考点25-3 二次函数综合-2022年中考数学专项分类提分训练（天津专用）

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考点25—3 二次函数综合
1．如图，在平面直角坐标系中，直线轴，且直线与抛物线和轴分别交于点，，，点为抛物线的顶点．若点的坐标为，点的横坐标为1．
（1）线段的长度等于______；
（2）点为线段上方抛物线上的一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；
（3）在（2）的条件下，删除抛物线在直线左侧部分图象并将右侧部分图象沿直线翻折，与抛物线在直线右侧部分图象组成新的函数的图象．现有平行于的直线：，若直线与函数的图象有且只有2个交点，求的取值范围（请直接写出的取值范围，无需解答过程）．


【答案】（1）2，（2），（3）
【分析】
（1）先求抛物线的对称轴，由于已知点的坐标，再利用对称性可求点坐标；从而得的长度；
（2）先根据和坐标得出的解析式，然后设与其平行的直线为，过点作的垂线，可求得和，从而得解；
（3）可根据顶点位置的变动，得出抛物线右侧部分图象沿直线翻折后抛物线的解析式；由（2）直线解析式，平行于的直线，其值可求；令与翻折后抛物线相切，可求得的临界值，结合图象可得最后答案．
【解析】
解：（1）抛物线的对称轴为直线．
点的横坐标为1．代入得：，
，由抛物线的对称性得：点的坐标为．
．
故答案为：2．
（2），，
直线解析式为，作，且与抛物线相切，设的解析式为：．
根据该直线与抛物线相切，列一元二次方程，，即，
△，，
，
切点坐标为：，，

过点作的垂线，交于点，交轴于点，则，，
，．
，
．
的最小值为：．
（3）在（2）的条件下，平行于的直线，若直线与函数的图象有且只有2个交点，
，，
，，
抛物线的顶点为，点为，点为，，
抛物线右侧部分图象沿直线翻折后抛物线顶点为，其解析式为．
当直线与抛物线相切时，，
，△
；
时直线与函数的图象有且只有2个交点．
的取值范围为：．

【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的对称性，函数的最值，以及一次函数与二次函数的图象交点个数问题，综合性比较强，难度较大．
2．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．
（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

【答案】(1) y=﹣+x+3；(2) 有最大值,;(3) 存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）．
【解析】
试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，再利用待定系数法求直线BC的解析式为：y=﹣x+3，表示PD=﹣，证明△PFD∽△BOC，根据周长比等于对应边的比得：，代入得：L=﹣（m﹣2）2+，求L的最大值即可；
（3）如图3，当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，又知Q落在y轴上时，则CQ∥PD，由四边相等：CD=DP=PQ=QC，得四边形CDPQ是菱形，表示P（n，﹣ +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣n+3），利用勾股定理表示PD和CD的长并列式可得结论．
试题解析:
（1）由OC=3OA，有C（0，3），
将A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，得：
，
解得：，
故抛物线的解析式为：y=﹣+x+3；
（2）如图2，设P（m，﹣m2+m+3），△PFD的周长为L，
∵直线BC经过B（4，0），C（0，3），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则
解得：
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
则D（m，﹣），PD=﹣，
∵PE⊥x轴，PE∥OC，
∴∠BDE=∠BCO，
∵∠BDE=∠PDF，
∴∠PDF=∠BCO，
∵∠PFD=∠BOC=90°，
∴△PFD∽△BOC，
∴，
由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，
故△BOC的周长=12，
∴，
即L=﹣（m﹣2）2+，
∴当m=2时，L最大=；
（3）存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图3，
当点Q落在y轴上时，四边形CDPQ是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠PCQ=∠PCD，
当点Q落在y轴上时，CQ∥PD，
∴∠PCQ=∠CPD，
∴∠PCD=∠CPD，
∴CD=PD，
∴CD=DP=PQ=QC，
∴四边形CDPQ是菱形，
过D作DG⊥y轴于点G，
设P（n，﹣ +n+3），则D（n，﹣n+3），G（0，﹣），
在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=[（﹣n+3）﹣3]2+n2=，
而|PD|=|（﹣）﹣（﹣n+3）|=|﹣+3n|，
∵PD=CD，
∴﹣①，
﹣，
解方程①得：n=或0（不符合条件，舍去），
解方程②得：n=或0（不符合条件，舍去），
当n=时，P（，），如图3，

当n=时，P（，﹣），如图4，

综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（，）或（，﹣）．
点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．
3．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或或；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），
AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
解析：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5），
当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；
（2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM=AB=×4=2，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ=AM=2，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=PQ=×2=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，
当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，
综上所述，P点的横坐标为4或或；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣，
设直线EM1的解析式为y=﹣x+b，
把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，
∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣
解方程组得，则M1（，﹣）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3=
∴x=，
∴M2（，﹣）.
综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（， ），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.
【分析】
（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；
（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线解析式为y=-x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2=2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2=MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．
【解析】
（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），
把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵S△OBC=S△QBC，
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，

∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得：，
解得：或，即Q（2，3）；
②设G（1，2），∴PG=GH=2，
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，
联立得：，
解得：或，
∴Q2（，），Q3（，）；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，

如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形边长为MN=，
∴MN=9或．
【点睛】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
5．如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点.过点作轴，交抛物线于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；
（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为、，且，求的值.

