF、PF＝PG、GF＝PG三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴△COF∽△AOB，
∴，
∴＝，
∴CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y＝（x＞0）的图象经过点F，
∴2＝，得k＝2；
（2）存在与△BFG相似的三角形，比如：△AOB∽△BFG．
下面对△OAB∽△BFG进行证明：
∵点G在AB上，
∴点G横坐标为4，
对于y＝，当x＝4，得y＝，
∴点G的坐标为（4，），
∴AG＝，
∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
BG＝AB﹣AG＝，
∴，，
∴，
∵∠OAB＝∠FBG＝90°，
∴△OAB∽△FBG．
（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，），
则FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，
当GF＝PF时，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去负值）；
当PF＝PG时，同理可得：m＝；
当GF＝PG时，同理可得：m＝4﹣；
综上，点P的坐标为（4﹣，0）或（，0）或（，0），
∴OP=4-或或．
3．（2021惠州市一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出时，的取值范围；
（3）过点作轴，于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出，求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用数形结合思想解答；
（3）根据直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况解答．
【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
（2）由函数图象可知，当或时，；
（3），，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点在点的左侧时，点的坐标为，，
当点在点的右侧时，点的坐标为，，
当点的坐标为，或，时，．
（限时：30分钟）
1．（2021•襄阳）如图，反比例函数y1（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 ．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；
（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1（x＞0）得：m＝1×4＝4，
∴y，
∵把B（n，2）代入y得：2，
解得n＝2；
故答案为4，2；
（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，
解得：k＝﹣2，b＝6，
即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．
由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）∵点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM|m|2，
故答案为2．
2．（2021•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ ，点C的坐标为 ；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE（x﹣1）2，由二次函数的性质即可求得结论．
【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），
∴m6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，），C（2，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为yx；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，x）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，），
∴S△ODEx•（x）x2x+3（x﹣1）2，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．
3．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【分析】（1）把A（3，4）代入y（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴4×||＝2||×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：yx+2，y＝2x﹣2．
4．（2021•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解得或，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE3，DB，
∴CNBD，
∴S△DECDE•CN．
5．（2021•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．
【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．
【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝2，
∴OD＝AD＝2，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOE＝45°，
∴∠EOD＝15°．
6．（2021•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解析】（1）将点A（1，2）代入y，得：m＝2，
∴y，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP•PC•yA＝4，
∴|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
7．（2021•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：yx+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故一次函数的表达式为：yx+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积CD•xA12×3＝18．
8．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数yx+5的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】（1）联立yx+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOCOC•AMOC•BN，即可求解．
【解析】（1）联立yx+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，yx+5＝1，故点B（﹣8，1），
设yx+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOCOC•AMOC•BN．
押第24题 反比例函数与几何综合
广东中考对反比例函数知识的考查要求高，一般是以8分或10分简答题的形式进行考查，一般难度大，除了要求考生熟练掌握与反比例函数有关的基础知识，函数图像性质，还需要掌握几何证明的相关知识．纵观近3年的中考试题，主要考查以下两个方面：一是考查反比例的解析式，面积，与一次函数的综合运用．二是考查几何证明与计算．
1．（2021广东）如图，点B是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A、C．反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB、BC分别交于点D、E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF、BG．
（1）填空：k=________；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【解答】
（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），
则k=s•t=st＝2，
故答案为2；
（2）解：过点D作DP⊥x轴交于点P
由题意得，S矩形OBC=AB•AO=k=8，S矩形ADPO=AD•AO=k=2
∴=即BD=AB
∵S△BDF=BD•AO=AB•AO=3
（3）连接OE
由题意得S△OEC=OC•CE=1，S△OBC=OC•CB=4
∴即CE=BE
∵∠DEB=∠CEF，∠DBE=∠FCE
∴△DEB∽△FEC
∴CF=BD
∵OC=GC，AB=OC
∴FG=AB-CF=BD-BD=BD
∵AB∥OG
∴BD∥FG
∴四边形BDFG为平行四边形
2．（2019广东）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
【分析】（1）利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标；
（2）欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知EC∥BF且EC＝BF即可；
（3）①利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；
②根据①的结果即可得到结论．
【解答】解：（1）令x2+x﹣＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣7．
∴A（1，0），B（﹣7，0）．
由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；
（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，
∴∠COF＝∠DD1F＝90°，
∵∠D1FD＝∠CFO，
∴△DD1F∽△COF，
∴＝，
∵D（﹣3，﹣2），
∴D1D＝2，OD＝3，
∴D1F＝2，
∴＝，
∴OC＝，
∴CA＝CF＝FA＝2，
∴△ACF是等边三角形，
∴∠AFC＝∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，
∴∠ECF＝∠AFC＝60°，
∴EC∥BF，
∵EC＝DC＝＝6，
∵BF＝6，
∴EC＝BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）∵点P是抛物线上一动点，
∴设P点（x，x2+x﹣），
①当点P在B点的左侧时，
∵△PAM与△DD1A相似，
∴或＝，
∴＝或＝，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣；
