考点21-1 圆的证明 圆的切线性质等-2022年中考数学专项分类提分训练（天津专用）

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考点21—1圆的证明 圆的切线性质等
1．如图，在锐角，，以为直径画交于点，过点作于点．

（1）求证：是的切线；
（2）当时，求阴影部分弓形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，由等腰三角形的性质得到,∠A＝∠C,∠ODC＝∠C，∠A＝∠ODC,可得OD∥AB,根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据直角三角形的性质得到∠ADE＝30°，求得∠A＝60°，然后根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】
解：（1）连结，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴OD∥AB．
∵，
∴，而是圆的半径，
∴是的切线．

（2）连结，
∵BD⊥AC，AB＝BC，
∴AD＝CD，
∵AC＝4AE，
∴AD＝2AE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠COD＝60°，AD＝CD＝AB＝2，BD＝AB＝，
∴
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．如图，四边形内接于⊙O，AB是直径，点是的中点．


（1）求证：；
（2）连结，若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连结，根据圆周角定理得出，再根据垂径定理得出，进而得出；
（2）连结，先求出，设设，再根据勾股定理求出结果．
【解析】
（1）如图，连结


是⊙O的直径

点是的中点


（2）如图，连结


由（1）可得，


设，则
在中，
在中，

解得

．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
3．如图，、、均为上的点，且，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，在圆上取点，使；
（2）在图2中，作出的一个余角．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）取优弧AC上任意一点P，连接AP、CP、OC，即可得到；
（2）连接AC交OB于点D，则为所求余角．
【解析】
解：（1）连接AP、CP、OC，如图：为所求．

∵在中，AB=BC，
∴∠AOB=∠BOC=，
∵，
∴；
（2）连接AC交OB于点D，如图：为所求余角．

∵，OB为半径，AC为弦，
∴OB⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴，
∴为所求余角．
【点睛】
本题考查了基本作图，圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形．
4．（1）解方程：；
（2）如图，中，，，求度数．

【答案】（1），（2）
【分析】
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）根据弧相等可得∠C=75°，用三角形内角和求∠A．
【解析】
解：（1），
，
或
；
（2）∵，
∴，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和圆周角的性质以及三角形内角和定理，解题关键是根据方程特征选择恰当的方法和熟练运用圆周角的性质．
5．如图，是正方形对角线上一点，以点为圆心，的长为半径的⊙O与相切于点．

（1）求证：与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）过O作ON⊥CD于N，连接OM，根据正方形和角平分线的性质，证OM＝ON即可．
（2）若正方形的边长为，则对角线AC的长为，可求出⊙O的半径，然后根据，即可求出阴影部分的面积．
【解析】

（1）证明：连，过作于；
与相切，
．
四边形是正方形，
平分．
．
与相切．
（2）解：四边形为正方形，
，，，
，，
，
，
；

【点睛】
此题考查了正方形的性质、切线的判定，三角函数，扇形的面积，解题的关键是正方形的边长、对角线、圆的半径之间的关系．
6．如图，是的直径，点和点是上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．

（1）求证：是的切线：
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，过点作于点，证，得出即可；
（2）先证是等边三角形，再求半径，利用公式求扇形面积和等边三角形面积即可．
【解析】
（1）证明：如图，连接，过点作于点，

则，
，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
点在上，即是半径，
是的切线．
（2）解：，
，
，
，
，
，
又，
，，
是等边三角形，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．如图，内接于，是上的一点，连接，，．

（1）求证：
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据得从而可证，根据同圆中相等的两条弧所对的弦相等即可证明．
（2）如解析图：连接，，过点作于点，根据圆周角定理,等腰三角形的性质得，则,则有,由垂径定理得,设，利用勾股定理求出即可．
【解析】
（1），


即：，

（2）如图：连接，，过点作于点，

则
，

，，

，
．
设为，则为
，
，
，

的半径为
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理以及同圆或等圆中两个圆心角，两条弧，两条弦中如果有一组量相等则它们所对应的其余各组量也相等，熟练掌握这些定理是解题关键．
8．如图，已知的边是的切线，切点为点．经过圆心并与圆相交于点，，过点作直线，交的延长线于点．