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3）.
【分析】
（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线AD，BD的解析式，进而求出G，H的坐标，进而求出GH，即可得出结论；
（3）先求出四边形ADNM的面积，再求出直线y＝kx＋1与线段CD，AB的交点坐标，即可得出结论．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0或x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴直线AD的解析式为y=﹣3x﹣9，直线BD的解析式为y=x﹣1，
∵直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，
∴G（﹣m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣m﹣3）=m+4，
∴S矩形GEFH=﹣m（m+4）=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+3，
∴m=﹣，矩形GEFH的最大面积为3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S四边形ABCD=×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，
如图，设直线y=kx+1与线段AB相交于M，与线段CD相交于N，

∴M（﹣，0），N（﹣，﹣3），
∴AM=﹣+3，DN=﹣+2，
∴S1=（﹣+3﹣+2）×3=4，
∴k=
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线段的长是解本题的关键．
6．如图，抛物线经过点，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找出点P，使得以M，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形，并直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y=x2-x-2；（2）点P坐标为或或．
【分析】
（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）分3种情况：①如图1中，当四边形PCBM是平行四边形时；②如图2中，当四边形PMCB是平行四边形时；③当BC为对角线时．利用平移变换以及平行四边形的性质解决问题即可．
【解析】
解：（1）把代入抛物线中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2；
（2）∵y=x2-x-2＝(x-)2-，
∴对称轴是直线x=.
①如图1，当四边形是平行四边形时，，且，
∵点B向右平移个单位到点M横坐标位置，
∴由点C向右平移个单位到点P横坐标位置，
∵点,
∴，
当时，，
∴；

②如图2中，当四边形是平行四边形时，
∵点C向左平移2个单位到B横坐标，
∴点M向左平移2个单位到点P横坐标，
∴点P的横坐标为．
当时，，
∴；

③当为对角线时，
∵点M的横坐标为，
∴点P的横坐标为，
当时，，
∴．
综上所述，满足条件的点P坐标为或或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）分三种情形讨论求解．
7．如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A(-1，0)．
(1)求B，C两点的坐标．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
(4)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．

【答案】（1）B(4，0)，C(0，2)；（2）y=-x2+x+2；（3）存在，P1(，4)，P2()，P3(，-)；（4）当a=2时，S四边形CDBF的最大值=，此时E(2，1)．
【分析】
（1）分别令解析式y=-x+2中x=0，y=0，求出点B，点C的坐标；
（2）二次函数的解析式为，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a，b，c的值，进而求出二次函数的解析式；
（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于，以点D为圆心，CD为半径作圆交对称轴于，，作CE垂直对称轴于点E，由等腰三角形的性质和勾股定理就可以求出结论；
（4）设点E的坐标为，就可以表示出F的坐标，由求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【解析】
解：(1)在y=-x+2中，令x=0，可得y=2，令y=0，可得x=4，
即B(4，0)，C(0，2)．
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
将点A，B，C的坐标代入解析式，得
，
解得
即该二次函数的解析式为y=-x2+x+2．
(3)存在．∵y=-x2+x+2，
∴y=-(x-)2+，
∴抛物线的对称轴是直线x=，∴OD=．
∵C(0，2)，∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．
∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=DP2=DP3=CD．
如图①所示，作CH⊥对称轴于点H，∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1(，4)，P2()，P3(，-)．

(4)∵B(4，0)，C(0，2)，
∴直线BC的解析式为y=-x+2．
如图②，过点C作CM⊥EF于点M，

设E(a，-a+2)，F(a，-a2+a+2)，
∴EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4)．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN
=×(4-)×2+a(-a2+2a)+(4-a)( -a2+2a)
=-a2+4a+
=-(a-2)2+，
∴当a=2时，S四边形CDBF的最大值=，此时E(2，1)．
【点睛】
本题属于一次函数、二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法，等腰三角形的存在性，面积最值问题，等腰三角形的存在性问题能正确的进行分类并作图，利用等腰三角形的性质和勾股定理求出结论，本题中求面积最值问题的解题思路是：设点的坐标，表示相应的线段，表示出四边形CDBF的面积，再利用配方法求出最值即可．
8．已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点.
（1）如图1，若二次函数图象也经过点，试求出该二次函数解析式，并求出的值.
（2）如图2，点坐标为，点在内，若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小.

【答案】（1）,；（2）①当时，；②当时，；③当时，
【分析】
（1）根据一次函数表达式求出B点坐标，然后根据B点在抛物线上，求出b值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A点的坐标，最后代入一次函数求出m值.（2）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．
【解析】
（1）如图1，∵直线与轴交于点为，∴点坐标为
又∵在抛物线上，∴，解得
∴二次函数的表达式为
∴当时，得，
∴
代入得，，∴
（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点为，即点始终在直线上，
∵直线与直线交于点，与轴交于点，而直线表达式为
解方程组，得
∴点，
∵点在内，∴
当点关于抛物线对称轴（直线）对称时，，∴
且二次函数图象的开口向下，顶点在直线上
综上：①当时，；②当时，；③当时，.

