考点22-2 方位角-2022年中考数学专项分类提分训练（天津专用）

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考点22—2 方位角
1．如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈2.45）

【答案】小岛A与小岛B之间的距离是100km．
【分析】
先过点C作CP⊥AB于P，根据已知条件求出∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，再根据轮船的速度和航行的时间求出BC的值，在Rt△PCB中，根据勾股定理求出BP=CP的值，再根据特殊角的三角函数值求出AP的值，最后根据AB=AP+PB，即可求出答案．
【解析】
解：过点C作CP⊥AB于P，
∵∠BCF=45°，∠ACE=60°，AB∥EF，
∴∠PCB=∠PBC=45°，∠CAP=60°，
∵轮船的速度是45km/h，轮船航行2小时，
∴BC=90，
∵BC2=BP2+CP2，
∴BP=CP=45，
∵∠CAP=60°，
∴tan60°=，
∴AP=15，
∴AB=AP+PB=15+45=15×2.45+45×1.41≈100（km）．
答：小岛A与小岛B之间的距离是100km．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题．

2．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏东方向上.同时，在它的北偏东、西北（西偏北）方向上又分别发现了客轮和海岛.

（1）仿照表示灯塔方位的方法，分别画出客轮和海岛方向的射线；
（2）另一货轮在平面内所组成的与互为补角，请画出货轮方向的射线并写出所在的方位角.
【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，南偏西（西偏南）或北偏东（东偏北）
【分析】
（1）根据方向角的度数，可得答案；
（2）根据方向角的度数，求出∠BOE的度数即可得货轮的方位角.
【解析】
（1）如图所示，

（2）如图所示，有两种情形：
情形（一）：点B、O、D在同一条直线上
∵客轮的方位角是北偏东，
∴∠BOE=90°-60°=30°，
∴货轮D的方位角是西偏南（或南偏西）.
情形（二）：点B、O、D不在同一条直线上
∵灯塔在它的南偏东方向上，
∴∠AOE=40°，
∵∠BOE=30°，
∴∠AOB=∠AOE+∠BOE=70°,
∵与互为补角，
∴=110°
∴∠BOD2=110°-70°=40°，
∴∠FOD2=90°-40°-30°=20°,
∴货轮D的方位角是北偏东（或东偏北）
故答案为：南偏西（西偏南）或北偏东（东偏北）
【点睛】
本题考查了应用与设计作图，方位角，利用余角的关系得出∠BOE的度数是解题关键.
3．B，D两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100km，某时发生的地震对地面上以点A为圆心，30km为半径的圆形区域内的建筑物有影响，分别从B，D两地处测得点A的方位角如图所示，高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．（结果精确到0.1km，参考数据：）

【答案】不受影响，理由见解析．
【分析】
过点A作AC⊥BD于点C，然后根据特殊角三角函数即可求出AC，进而进行比较即可判断．
【解析】
解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
根据题意可知：∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，BD=100km，
∴∠BAC＝45°，
∴BC＝AC，
在Rt△ACD中，tan∠ADC ，
∴，
∵BD＝BC＋CD，
∴AC＋AC＝100，
解得AC＝50（﹣1）≈36.6＞30，
∴高速铁路不会受到地震的影响．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法．
4．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）

【答案】19
【分析】
由四边形ABDE是矩形，得到DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度．
【解析】
依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=1.5，在Rt△BCD中，sin∠CBD=，又∵BC=20，∠CBD=60°，∴CD=BC•sin60°==，∴CE=+1.5≈19米，答：此时风筝离地面的高度约为19米．
【点睛】
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
5．如图，小红想测量离A处30m的大树的高度，她站在A处仰望树顶B，仰角为30°（即∠BDE＝30°），已知小红身高1.52m．求大树的高度．

【答案】18.84m
【分析】
在直角△BDE中，根据DE和∠BDE的三角函数值可以求得BE的长度，根据BE和EC的值计算BC的长度，即可解题．
【解析】
解：根据题意可知：四边形ADEC为矩形，
∴ED＝CA＝30m，EC＝AD＝1.52m，
在直角△BDE中，∠BDE＝30°，
根据锐角三角函数定义得：tan∠BDE＝tan30°＝＝，
∴BE＝DE•＝10m，
∴BC＝BE+EC＝（10+1.52）m≈18.84m．
答：大树的高度约为18.84m．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中的运用，求出线段BE的长度是解题的关键．
6．小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？