（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到结果；
（2）过点作于点，设，根据已知条件可得，，，在中利用勾股定理列方程可得结果．
【解析】

（1）证明：如图1，连接OB
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）过点作于点，设．
平分，，，
，∠E=∠BFC=90°
∵CB=CB
，
∴，
，
在中，，即，
解得：，即圆的半径为．

【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．如图，是的内接三角形，的外角平分线交于点，连接，．求证：．

【答案】见解析
【分析】
根据圆内接四边形的性质得到，根据等角平分线得到，等量代换,根据圆周角定理得到．
【解析】
证明：圆内接四边形，
．
平分，
．
又，
，
．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.
10．如图，是的直径，与相切于点，交于点，连接．
（1）如图①，若，求的度数．
（2）如图②，过点作弦于点，连接，若，求的度数．

【答案】（1）35°；（2）30°．
【分析】
（1）由PA是⊙O的切线，推出OA⊥AP，推出∠AOP＝90°−20°＝70°，由∠B＝∠AOP＝35°；
（2）如图②中，连接BD、OD．只要证明，即可推出∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，由PA是⊙O的切线，推出∠PAO＝90°，推出∠P＝30°．
【解析】
解：（1）∵与相切于点，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）如图，连接，．

∵于点，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
∵为的切线，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，求该圆锥的母线长．


【答案】
【分析】
根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可．
【解析】
解：圆锥的底面周长，
由题意可得，解得，
所以该圆锥的母线长为．
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图半径，根据题意建立方程．
12．如图，在中，，以O为圆心，以的长为半径作，交于点D，交于点E，过点B和点O分别作、的平行线，交于点C，连结．

（1）若，，求阴影部分的面积；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）与的切线，证明见解析
【分析】
（1）根据含30度角的直角三角形性质可知OD为中线且求得△OAB的面积及∠DOE=30°，再利用中线性质和扇形面积公式可以得到阴影部分面积；
（2）由已知可以得到△OAB≌△DOC，从而得到CD⊥OD，再由OD是⊙O半径可以得到CD与⊙O相切 ．
【解析】
（1）在中，连接，因为，，，
所以∠ABO=30°,，AB=4，
∴．
因为=AD ，
所以，，，
∴，
所以，阴影部分面积为．

（2）CD与 ⊙O相切，理由如下：
因为，，
所以四边形是平行四边形，且，
∴．
又因为，
所以，
所以，
所以（SAS），
所以，
又因为是的半径，
所以与相切．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握含30度角直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、切线的判定定理、三角形与扇形面积的计算及平行线和平行四边形的性质是解题关键．
13．如图，在中，，以直角边BC为直径的交斜边AB于点D，E为边AC的中点，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．

（1）求证：直线DE是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）分别连结OD，CD，可证得 △ACD 是直角三角形，根据点 E 是斜边 AC 的中点，得到 ∠ECD=∠EDC ，由∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°得∠EDC+∠ODC=∠ODE=90° ，从而证得直线 DE与 ⊙O 的切线；
（2）由（1）已证∠ODF=90°，根据∠B=30°，可得∠DOF=60°，得到∠F=30°，在 RtΔABC 中，可求得BC长，从而得到OD长，在 RtΔODF 中，可求得DF长，所以阴影部分面积=△ODF的面积-扇形OCD的面积 .
【解析】
（1）证明：连接OD，CD．
∵，∴．
又∵BC是的直径，
∴，
∴是直角三角形．
又∵E是AC的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴直线DE是的切线．

（2）由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质及解直角三角形等知识. 正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
14．如图，AB是的直径，弦于点E，G是上的点，AG，DC的延长线交于点F．

（1）求证：；
（2）若，，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
(1)根据垂径定理,证明，根据圆内接四边形的性质，证明，等量代换即可得证；
(2)以半径为基础，表示EO，在直角三角形DOE中，实施勾股定理即可.
【解析】
（1）证明：∵，∴
∴．
∵四边形ADCG是的内接四边形，
∴，
∴．
（2）如图，连接OD．