【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.
9．如图，抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线图象x轴下方部分沿x轴向上翻折，保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象，得到的新图象与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．当以EF为直径的圆过点Q（2，1）时，求t的值；
（3）在抛物线上，当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤7，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）；（2）t的值为；（3）x的取值范围是或．
【解析】
【分析】
（1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A（-1，0）点，∴
，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函数解析式为：y=-（x-2）2+9=-x2+4x+5，（-1＜x＜5），新图象与直线y=t恒有四个交点，则0＜t＜9，由
解得：解得，，即可求解；
（3）分m、n在函数对称轴左侧、m、n在对称轴两侧、m、n在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．
【解析】
（1）抛物线的对称轴是x=2，且过点A(-1，0)点，∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：∵，∴x轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：=(-1＜x＜5)，其顶点为(2，9)．
∵新图象与直线y=t恒有四个交点，∴0＜t＜9．
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由得，
解得，
∵以EF为直径的圆过点Q(2，1)，∴，
即，解得．
又∵0＜t＜9，∴t的值为；

（3）x的取值范围是：或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，是否存在这样的点P，使得△ABP的面积为△ABC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P的坐标为（5，－5）；（4）或5．
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线的对称轴，利用对称性即可写出点C的坐标，利用三角形面积公式即可求面积；
（3）利用三角形的面积以及点P所处象限的特点即可求；
（4）分情况进行讨论，确定点M、N，然后三角形的面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
又C，B关于对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．
∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋×（m－1）×（3＋m2－4m）＝×3×3＋×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P的坐标为（5，－5）．
（4）或5．
提示：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝；
②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；
③当以C为直角顶点时，此种情况不存在．

【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形的判定等，能正确地根据题意确定图形，分情况进行讨论是解题的关键.
11．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式；（2）的最小值为；（3）点Q的坐标：、．
【分析】
（1）将点B的坐标为代入，，B的坐标为，将，代入，解得，，因此抛物线的解析式；
（2）设，则，，当时，有最大值为2，此时，作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．，此时最小；
（3）作轴于点H，连接、、、、，由，，可得，因为，，所以，可知外接圆的圆心为H，于是设，则，或，求得符合题意的点Q的坐标：、．
【解析】
解：（1）将点B的坐标为代入，
，
∴B的坐标为，
将，代入，

解得，，
∴抛物线的解析式；
（2）设，则，
，
∴当时，有最大值为2，
此时，
作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．

，此时最小，
∵，
∴，
，
即的最小值为；
（3）作轴于点H，连接、、、、，

∵抛物线的解析式，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
可知外接圆的圆心为H，

∴
设，
则，
或
∴符合题意的点Q的坐标：、．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．
12．如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．
①求抛物线的解析式．
②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．
③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【答案】①；②当时，△PBE的面积最大，最大值为；③点N的横坐标为：4或或．
【分析】
①点B、C在直线为上，则B（﹣n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，，因此抛物线解析式：；
②先求出点P到BC的高h为，于是，当时，△PBE的面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设，则、，易证△PQN为等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．
【解析】
解：①∵点B、C在直线为上，
∴B（﹣n，0）、C（0，n），
∵点A（1，0）在抛物线上，
∴，
∴，，
∴抛物线解析式：；
②由题意，得，
，，
由①知，，
∴点P到BC的高h为，
∴，
当时，△PBE的面积最大，最大值为；
③由①知，BC所在直线为：，
∴点A到直线BC的距离，
过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．
设，则、，
易证△PQN为等腰直角三角形，即，
∴，
Ⅰ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴；
Ⅱ．，
∴
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
Ⅲ．，
∴，
解得，，
∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，
，
∴，
综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，直线y＝-x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．

【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面积最大值为；此时D(﹣3，﹣)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).
【分析】
（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.
【解析】
解：(1)在y＝﹣x﹣3中，当y＝0时，x＝﹣6，
即点A的坐标为：(﹣6，0)，
将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣3；
(2)设点D的坐标为：(m，m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣m﹣3)，
设DE与AC的交点为点F.
∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，
∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC
＝DF•AE+•DF•OE
＝DF•OA
＝×(﹣m2﹣m)×6
＝﹣m2﹣m
＝﹣(m+3)2+，
∵a＝﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m＝﹣3时，S△ADC存在最大值，
又∵当m＝﹣3时，m2+m﹣3＝﹣，
∴存在点D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面积最大，最大值为；
(3)①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，
直线AD′的解析式为y＝x+9，
由，解得或，
此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，
综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)

【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣l，0），B（3，0）与y轴交于C（0，﹣）．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，连结PC、BC，若∠PCB＝∠OBC，求所有满足条件的点P坐标；
（3）如图2，作直线y＝4，与抛物线交于D、E，连结DC，动点Q在折线C﹣D﹣E上运动，过Q作QN∥y轴，过C作CN∥x轴，直线ON、CN交于点N，将△C沿CQ折得到△QCM，若点M落在x轴上，请直接写出所有符合条件的点Q坐标．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣（2）点P（5，4）或（2，﹣）（3）点Q（﹣，）或（，4）或.
【解析】
【分析】
（1）用二次函数交点式表达式可得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；
（2）分∠PCB=30°、∠P′CB=30°两种情况，分别求解即可；
（3）分点Q在线段CD上、点Q在线段DE上，两种情况，分别求解即可．
【解析】
（1）用二次函数交点式表达式可得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝﹣，解得：a＝，
故函数的表达式为： ①；
（2）tan∠OBC＝，∴∠OBC＝30°，
∠PCB＝∠OBC，则∠PCB＝30°或∠P′CB＝30°，