【答案】56m
【解析】
试题分析：首先根据Rt△ADB中tanα的值以及AD的长度求出BD的长度，然后根据Rt△ADC中tanβ以及AD的长度求出CD的长度，最后根据BC=BD+CD进行求解.
试题解析：如图,在Rt△ADB中∵=30° AD="42m" ∴
∴∴BD=m
在Rt△ADC中∵=60°，AD=42m ∴∴∴CD=m
∴BC=BD+CD=+=m
答：这栋楼有56m.
考点：三角函数的实际应用

7．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）

【答案】无触礁危险
【解析】
【分析】
判断渔船有无危险只要求出点A到BC的距离，与8海里比较大小就可以．
【解析】
若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：
如图，过点A作AD⊥BC于点D．
由题意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．
设AD=x．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD=AD=x．
在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CDADx．
∵BD+DC=30，∴xx=30，解得：x=15（1），15（1）≈10.5＞8．
即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．
8．如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C（灯塔B距离A处较近），两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里/时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险？

【答案】这条船不改变方向会有触礁危险
【解析】
试题分析：由渔船的行程图可看出：AB=AD÷cos∠BAD，AD=速度×时间，可求出AB的长；BC已知，AC的长也可计算出，CE=AC×sin∠BAD，从而求出CE的长；将CE与18.6作比较，若CE＜18.6，则会触礁；若CE＞18.6，则不会触礁．
试题解析：渔船的行程图如图所示：

1小时45分=小时=小时，
在Rt△ABD中，
AD=16×=28（海里），
∠BAD=90°﹣65°45′=24°15′，
∵cos24°15′=，
∴AB=≈30.71（海里），
AC=AB+BC=30.71+12=42.71（海里）
在Rt△ACE中，
sin24°15′=，
∴CE=AC•sin24°15′=42.71×0.4107=17.54（海里），
∵17.54＜18.6，
∴这条船不改变方向会有触礁危险．
9．如图，某办公楼AB的右边有一建筑物CD，在建设物CD离地面2米高的点E处观测办公楼顶A点，测得的仰角=，在离建设物CD 25米远的F点观测办公楼顶A点，测得的仰角=（B，F，C在一条直线上）．
（1）求办公楼AB的高度；
（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：）

【答案】（1）办公楼的高20m；（2）A、E之间的距离约为48m
【分析】
（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可
【解析】
（1）如图，设AB为x．
中，，
∴，
∴，在中，，
，，
则，
解得：．即办公楼的高20m．
（2）由（1）可得．
在中，．
∴，
即A、E之间的距离约为48m．

【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出是解题关键
10．如图，在海岸边相距12km的两个观测站A、B，同时观测到一货船C的方位角分别为北偏东54°和北偏西45°，该货船向正北航行，与此同时A观测站处派出一快艇以70km/h的速度沿北偏东30°方向追赶货船送上一批货物，正好在D处追上货船，求快艇追赶的时间．
（参考数据：sin54°≈0．8，cos54°≈0．6，tan54°≈1．4）

【答案】0．2小时．
【解析】
试题分析：延长DC交AB于E，那么DE⊥AB，CE为直角△ACE和△CEB的公共直角边，可用CE表示出AE和EB，然后根据AB的长来求出CE的长，进而求得AE的长，那么就能在直角△ADE中，根据三角函数求出AD的长，即可求出时间．
试题解析：延长DC交AB于E，那么DE⊥AB．

在Rt△ACE中，∠ACE=54°．
∴AE=CE•tan54°=1．4CE．
∵在Rt△CEB中，∠CBE=45°，
∴BE=CE．
∴AB=AE+BE=2．4CE=12．
∴CE=5．
∴AE=7．
直角三角形ADE中，∠ADE=30°，
∴AD=AE÷sin30°=2AE=14．
因此快艇追赶的时间应该是14÷70=0．2小时．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
11．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号)

【答案】（30+10）米
【解析】
【分析】
如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=列出方程即可解决问题．
【解析】
解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，

设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK-AB=x-30，
∴HD=x-30+10=x-20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°=，
∴
解得x=30+10．
∴河的宽度为（30+10）米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型．
12．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，， .）

【答案】从A地跑到D地的路程约为47km．
【解析】
试题分析：求出∠DCA的度数，再判断出BC=CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．
试题解析：由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形．
过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：
由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°，
∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m，
∴AB=≈7m，
∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．
答：从A地跑到D地的路程约为47m．