∵，，
∴．
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，勾股定理和方程思想，熟练掌握定理和性质，灵活运用方程的思想是解题的关键.
15．如图，⊙O的直径，，，是线段的中点．

（1）试判断点与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点作，垂足为点，求证：直线是⊙O的切线．
【答案】（1）点在⊙O上，理由见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）要求D与⊙O的位置关系，需先求OD的长，再与其半径相比较；若大于半径则在圆外，等于半径在圆上，小于半径则在圆内；
（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．
【解析】
解：（1）点在上；
连接，过点作于点，如图：

在中，，，
，
，
．
在中，
，
点在上．
（2）是的中点，是的中点，
是的中位线
．

又，

又是的半径，
是的切线．
【点睛】
此题主要考查了点与圆的位置关系，切线的判定，三角形的中位线，以及勾股定理，解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线．
16．如图，在中，，，，以为直径的半圆交斜边于点．
（1）证明：；
（2）求阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；
（2）利用“阴影部分的面积＝S扇形COD−S△COD”求解即可．
【解析】
解：（1）∵在中，，，
∴，，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】
本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质，解题的关键是学会分割法求面积．
17．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，，点C在线段AB上，，，求⊙O的半径．

【答案】
【分析】
连接AO，MN与AB相交于点D；结合题意，计算得AB的值，再根据垂径定理，得AD及CD，通过勾股定理计算，得OD以及AO，从而得到答案．
【解析】
如图，连接AO，MN与AB相交于点D

∵，
∴
∵MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，
∴，
∴
∴
∴，即⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、垂径定理、勾股定理的性质，从而完成求解．
18．已知，点A，B，C在上，，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在如图①中画出一个含角的直角三角形；
（2）点D在弦上，在如图②中画出一个含的直角三角形．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】
（1）作直径AD，连接AB、BD即可得；
（2）延长CD交⊙O于点F，作直径AE，连接AF、EF即可得．
【解析】
解：（1）如图1，△ABD即为所求；

（2）如图2，△AEF即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
19．（1）解方程：；
（2）已知：如图，的直径与弦（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，设的半径为r，求的长．

【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）先去括号，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案；
（2）连接OC，由垂径定理的推论，得到，然后利用勾股定理，求出半径，然后求出AC的长度．
【解析】
（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：连接，如图：

∵是直径，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴由勾股定理得
．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行解题．
20．如图，内接于，且为的直径，过点作的切线交的延长线于点，点在直径上，且，连接并延长交于点.连接，，试判断与的数量关系，并说明理由．

【答案】AF=BF，理由见解析．
【分析】
连接，，可得，再根据，可得，然后得出，可得出OF是AB垂直平分线即可得出结论．
【解析】
解：．理由如下：

如图，连接，．
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
∴OF垂直平分AB
．
【点睛】
本题考查了圆的切线相关性质,等腰三角形的性质,垂直平分线等,解题的关键是认清图形,抽象出各几何图形的特殊位置关系.
21．如图，在⊙中，直径与弦垂直，垂足为，连接，将△沿翻折得到△，直线与直线相交于点．
（1）证明：直线与⊙相切；
（2）若，求证：四边形是菱形．


【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接OC，由折叠的性质证明∥，则，由切线的判定定理即可证明结论；
（2）连接OC，CB，OD，BD，由垂径定理得，再由直角三角形斜边上中线的性质得，由四边相等的四边形是菱形证明结论．
【解析】
解：（1）如图，连接，


∵，
∴，
∵，
∴，
由翻折得，，，
∴，
∴∥，
∴，即垂直直线，
∵点在圆上，
∴直线与⊙相切；
（2）如图，连接OC，CB，OD，BD，


在△中，，
∴，
∵直径垂直弦，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查圆的证明，解题的关键是掌握切线的判定定理，菱形的判定定理．
22．在中，，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．