则CP′∥x轴，
①当∠PCB＝30°，直线PC的倾斜角为60°，
则直线PC的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：x＝0或5（舍去0），
则点P（5，4）；
②∠P′CB＝30°时，
同理可得：点P′（2，﹣）；
故点P（5，4）或（2，﹣）；
（3），
解得：x＝﹣3，
即点D（﹣3，4），而点C（0，﹣），
设直线CD的表达式为：y＝kx﹣，
将点D的坐标代入上式并解得：k＝﹣，
故：直线CD的表达式为：，
直线DE的表达式为：y＝4，
设点Q（m，﹣m﹣）或（m，4），
点M（n，0），则点N（m，﹣），
由题意得：QN＝QM，CN＝CM，
①当点Q在线段CD上时，
，
解得：m＝﹣，
故点Q（）；
②当点Q在线段DE上时，
同理可得：m＝，
故点Q（，4）或.
故点Q（﹣，）或（，4）或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，要注意弄清楚题意，分类求解，避免遗漏．
15．如图1，抛物线y＝x2﹣3与x轴交于AB两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接AC．点Q是线段AC上的动点，过Q作直线l∥x轴，直线1与∠BAC的平分线交于点M，与∠CAx的平分线交于点N．
（1）P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，当△PAC的面积最大时，求PQ+AM的最小值；
（2）如图2，连接MC，NC，当四边形AMCN为矩形时，将△AMN沿着直线AC平移得到△A'M'N'，边A'M'所在的直线与y轴交于D点，若△DM'N'为等腰三角形时，求OD的长．

【答案】（1）；（2） OD的长为2或6或.
【解析】
【分析】
（1）用割补法求得△PAC面积的表达式，获得点P的坐标，利用30°构造AM为斜边的直角三角形，转换AM的关系，可证点P到x轴的距离即为PQ+AM的最小值；
（2）当四边形AMCN为矩形时，根据矩形的性质点Q为AC与MN的中点，△AMN的三边长度固定，当△DM'N'为等腰三角形时，以D、M'、N'为顶点分三类进行讨论，以线段相等作方程，求得OD的长．
【解析】
解：（1）由已知可得
设P（m，m2﹣3）
S△PAC＝S△POC+S△AOP﹣S△AOC＝
当m＝时，△PAC的面积有最大值，此时点P坐标
如图，作AH⊥MN，

AH＝AM
AH长为点Q到x轴的距离
PQ+AM＝PQ+AH＝

（2）当四边形AMCN为矩形时，MN＝AC，点Q为AC与MN中点
有题意可知，直线AC的解析式l1为y＝x﹣3
过点M与AC平行的直线解析式l2为y＝x
过点N与AC平行的直线解析式l3为y＝x﹣6
直线AM的解析式l4为
设点N'（n， n﹣6），M'（n﹣2， n﹣6）
设直线A'M'的解析式为
将点M'代入可得
直线A'M'的解析式为
则


①当DM'＝DN'时，DM'2＝DN'2

解得n＝
OD＝2
②当DM'＝M'N'时，DM'2＝M'N'2

解得n＝0或3
OD＝6或0
③当DN'＝M'N'时，DN'2＝M'N'2

解得n＝±3
OD＝2
综上所述，OD的长为2或6或2
【点睛】
本题考查了二次函数与面积问题，二次函数与矩形问题，二次函数中线段求和极值问题，二次函数与等腰三角形问题，综合难度较大，需要掌握二次函数多种类型问题解法，是一道很好的压轴题．
16．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，点是抛物线上的一个动点.

（1）求这条抛物线的表达式；
（2）若点是点与点之间的抛物线上的一个动点，过点向轴作垂线，交于点，求线段长度的最大值；
（3）当点移动到抛物线的什么位置时，使得，请求出此时点的坐标.
【答案】（1）（2）线段最大为.（3）为或
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；（2）推出.再求函数的最值；（3）分两种情况分析：①点在轴右侧，作轴交抛物线于点，解方程组，求P的坐标；②点在轴左侧，解方程组，求P的坐标；
【解析】
解：（1）∵过点，，
，
∴.
∴抛物线表达式为.
（2）如图，
∵，，
∴直线为：，
设，则.
∴

.
∴当时，最大，，
∴线段最大为.
（3）如图，
①点在轴右侧，
作轴交抛物线于点，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴直线为：，
∴，
∴，
∴.
②点在轴左侧，
∵，，
∴，
∴，
∴直线为，
∴，
∴，
∴，
综上为或.

【点睛】
考核知识点：二次函数的综合运用.数形分析，分类讨论问题是关键.
17．如图．直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），与直线y＝﹣交于点B（n，1）．
（1）求k，b，n的值；
（2）将抛物线y＝x2平移，使其顶点在直线y＝﹣上移动，移动后的抛物线的对称轴为x＝h．
①若h＝﹣1，则此时抛物线的解析式为　 　；
②当抛物线与线段OB有公共点时，求h的取值范围．