考点：解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题．
13．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：）

【答案】
【分析】
过点A作于点D，根据仰角和俯角的定义得到和的度数，利用特殊角的正切值求出BD和CD的长，加起来得到BC的长．
【解析】
解：如图，过点A作于点D，
根据题意，，，，
，
，
．

【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握利用特殊角的三角形函数值解直角三角形的方法．
14．我市准备在相距千米的，两工厂间修一条笔直的公路，但在地北偏东方向、地北偏西方向的处，有一个半径为千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：，）

【答案】修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁
【分析】
过点P作PO⊥MN于O点，则PO是点P到MN的距离，根据Rt△MPO和Rt△NPO中的三角函数关系求出PO的长，与0.6千米比较即可.
【解析】
如图：过点P作PO⊥MN于O点，设PO=x，
在Rt△MPO中，∵∠PMO=45°，
∴MO=PO=x，
在Rt△PON中，∵∠PNO=30°，
∴tan30°= = = ，
解方程得:x=-10.73（千米）>0.6千米，
∴修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁.

【点睛】
考查了解直角三角形的应用-方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，构建直角三角形并利用三角函数值求解是解题关键.
15．如图，塔AB和楼CD的水平距离BD为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高.

【答案】塔高m，楼高()m
【解析】
试题分析：过点C作CE⊥AB于点E，在直角三角形ABD根据三角函数就可以求出AB，BD即EC，与直角△AEC中中根据三角函数可以求出AE，进而就可以求出CD．
过点C作CE⊥AB于点E，

在直角△ACE中，∠ACE=45°，因而直角△AEC是等腰直角三角形，
因而AE=CE=80m；
在直角△ADB中，EC=BD=80米，∠ADB=60度，
则AB=BD•tan60°=m，CD=BE=()m
答：塔高m，楼高()m.
考点：解直角三角形的应用
点评：解决本题中要正确理解方向角的含义，找到图形中的两个直角三角形的联系是关键．
16．如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC＝10米，又测得∠BDA＝45°．已知斜坡CD的坡度为i＝1：，求旗杆AB的高度（，结果精确到个位）．

【答案】旗杆AB的高度约为16米．
【解析】
【分析】
延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．构建直角△DEF和直角△CDF．通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度即可．
【解析】
解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．
∵i＝tan∠DCF＝，
∴∠DCF＝30°．
又∵∠DAC＝15°，
∴∠ADC＝15°．
∴CD＝AC＝10．
在Rt△DCF中，DF＝CD•sin30°＝10×＝5（米），
CF＝CD•cos30°＝10×，∠CDF＝60°．
∴∠BDF＝45°+15°+60°＝120°，
∴∠E＝120°﹣90°＝30°，
在Rt△DFE中，EF＝，
∴AE＝10++＝+10．
在Rt△BAE中，BA＝AE•tanE＝（+10）×＝10+≈16（米）．
答：旗杆AB的高度约为16米．

【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
17．如图，某货船以24n mile/h的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东的方向上，该货船航行30min后到达B处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在岛C周围9n mile的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.

【答案】若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AD于点D，分别在Rt△CBD、Rt△CAD中用式子表示CD、AD，再根据已知条件结合三角函数求得BD、CD的长，从而再将CD于9比较，若大于9则无危险，否则有危险．
【解析】
解：若继续向北正东方向航行，该货船无触礁危险，理由如下：
如图过点C作于点D．

依题意，知（n mile），
，.
在中，，
∴．
在中，，
∴.
又∵，
∴，解得.
∵，
∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是掌握解直角三角形的应用-方向角问题和三角函数的计算.
18．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

【答案】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米
【分析】
（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．
【解析】
解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米，
∴CD=BC•sin30°=80×（千米），
AC=（千米），
AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；
（2）∵cos30°=，BC=80（千米），
∴BD=BC•cos30°=80×（千米），
∵tan45°=，CD=40（千米），
∴AD=（千米），
∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
19．学校要在教学楼侧面悬挂中考励志的标语牌，如图所示，为了使标语牌醒目，计划设计标语牌的宽度为BC，为了测量BC，在距教学楼20米的升旗台P处利用测角仪测得教学楼AB的顶端点B的仰角为，点C的仰角为，求标语牌BC的宽度（结果保留根号）


【答案】BC=
【分析】
根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
【解析】
解：由题意知，PD=20，，
在中，，
则，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东30°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B和海岛C．