（1）如图①，连接EC，试写出BC，CD，CE之间的数量关系式______；
（2）如图②，连接DE，求证：．
（3）如图③，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，，若，，求CD的长．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）证明△BAD≌△CAE（SAS）即可解决问题；
（2）由，推出BD=CE，∠ACE=∠B，可得∠DCE=90°，利用勾股定理即可解决问题．
（3）过C作交CA的延长线于E，可证明，再证明得，进一步即可求得结论．
【解析】
解：（1）
理由如下：如图①中，

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=EC+CD，
即：BC=DC+EC；
（2）连接CE，

由（1）可得
∴，，
∴
∴
在中，，
又．
∴．
（3）如图③，过D作交CA的延长线于E

∵，
∴
∴，
∴
连接AD，BD
∵AB为⊙O的直径，
∴（直径所对的圆周角是直角），
又∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．如图，在中，，点是上一动点，以点为圆心，长为半径作交线段于点，连结并延长交于点．

（1）求的长．
（2）当为何值时，是等腰三角形？
（3）求取到最大值时的长．
【答案】（1）；（2）当或或时，△ABD是等腰三角形；（3）当时，取到最大值时的长为．
【分析】
(1)利用正弦函数的定义求解即可；
(2)分AB=AD，AB=BD，AD=BD三种情形，求AC的长即可；
(3)用圆的半径表示乘积，构造二次函数求解即可.
【解析】
（1），


.
（2），
，
①当时，如图1，
，
，
．

②当时，如图2．

过作，
∵AD=BD，∠BAO=90°，
∴BF=AF，DF∥OA，
为的中点，
，
，
．
③当时，如图3．
过作，
设，则，
由勾股定理得 ，
解得或．
（舍去）或，
．

综上所述，或或．
（3）分别过点作的垂线段，垂足为，如图4．
，
，
，
，
，
，
即，
，．
设半径为，
，
．
又，在范围内，
∴当时，取得最大值，此时，．
取到最大值时的长为．

【点睛】
本题考查了等腰三角形，勾股定理，三角形中位线定理，二次函数，灵活进行等腰三角形的分类，构造辅助线构造二次函数是解题的关键.
24．如图，内接于，直径的长为4，过点的切线交的延长线于点．

（1）求证：．
（2）请你添加一个条件，编制一道计算题（不可以添线和字母）．
【答案】（1）见解析；（2）添加：，求的度数？（答案不唯一）．
【分析】
（1）连结，利用圆周角性质及切线的性质定理可得∠ACO＝∠DBC，继而由等边对等角和等角代换即可求证结论；
（2）添加：，求的度数，根据三角形内角和定理即可求解．
【解析】
（1）证明：连结，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠OCB＝90°，
与相切．
∴∠OCD＝90°，
∴∠DCB＋∠OCB＝90°，
．
，
，
．

（2）添加：，求的度数？
由（1）知：∠ACB＝90°，
在△ABC中，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠ACB＝180°－30°－90°＝60°．
【点睛】
本题考查切线性质、圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的切线垂直经过切点的半径及直径所对的圆周角是直角．
25．如图，AB是⊙O的直径，弦于点C，点D是AB延长线上一点，，．

（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为4，求MF的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OE，OF，由垂径定理和圆周角定理得到∠DOF=∠DOE．而∠DOE=2∠A，得出∠DOF=2∠A，证出∠OFD=90°．即可得出结论；
（2）连接OM，MF，由垂径定理和勾股定理进行计算即可．
【解析】
（1）如图，连接OE，OF，

∵，AB是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴
∴，且EF为弦，
∴FD为⊙O的切线
（2）如图，连接OM，MF，