【答案】（1）k＝﹣，b＝2，n＝﹣2（2）①y＝（x+1）2+②﹣2≤h≤
【解析】
【分析】
（1）将点B坐标代入直线y＝﹣，求出n的值；再将点A、点B坐标代入y＝kx+b，求出k，b．从而得出答案；
（2）①写出平移后的解析式，且知顶点在直线y＝﹣上移动，可以把h＝﹣1分别代入直线y＝﹣和平移后的抛物线解析式，即可求解；
②写出平移后的解析式表示为：y＝（x﹣h）2﹣，分别代入线段OB的端点O和B，即可求解．
【解析】
解：（1）∵直线y＝﹣过点B（n，1），
∴1＝﹣，
∴n＝﹣2；
∵直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，2），
∴将A（0，2），B （﹣2，1）代入y＝kx+b得
∴
故k＝﹣，b＝2，n＝﹣2．
（2）①∵将抛物线y＝x2平移，移动后的抛物线的对称轴为x＝h，
∴若h＝﹣1，则设平移后的解析式为y＝（x+1）2+m，
又因为顶点在直线y＝﹣上移动，
∴m＝，
此时抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+，
故答案为：y＝（x+1）2+，
②移动后的抛物线的对称轴为x＝h，顶点在直线y＝﹣上，则其顶点坐标为（h，﹣），
∴平移后的抛物线的解析式可表示为：y＝（x﹣h）2﹣，
当抛物线过点O（0，0）时，将（0，0）代入得＝0，
∴h1＝0（舍），；
当抛物线经过点B时，将B（﹣2.1）代入y＝（x﹣h）2﹣得
，
解得h3＝﹣2，（舍）．
综上，当抛物线与线段OB有公共点时，h的取值范围为：﹣2≤h≤．
【点睛】
本题考查了直线解析式的求法，同时还考查了抛物线平移的解析式表达方式，以及线段与抛物线有交点的取值范围问题，综合性较强，难度较大．
18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式．
（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为D．探究：是否存在点Q，使得四边形MNDC是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，请直接写出点E的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，由点Q的坐标可得出点M，N的坐标，进而可得出MN的长度，结合点C的坐标可得出MC的长度，由菱形的性质可得出MN＝MC，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值（取正值），进而可得出点Q的坐标；
（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，利用面积法可求出点O到直线BC的距离，结合EF＝可得出点P1为线段OC的中点，进而可得出点P1的坐标，由CP1＝CP2可得出点P2的坐标，结合BC的解析式可求出直线EP的函数表达式，联立直线EP和抛物线的函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点P的坐标．
【解析】
解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+c（k≠0），
将B（4，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：
，解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3．
∵点Q的坐标为（m，0），
∴点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（m，﹣m2+m+3），
∴NM＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
∵四边形MNDC是菱形，
∴MN＝MC．
∵点C的坐标为（0，3），
∴CM＝，
∴﹣m2+3m＝m，
解得：m1＝0（舍去），m2＝，
∴点Q的坐标为（，0）．
∴存在点Q（，0），使得四边形MNDC是菱形．
（3）过点E作EP∥直线BC，交y轴于点P，这样的点P有两个，记为P1，P2，如图2所示．
∵OB＝4，OC＝3，
∴BC＝＝5，
∴点O到直线BC的距离为．
∵以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF＝，
∴点E到直线BC的距离为，
∴点P1为线段OC的中点，
∴点P1的坐标为（0，）．
∵CP1＝CP2，
∴点P2的坐标为（0，）．
∵直线BC的函数表达式为y＝﹣x+3，
∴直线EP的函数表达式为y＝或y＝﹣．
联立直线EP和抛物线的函数表达式成方程组，得：或，
解得：，，，，
∴点E的坐标为（2﹣），（2+），（2﹣）或（2+）．


【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、解一元二次方程、平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用菱形的性质，找出关于m的一元二次方程；（3）利用面积法结合平行线的性质，求出直线EP的解析式．
19．已知抛物线经过和两点，与轴交于点，点为第一象限抛物线上一动点，

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，交于点，当时，求出点的坐标；
(3)如图2，点的坐标为，点为轴正半轴上一点，，连接，是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】
【分析】
（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，即可求解；
（2）S△CPD：S△BPD=1：2，即CD：BD=1：2，则，即可求解；
（3）因，和，可求得，则直线EP的表达式为：y=x-1，即可求解．
【解析】
解：(1)将和代入得：

解得：
∴抛物线的解析式为：.
(2)作轴，垂足为，

∵
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴直线为：，
由得：
(3)设交轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴直线为：，
由得：，
∵点在第一象限，
∴.

【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等知识点，难度不大．
20．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣4与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为 D．
（1）求出A、B两点的坐标；
（2）连接AC，点P为第四象限抛物线上的一个动点，P的坐标为P（t，p），四边形ACPB面积为S，求S与t的函数关系式，并求t为何值时，S最大？
（3）在（2）的基础上，若点M为抛物线上的一个动点，在抛物线对称轴上是否存在这样的点N，使以A、M、P、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出满足条件的M，N点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）当t＝时，S有最大值8；（3）存在，满足题意的M、N点的坐标可以为，，或，或，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）令函数因变量y=0，即可直接求出抛物线与x轴两个交点A、B的坐标．
（2）利用面积割补法表示四边形ACPB的面积，将表达式化为抛物线顶点式即可求解．
（3）依题意并根据数形结合的思想建立数学模型，分析如图，求解即可．
【解析】
解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣4与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），
∴令y＝0，则x2﹣x﹣4＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣，
∴A（﹣，0），B（2，0）；
（2）如右图1，

连接OP，PB．
由抛物线y＝x2﹣x﹣4可知，C（0，﹣4），
点P为第四象限抛物线上的一个动点，P的坐标为P（t，p），
∴p＝﹣t2+t+4
∵S＝S△AOC+S△POC+S△POB，
∴S＝××4+×4•t+×2•（﹣t2+t+4）＝﹣t2+4t+6＝﹣（t﹣）2+8，
∵﹣＜0，
∴当t＝时，S有最大值8，
（3）存在．
∵当t＝时，S有最大值，此时P（，﹣4），
①如右图2，

当AP为平行四边形的边且M在对称轴左侧时，则有MN∥AP，且MN＝AP，过P作平行于y轴的直线，交x轴于点Q，作MR垂直于过点N且平行于x轴的直线，垂足为R，连接AR，QN．过M作MS垂直于抛物线对称轴于点S．
易证明四边形ARNQ为平行四边形．
∵A（﹣，0），Q（，0），
∴AQ＝NR＝MS＝2，
设M（m，m2﹣m﹣4）．
∵对称轴为x＝，
∴．
∴M点的横坐标为（舍去）或
代入抛物线y＝x2﹣x﹣4得，y＝，
∴当M在对称轴左边时，坐标为．
yN＜yM，此时yM﹣yN＝yA﹣yP，即﹣yN＝0﹣（﹣4）．
解得，yN＝﹣．
∴此时N点坐标为（，﹣）．
如右图3，