当点P在A点的右侧时，
∵△PAM与△DD1A相似，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣（不合题意舍去）；
当点P在AB之间时，
∵△PAM与△DD1A相似，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣；
综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣；
②由①得，这样的点P共有3个．
3．（2019广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．
【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点A的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．
1．（2021佛山市禅城区一模）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点A，C的坐标和△ABC的面积．
【分析】（1）由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，从而得出＝，进一步求出三角形AOM的面积，求出k的值即可；
（2）求出一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N坐标，根据S△AOC＝S△CON+S△AON 计算结果即可．
【解答】解：（1）设AE交x轴于M．由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，
∵OM∥EB，
∴∠AMO＝∠AEB，∠AOM＝∠ABE，
∴△AMO∽△AEB，
∴＝（）2＝，
∵S△ABE＝6，
∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝，
∵S△AOM＝|k|，k＜0，
∴|k|＝，
解得k＝﹣3，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，
由题意得，，解得，
∵A在第二象限，点C在第四象限，
∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），
∵A与B关于原点O中心对称，
∴B（1，﹣3），
∴S△ABC＝6×4+×2×6+×2×2+×4×4＝8．
2. （佛山市大沥镇一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，、分别落在落在轴和轴上，是矩形的对角线． 将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图像经过点，交于点．
（1）填空：的值等于 ；
（2）连接，图中是否存在与相似的三角形？若存在，请找一个，并进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段上是否存在这样的点，使得是等腰三角形． 请直接写出的长．
【分析】（1）证明△COF∽△AOB，则，求得：点F的坐标为（1，2），即可求解；
（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．证△OAB∽△BFG：，，即可求解；
（3）分GF＝PF、PF＝PG、GF＝PG三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，
∴△COF∽△AOB，
∴，
∴＝，
∴CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y＝（x＞0）的图象经过点F，
∴2＝，得k＝2；
（2）存在与△BFG相似的三角形，比如：△AOB∽△BFG．
下面对△OAB∽△BFG进行证明：
∵点G在AB上，
∴点G横坐标为4，
对于y＝，当x＝4，得y＝，
∴点G的坐标为（4，），
∴AG＝，
∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
BG＝AB﹣AG＝，
∴，，
∴，
∵∠OAB＝∠FBG＝90°，
∴△OAB∽△FBG．
（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，），
则FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，
当GF＝PF时，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去负值）；
当PF＝PG时，同理可得：m＝；
当GF＝PG时，同理可得：m＝4﹣；
综上，点P的坐标为（4﹣，0）或（，0）或（，0），
∴OP=4-或或．
3．（2021惠州市一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出时，的取值范围；
（3）过点作轴，于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出，求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）利用数形结合思想解答；
（3）根据直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况解答．
【解答】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，
则点的坐标为，
由题意得，，
解得，，
则一次函数解析式为：；
（2）由函数图象可知，当或时，；
（3），，
，
由题意得，，
在中，，即，
解得，，
当点在点的左侧时，点的坐标为，，
当点在点的右侧时，点的坐标为，，
当点的坐标为，或，时，．
（限时：30分钟）
1．（2021•襄阳）如图，反比例函数y1（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 ．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；
（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1（x＞0）得：m＝1×4＝4，
∴y，
∵把B（n，2）代入y得：2，
解得n＝2；
故答案为4，2；
（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，
解得：k＝﹣2，b＝6，
即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．
由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）∵点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM|m|2，
故答案为2．
2．（2021•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ ，点C的坐标为 ；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE（x﹣1）2，由二次函数的性质即可求得结论．
【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），
∴m6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，），C（2，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为yx；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，x）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，），
∴S△ODEx•（x）x2x+3（x﹣1）2，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．
3．（2021•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【分析】（1）把A（3，4）代入y（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴4×||＝2||×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：yx+2，y＝2x﹣2．
4．（2021•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解得或，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE3，DB，
∴CNBD，
∴S△DECDE•CN．
5．（2021•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．
【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．
【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝2，
∴OD＝AD＝2，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOE＝45°，
∴∠EOD＝15°．
6．（2021•菏泽）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP•PC•yA＝4求出m的值即可得出答案．
【解析】（1）将点A（1，2）代入y，得：m＝2，
∴y，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP•PC•yA＝4，
∴|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
7．（2021•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：yx+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故一次函数的表达式为：yx+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积CD•xA12×3＝18．
8．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数yx+5的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】（1）联立yx+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOCOC•AMOC•BN，即可求解．
【解析】（1）联立yx+5①和y＝﹣2x并解得：，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，yx+5＝1，故点B（﹣8，1），
设yx+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOCOC•AMOC•BN．
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