∵O是AB中点，M是BE中点，
∴．
∴．
∵OM过圆心，M是BE中点，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、垂径定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
26．如图，的直径，，为上一点，过点作，垂足为，且为的切线．
（1）求证：平分．
（2）求的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）S△PAD．
【分析】
（1）连结OD， 由PD是圆O的切线，可得OD⊥PD，由PD⊥AC，可得OD∥AC，利用两直线平行内错角相等∠ODA=∠DAP，由半径OA=OD可得∠ODA=∠OAD，利用等量代换∠DAP=∠DAO即可；
（2）连结BC，延长DO交BC于F，过A作AE⊥OD于E，由AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，由勾股定理BC=，可证四边形DPCF为矩形，由性质OF⊥BC，可得BF=CF，可求PD=4，再证四边形DPAE也是矩形，利用性质可得DE=PA ,AE=DP=4，由AO=OB，利用勾股定理OE=，PA=DE=2，利用面积公式即可求出面积．
【解析】
解：（1）连结OD，
∵PD是圆O的切线，
∴OD⊥PD，
∵PD⊥AC，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAP，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠DAP=∠DAO，
∴AD平分∠BAP；
（2）连结BC，延长DO交BC于F，过A作AE⊥OD于E，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴在Rt△ACB中，
由勾股定理BC=，
∵∠FDP=∠DPC=∠PCF=90°，
∴四边形DPCF为矩形，
∴OF⊥BC，
∴BF=CF=，
∴PD=4，
∵AE⊥OD，
∴∠EDP=∠DPA=∠DEA=90°，
∴四边形DPAE也是矩形，
∴DE=PA ,AE=DP=4，
∵AO=OB=，
在Rt△OEA中，
由勾股定理OE=，
∴DE=OD-OE=5-3=2，
∴PA=DE=2，
∴S△PAD=．

【点睛】
本题考查圆的切线性质，等腰三角形性质，角平分线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握圆的切线性质，等腰三角形性质，角平分线的判定，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．
27．如图，已知的直径，弦，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在Rt△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
【解析】
证明：（1）如解图，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）如解图，过点作于点，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∴，．
∴．
∴在中，
．

【点睛】
本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．
28．如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】
取中点，联结并延长与⊙交于，利用圆心角、弧、弦之间的关系得到，再根据及垂径定理求解即可；
【解析】
证明：取中点，联结并延长与⊙交于．
∵是圆心，且是弦的中点，
∴，，
∵且，
∴．
∵，平分，
∴．
∴平分．
∴．
又∵过圆心，
∴．
∴， 即．

【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理，准确分析证明是解题的关键．
29．如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC＝CO，点B在⊙O上，且∠CAB＝30°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）点D为圆O上任一动点，⊙O的半径为6，若四边形ADCB为矩形．求弧CD的长，

【答案】（1）见解析；（2）cm．
【分析】
（1）连接OB、BC，易证△OBC是等边三角形，根据BC＝CO＝CP，可得∠CBP=30°，∠PBO＝90°；
（2）根据四边形ADCB为矩形，可求∠COD=120°，再利用公式求弧长．
【解析】
（1）证明：如图连接OB、BC．

∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形
∴BC＝OC，∠OBC=∠OCB=60°，
∵PC＝CO，
∴PC=BC，
∠CPB=∠CBP=30°，
∴∠PBO＝∠CBP +∠OBC =90°，
∴OB⊥PB
∴PB是⊙O的切线
（2）解：∵四边形ABCD为矩形

∴∠BAD＝∠ADC=90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴AC、BD交点是圆心O，
由（1）可知∠BOC=60°，
∴∠COD＝120°
弧CD的长＝．
【点睛】
本题考查了切线的判定和弧长的求法，涉及了矩形的性质和圆周角的性质，解题关键是利用圆周角的性质求出相关角的度数，依据切线的判定和弧长公式进行证明和求解．
30．如图，与的边相切于点，与边交于点，过上一点，且，是的直径．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）6．
【分析】
（1）连接，由圆的半径相等，可证，再根据平行线的性质得到，，继而得到，接着根据题意，由切线的性质解得，进一步证明，再由全等三角形对应角相等得到，最后根据切线的判定定理解题即可；
（2）由切线的性质得到，在中，利用勾股定理解得的长，继而解得的长，由切线长定理得到，在中，由勾股定理解得的长即可解题．
【解析】
（1）证明：连接，

，
，
，
，，
，
是切线，
，
在和中

，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：是的切线，，
，
，
，
，
，
，
，是的切线，
，设，
在中，，
，
解得：，
．