当M在对称轴右侧时，则有MN∥AP，且MN＝AP，过P作平行于y轴的直线，交x轴于点Q，作MR垂直于抛物线对称轴直线于点R，垂足为R，
同理易得M点坐标为．
此时yN＞yM，此时yN﹣yM＝yA﹣yP，即yN﹣＝0﹣（﹣4），
解得，yN＝．
∴N点坐标为．
②如右图4，

当AP为对角线时，过M作平行于y轴的直线，过P作平行于x轴的垂线，交于点Q，此时P到Q点的距离等于A到对称轴的距离，为．
∴t＝
∴M的横坐标为﹣．
当x＝﹣，yM＝（﹣）2﹣×（﹣）﹣4＝﹣．
∴此时M点坐标为，
由平行四边形的中心对称性，易得N到x轴的距离等于MQ．
∴N．
综上所述，满足题意的M、N点的坐标可以为，，或，或．
【点睛】
本题考查了二次函数用待定系数法设点的坐标，并利用数形结合的思想建立数学模型求解问题的能力．
21．定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线．
概念理解：
（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线；
问题探究：
（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；
应用拓展：
（3）将抛物线y1＝﹣x2+2x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．

【答案】（1）详见解析；（2）y＝或y＝；（3）当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）．
【解析】
【分析】
（1）由Rt△ABC中AD是斜边BC的中线可得AD＝CD，由抛物线对称性可得AD＝AC，即证得△ACD是等边三角形．
（2）设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得△EFG是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标．由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式．
（3）根据题意求出抛物线y2的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边△PMN，所以当△PMN翻滚时，每3次为一个周期，点P回到x轴上方，且横坐标每多一个周期即加6，其规律为当翻滚次数n能被3整除时，横坐标为： +n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此时点P坐标．
【解析】
解：（1）证明：∠BAC＝90°，点D是BC的中点
∴AD＝BD＝CD＝BC
∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点
∴AD＝AC
∴AD＝AC＝CD
∴△ACD是等边三角形
∴以A为顶点与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线．
（2）∵E（1，0）且EF＝2，点F在x轴上且E在F的左边
∴F（3，0）
∵一条经过x轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G
∴△EFG是等边三角形
∴xG＝
①当G（2，）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+
把点E（1，0）代入得：a+＝0
∴a＝﹣
∴y＝﹣（x﹣2）2+
②当G（2，﹣）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣
把点E（1，0）代入得：a﹣＝0
∴a＝
∴y＝（x﹣2）2﹣
综上所述，这条抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣
（3）∵抛物线y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12
∴y1向下平移9个单位后得抛物线y2＝﹣（x﹣）2+3
∴P（，3），M（0，0），N（2，0）
∴PM＝MN＝PN＝2
∴△PMN是等边三角形
∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P1（4，0），第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻滚得P3（7，3）
即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为： +n×2＝（2n+1）
∵2019÷3＝673
∴（2×2019+1）×＝4039
∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039，3）．
【点睛】
本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN每3次翻滚看作一个周期，点P对应点坐标的特征，是规律探索的典型题．
22．如图，直线与轴，轴分别交于点，经过点的抛物线与轴的另一个交点为点，点是抛物线上一点，过点作轴于点，连接，设点的横坐标为.

求抛物线的解析式；
当点在第三象限，设的面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值及此时点的坐标；
连接，若,请直接写出此时点的坐标.
【答案】（1）；（2）当时，存在最大值，最大值为，此时点D的坐标为； （3）点的坐标为或.
【解析】
【分析】
（1）先利用一次函数求出点A的坐标，再用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先用含m的式子表示出点D的坐标及DF的长，进而求出与的函数关系式，根据顶点式即可得出答案；
（3）由题可知△ OBC与△ EAD相似，根据根据的性质即可得出答案.
【解析】
解：（1）在中，令，得，
点的坐标为，
将点,代入中，得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）如图，设交直线于点，

点的横坐标为，
则点的坐标为，
，
，
，
抛物线开口向下，
当时，存在最大值，最大值为，
当时，，
此时点的坐标为；
（3）点的坐标为或.
【点睛】
本题是一道二次函数综合题.综合运用所学知识是解题的关键.
23．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）求线段AC的长度；
（2）若点P在抛物线上，点P位于第二象限，过P作PQ⊥AB，垂足为Q．已知PQ＝，求点P的坐标．

【答案】（1）线段AC的长是4；（2）点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
【分析】
（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可得到点A的坐标，进而求得函数解析式，再令y=0，即可得到点C的坐标，从而可以得到线段AC的长；
（2）根据点A和点B的坐标可以得到直线AB的函数解析式，然后根据二次函数的性质和平行线的性质，可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解析】
（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与y轴交于点B，且OA＝OB，
∴点B的坐标为（0，3），∴OB＝OA＝3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），∴0＝﹣（﹣3）2+b×（﹣3）+3，解得，b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+3）（x﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
∴点C的坐标为（1，0），∴AC＝1﹣（﹣3）＝4，
即线段AC的长是4；
（2）∵点A（﹣3，0），点B（3，0），
∴直线AB的函数解析式为y＝x+3，
过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，
设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则点D的坐标为（m，m+3），
∴PD＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵PD∥y轴，∠ABO＝45°，
∴∠PDQ＝∠ABO＝45°，
又∵PQ⊥AB，PQ＝，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PD＝＝2，∴﹣m2﹣3m＝2，解得，m1＝﹣1，m2＝﹣2，
当m＝﹣1时，﹣m2﹣2m+3＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2﹣2m+3＝3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．