（1）仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线OB、OC（不写作法）；
（2）若图中有一艘渔船D，且∠AOD的补角是它的余角的3倍，求出∠AOD的度数；
（3）画出表示渔船D方向的射线OD，则渔船D在货轮O的　 （写出方位角）
【答案】（1）如图1，见解析；（2）∠AOD＝45°；（3）D在O南偏东15°或北偏东75°．
【分析】
（1）根据方位角的度数，即可画出图形；
（2）根据余角与补角的关系，即可得到∠AOD的度数；
（3）根据∠AOD的度数对D点进行判断，注意D点有两种情况.
【解析】
（1）如图1：

（2）如图2：

由∠AOD的补角是它的余角的3倍，得
180°﹣∠AOD＝3（90°﹣∠AOD）．
解得∠AOD＝45°；
（3）∵∠AOD＝45°，
∴D在O南偏东15°或北偏东75°．
故答案为：D在O南偏东15°或北偏东75°．
【点睛】
本题考查方位角以及余角补角的计算，解题关键在于熟悉方位角定义.
21．如图1，货轮停靠在O点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45°或北偏东45°）方向上．货轮B在码头O的西北方向上．
（1）仿照表示灯塔方位的方法，画出表示货轮B方向的射线；（保留作图痕迹，不写做法）
（2）如图2，两艘货轮从码头O出发，货轮C向东偏北的OC的方向行驶，货轮D向北偏西的OD方向航行，求∠COD的度数；

（3）令有两艘货轮从码头O出发，货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶，货轮F向北偏西x°的OF方向航行，请直接用等式表示与之间所具有的数量是 ．
【答案】（1）画图见解析；（2）∠COD =90°；（3）．
【分析】
(1)根据方向角西北方向上的度数，可得图；
(2)根据余角的关系，可得∠COD的度数；
(3)根据角的和差， ；
【解析】
（1）

射线OB的方向就是西北方向，即货轮B所在的方向．
（2）解：由已知可知，∠MOQ=90°，∠COQ=．
所以，∠MOC=∠MOQ-∠COQ =．
又因为∠DOM=，
所以，∠COD =∠MOC+∠DOM =90°．
（3）因为∠FOQ =∠FOM+∠MOQ =90°+x°，∠MOE=∠MOQ-∠QOE =90°-x°
所以．
【点睛】
本题考查了作图-应用与设计作图,方向角,利用余角与角的和差的关系得出角的度数是解题关键．
22．如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点处测得小岛在北偏东方向，之后轮船继续向正东方向行驶到达处，这时小岛在船的北偏东方向海里处．

（1）求轮船从处到处的航速．
（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？
【答案】（1）海里/小时．（2）小时．
【分析】
（1）过作，利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求得AB的长，再根据速度=路程÷时间解答即可；
（2）如图，根据题意可判断△OCD为等腰直角三角形，则CD=OC，进而可得BD的长，再由时间=路程除速度求解即可．
【解析】
（1）过作，

由题意得海里，，，
（海里），
（海里），
（海里），
（海里），
速度：（海里/小时）．
（2）如图，

由题意，，点在的东南方向，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴（海里），
（海里），
（小时），
经过小时后到达．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解直角三角形是解答的关键．
23．如图，已知港口A南偏东 80°方向有一处小岛B，一艘货轮从港口A沿南偏东40°航线出发，行驶70海里到达C处，此时观测小岛B在北偏东60°方向．

（1）求此时货轮到小岛 B的距离．
（2）在小岛周围 36 海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．
【答案】（1）海里；（2）轮船向正东方向航行有触礁危险，理由见解析．
【分析】
（1）先根据题意求出∠BAC=40°，∠ACB=100°，据此得∠ABC=∠ACB=40°，从而得出AC=BC，从而可得答案；
（2）作BD⊥CD于点D，由∠BCD=30°，BC=70，可得：，从而可得答案．
【解析】
解：（1）如图，标注字母，
由题意知：

，，
∴，
∴∠ABC=∠BAC，
∴BC=AC=70海里，
即此时货轮到小岛B的距离为70海里；

（2）如图，作BD⊥CD于点D，

在中，
∵ BC=70，
，
∵35＜36，
∴轮船向正东方向航行有触礁危险．
【点睛】
本题是方向角问题在实际生活中的运用，同时考查了等腰三角形的判定，含的直角三角形的性质，解题的关键是构造出直角三角形．
24．如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．
(1)求∠BAD的度数；
(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