【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有　     　个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣x﹣，顶点坐标（，﹣）；（2）PB+PD的最小值为；（3）①5;②取值范围是
【解析】
【分析】
二次函数的表达式有三种方法，这题很明显可以用顶点式以及交点式更方便些；这一题根据边的关系得出∠ABO=30°非常重要，根据在直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半把所要求的边转化，再根据点到直线垂线段最短求得最小值；第三问ABMN组成菱形，只有AB是定点，所以要讨论AB是邻边还是对角线；最后一问与圆的知识相结合，有一定的难度，主要根据∠ABO=30°，AB=2是定值，以AB的垂直平分线与y轴的交点为圆心F，以FA为半径，则弧AB所对的圆周角为60°，与对称轴的两个交点即为t的取值范围.
【解析】
（1）方法一：设二次函数的表达式为，B（0，-）代入解得
∴
∴顶点坐标为
方法二：也可以用三点式设代入三点或者顶点式设代入两点求得．
如图，过P点作DE⊥AB于E点，由题意已知∠ABO=30°.
∴
∴
要使最小，只需要D、P、E共线，所以过D点作DE⊥AB于E点，与y轴的交点即为P点.
由题意易知，∠ADE=∠ABO=30°，,


①若A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，分两种情况，由题意知，AB=2，
若AB为边菱形的边，因为M为抛物线对称轴上的一点，即分别以A、B为顶点，AB的长为半径作圆与对称轴的交点即为M点，这样的M点有四个，如图
若AB为菱形的对角线，根据菱形的性质，作AB的垂直平分线与对称轴的交点即为M点.
综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个.

②如图，作AB的垂直平分线，与y轴交于F点．

由题意知，AB=2，∠BAF=∠ABO=30°，∠AFB=120°
∴以F为圆心，AF的长为半径作圆交对称轴于M和M'点，则∠AMB=∠AM'B=∠AFB=60°
∵∠BAF=∠ABO=30°，OA=1
∴∠FAO=30°，AF==FM=FM'，OF=，过F点作FG⊥MM'于G点，已知FG=
∴，又∵G
∴M（，M'
∴
方法二：设M，M到点F的距离d=AF=也可求得．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定解析式，学会利用垂线最短解决实际问题中 的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题.
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) 二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；(2) △ADE的面积取得最大值为；（3）点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）先求出直线的解析式为，作轴，延长交于点，设，则，，根据可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案；
（3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线，据此设，由，知，，，再分，及三种情况分别求解可得.
【解析】
解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，
∵过点A（﹣3，0），E（0，1），
∴，
解得：，
∴直线AE解析式为，
如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，

设D（m，m2+2m﹣3），则F（），
∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，
∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF
＝×DF×AG+DF×OG
＝×DF×（AG+OG）
＝×3×DF
＝（﹣m2﹣m+4）
＝﹣m2﹣m+6
＝﹣（m+）2+，
∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为．
（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设P（﹣1，n），
∵A（﹣3，0），E（0，1），
∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，
①若AP＝AE，则AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，
∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；
②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣1）；
③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，
∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；
综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．
【点睛】
本题是二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形的面积，二次函数的性质及等腰三角形的判定和分类讨论思想的运用等知识点.
26．已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．
（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；
（3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析;(2) 综上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)见解析.
【分析】
（1）证，可以证明它们所在的三角形全等，即证明：；已知的条件有：，，只需再找出一组对应角相等即可，通过图示可以发现、是同角的余角，这两个角相等，那么证明三角形全等的全部条件都已得出，则结论可证；
（2）点在轴上运动，那么就需分三种情况讨论：
①点在轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明、全等，那么得到的条件是，然后用表示、的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时的值，要注意的正负值的判断；
②点在线段上时；由于、都小于等于正方形的边长（即、），所以只有时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出的值；
③点在点的右侧时；方法同①；
（3）这道题要分两种情况讨论：
①线段为平行四边形的对角线，那么点、关于的中点对称即两点的纵坐标互为相反数，而，即、的横坐标相同，那么先用表示出点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定的值；
②线段为平行四边形的边；先用表示出的长，把点向左或向右平移长个单位就能表达出点的坐标，代入抛物线解析式后即可得到的值.
【解析】
（1）证明：∵OD⊥AH，
∴∠OAP＝∠DOC＝90°﹣∠AOD；
正方形OABC中，OA＝OC＝4，∠AOP＝∠OCD＝90°，即：
∵，
∴△AOP≌△OCD
∴OP＝CD．

（2）解：①点P在x轴负半轴上时，P（t，0），且t＜0，如图①；
∵在Rt△AOP中，OH⊥AP，
∴∠POH＝∠PAO＝90°﹣∠APO；
又∵∠POH＝∠COD，
∴∠COD＝∠PAO；
在△AOP与△OCD中，
∵，
∴△AOP≌△OCD；
∴OP＝CD＝﹣t，则：BD＝BC+CD＝4﹣t；
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：
，得：，
解得：或（正值舍去）；
②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；
因为OP＜OA、BD＜AB、OA＝AB，
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：，所以OP＝BD，即：
t＝4﹣t，t＝2；
③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；
同①可求得；
综上，t1＝2，，．
（3）解：假设存在符合条件的点Q，分两种情况讨论：
①PC为平行四边形的对角线，则QP∥CD，且QP＝CD；
若P（t，0）、D（4，t），则Q（t，﹣t），代入抛物线中，得：
，即：t2﹣10t﹣24＝0，
解得：t1＝﹣2，t2＝12；
②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且QD＝PC；
若P（t，0）、D（4，t），则 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）；
Q（t，t）时，，即：t2+2t﹣24＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6；
Q（8﹣t，t）时，，即：t2﹣6t+8＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝2．
综上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2．
∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．

【点睛】
此题是二次函数与几何的综合题，主要涉及了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质、平行四边形的特点等重点知识；题目解题的思路并不复杂，但难度在于涉及的情况太多，需要分情况逐一进行讨论，容易漏解.
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．

【答案】（1）点A坐标为（4，0）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）m＝2或1+或1﹣．
【分析】
(1)直线y=﹣x+2中令y=0，即可求得A 点坐标；
(2)将A、C坐标代入，利用待定系数法进行求解即可；
(3)先求出BD的长，用含m的式子表示出MQ的长，然后根据BD=QM，得到关于m的方程，求解即可得.
【解析】
(1)令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，
所以点A坐标为：(4，0)；
(2)把点A、C坐标代入二次函数表达式，得
，
解得：，
故：二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
(3)y=﹣x+2中，令x=0，则y=2，故B(0，2)，
y＝x2﹣x﹣2中，令x=0，则y=-2，故D(0，-2)，
所以BD=4，
设点M(m，﹣m+2)，则Q(m，m2﹣m﹣2)，
则MQ=|(m2﹣m﹣2)-(﹣m+2)|=|m2﹣m﹣4|
以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，
则：MQ＝BD＝4，
即|m2﹣m﹣4|=4，
当m2﹣m﹣4=-4时，
解得：m＝2或m＝0(舍去)；
当m2﹣m﹣4=4时，
解得m＝1±，
故：m＝2或1+或1-．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，平行四边形的性质，解一元二次方程等内容，综合性较强，熟练掌握相关内容并运用分类讨论思想是解题的关键.
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；
(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，可以求得该抛物线的解析式，然后将函数解析式化为顶点式，从而可以得到该抛物线的顶点坐标，即点D的坐标；
（2）根据题意和点A和点D的坐标可以得到直线AD的函数解析式，从而可以设出点P的坐标，然后根据图形可以得到△APE的面积，然后根据二次函数的性质即可得到△PAE面积S的最大值；
（3）根据题意可知存在点Q使得四边形OAPQ为平行四边形，然后根据函数解析式和平行四边形的性质可以求得点Q的坐标．
【解析】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，
∴ ，得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝，
即△PAE面积S的最大值是；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，
∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴，
解得，或（舍去），
当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
29．如图，二次函数y=ax2-2ax+3(a≠0)的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中AB=4，连接BC．
（1）求二次函数的对称轴和函数表达式；
（2）若点M是线段BC上的动点，设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，求线段MN的最大值．
（3）当0≤x≤t，则3≤y≤4，直接写出t的取值范围；

【答案】（1）x=1,y=-x2+2x+3；（2）当m=时，线段MN的最大值是；（3）1≤t≤2.
【解析】
【分析】
(1) AB=4，先求函数对称轴，再根据对称轴得到函数解析式（2）要求MN的最大值，根据MN平行y轴得到MN的长度即可得到结果（3）当0≤x≤t，3≤y≤4根据图象求出t的范围.
【解析】
（1）直线，由轴对称性可知，A（-1,0）
∴    ∴a=-1
∴
(2)
MN=

当m=时，线段MN的最大值是；
（3）
【点睛】
此题重点考察学生对二次函数的应用，掌握函数解析式及函数图象性质是解题的关键.
30．如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:．
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数解析式确定D（3，0）；A（3，0），则可判断△OAD为等腰直角三角形，再计算出AB＝2得到B（1，0），然后利用待定系数确定抛物线解析式；
（2）作CH⊥x轴，如图1，先利用二次函数的性质得到C（3，﹣1），再判断△ACH为等腰直角三角形得到∠CAH＝45°，AC＝，则∠CAQ＝∠DAB，根据相似三角形的判定方法，当时，△AQC∽△ADB，即，当 时，△AQC∽△ABD，即，然后分别求出对应的AQ的值，从而得到对应的Q点的坐标；
（3）作PE⊥AD于E，如图2，利用相似三角形的性质得到MN＝MP，设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），所以MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3），根据二次函数的性质，当x＝时，MP有最大值，则MN的最大值为，接着确定PE的最大值为，然后根据三角形面积公式计算出△MPN的面积的最大值．
【解析】
解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），
∵OD＝OA，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴AD＝3，
∵，
∴AB＝2，
∴B（1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；
（2）作CH⊥x轴，如图1，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴C（2，﹣1）
∴AH＝CH＝1，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，AC＝，
∵△OAD为等腰直角三角形，
∴∠DAO＝45°，
∵∠CAQ＝∠DAB，
∴当时，△AQC∽△ADB，即，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；
当时，△AQC∽△ABD，即，解得AQ＝，此时Q（，0）；
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（，0）；
（3）作PE⊥AD于E，如图2，
∵△MPN∽△ABD，
∴，
∴MN＝MP，
设P（x，x2﹣4x+3），则M（x，﹣x+3），
∴MP＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，MP有最大值，
∴MN的最大值为＝，
∵∠PME＝45°，
∴PE＝PM，
∴PE的最大值为×＝，
∴△MPN的面积的最大值为××＝ ．