【答案】(1)30°；(2)没有触礁的危险．
【解析】
【分析】
(1)过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD
(2)根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出AC即可．
【解析】
解：(1)∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°．
(2)过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离．
∵∠ABD＝90°﹣60°＝30°．
∴∠ABD＝∠BAD．
∴BD＝AD＝12海里．
∵Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴AC＝AD•cos∠CAD＝≈10.392＞8，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
【点睛】
考查解直角三角形的应用-方向角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
25．一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东30º，20分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东60º，已知灯塔C周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁．（提供数据：≈1.414，≈1.732）

【答案】这艘轮船继续航行能绕过暗礁
【分析】
过C作CD⊥AD于点D，设BD长为x，根据已知在Rt△CBD中用式子表示CD，BC，从而求得CD的长，再利用CD长度与7.1作比较，若大于7.1则没有危险，否则有危险．
【解析】
解：过C点作CD⊥AD于点D．20分钟=小时
设，则在Rt△BCD中，∠CBD=60°
∴CD=BDtan∠CBD=，BC=2BD=．
而AB=30×=10海里，且∠A=∠ACB=30°
∴BC=AB=10海里，即
∴x=5海里
故CD=≈8.66海里>7.1海里
∴这艘轮船继续航行能绕过暗礁．

【点睛】
本题考查了方向角的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
26．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两岛相距102海里，问乙船的航速是多少？

【答案】30（海里/时）
【分析】
通过两船的航线角度可知，∠CAB=90°，则三角形ABC为直角三角形，可以通过勾股定理计算出AB的长度，然后求乙船的速度.
【解析】
通过两船的航线角度可知，∠CAB=90°，则三角形ABC为直角三角形
又AC为甲船航行的路程，则AC=16×3=48
由可知：
AB=
所以乙船的航速为90÷3=30（海里/时）
故答案为30（海里/时）
【点睛】
本题考察了方位角的判断，构造出直角三角形，运用勾股定理解题，需要清楚的是勾股定理是指，直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方.
27．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．

【答案】渔船此时与C岛之间的距离为50海里．
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：

∠BCD=30°，设BC=x，则：
在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°=x，CD=BC•cos30°=x；
∴AD=30+x，
∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，
解得：x=50（负值舍去），
【点睛】
注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．
28．如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛P周围18海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？

【答案】轮船继续向前航行，有触礁的危险
【分析】
过点作于，利用三角形外角，可求出∠P，利用角的度数判断三角形PAB为等腰三角形，早上8：00，到上午10：00，共用2小时，轮船以速度15海里/小时，求出AB=PB的长，在Rt△PBD中，由30゜所对的边PD=PB即可．
【解析】
解：过点作于，依题意得（海里），
，，则，
∴∴（海里）．

在Rt △PBD中，由∠PBD=30゜，
∴（海里）（海里），
∴轮船继续向前航行，有触礁的危险．
【点睛】
本题考查行船遇暗礁问题，关键是把问题转化为三角形的性质来解决，掌握等腰三角形性质与判定，直角三角形30゜角的性质，路程=速度╳时间，时间的求法．
29．如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），2小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向．求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）．

【答案】此时船与小岛的距离约为44海里
【分析】
过P作PH⊥AB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解
【解析】
如图，过P作PH⊥AB，设PH=x，
由题意，AB=60，∠PBH=30º，∠PAH=45º，
在Rt△PHA中，AH=PH=x,
在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，
∴tan30º=，
即，
解得：，
∴PB=2x=≈44（海里），
答：此时船与小岛的距离约为44海里．

【点睛】
本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．
30．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时40海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北2海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．
（1）求CD两点的距离；
（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．（参考数据：，，，）

【答案】（1）；（2）0.08
【分析】
（1）过点、分别作，，垂足分别为，，根据直角三角形的性质得出，再根据三角函数的定义即可得出的长；
（2）如图，设渔政船调整方向后小时能与捕渔船相会合，由题意知，，，过点作于点，根据三角函数表示出，在中，根据正弦的定义求值即可．
【解析】
解：（1）过点、分别作，，垂足分别为，，

在中，，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
，
（海里）．
答：两点的距离是；
（2）如图，设渔政船调整方向后小时能与捕渔船相会合，
由题意知，，，
过点作于点，则，
，
，
在中，．
答：．