2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第6讲.平移和几何最值问题（含答案）

         “最值”动物

本讲内容主要分为三个题型，题型一为平移，主要是使相等或有特殊关系的线段通过平移构造到同一三角形或四边形中，本题型中探讨的例1主要是过中点平移，在本讲起承上启下的作用，既可以做上讲的总结，也可以引入本讲题型一；题型二的面积问题可以与多个知识点进行综合，本讲的侧重点主要在于思路导航中的几组面积之间的等量关系，题目较为灵活，综合性强；最后是题型三——最值问题，主要是“将军饮马”模型在四边形部分的应用，同学们做起这部分题应该有一种得心应手的感觉，题目难度不大，主要在立体图形展开图部分，老师需要重点强调要注意分类讨论．

本讲的最后一部分是2013年清华附中期末考试真题，本题实质为寻找三角形的费马点，而找费马点的过程即为旋转的过程，其旋转角为60°，而60°旋转不论是在三角形还是四边形中都为常考内容，需要同学们熟练掌握．此题在题干部分已提示作法，并通过⑴⑵两问进行了逐步引导，具有很强的可操作性和训练价值．

若，并相交，平移与共顶点，会出现平行四边形和等腰；

若，无交点，平移与共顶点，同样会产生平行四边形和等腰．

【引例】       如图所示，为等边三角形，是内任一点，，，，若的周长为12，则等于多少？

【解析】       过F作，过D作

∵，，

∴四边形FPEN和四边形MDPF是平行四边形

∵△ABC是等边三角形

∴

∴△AFN和△MBD是等边三角形

∴PF=MD=MB,PE=FN=AF,PD=FM    

∵等边周长为12

∴PF+PD+PE=BM+MF+AF=AB=4

【铺垫】       在中，，点为所在平面内一点，过点分别作交于点，交于点，交于点．如图1，若在边上，此时，可得结论：

⑴ 当点在内部，如图2，上述结论是否成立？请写出你的结论并证明．

⑵ 当点在外部，如图3， 题中的结论还成立吗？直接写出你的结论，不用证明．

【解析】       ⑴结论不变，仍为

⑵ 结论变化了，为

两问均可过点作交于点，得到平行四边形和等腰△．

【例1】         如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始

终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为(    )

A．     B．     C．     D．

（2013年八中期中）

..

【解析】如图，B

【例2】         一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形． 请解答下列问题：

⑴ 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

⑵ 探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．   

                        （北京中考）

【解析】       ⑴ 矩形或正方形或等腰梯形．

⑵ 结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

已知：四边形中，对角线、交于点，，且

求证：．

证明：过点作，在上截取，使，连接、．

故，四边形是平行四边形．

所以是等边三角形，．

所以．

①当与不在同一条直线上时（如图1），

在中，有．

所以．

②当与在同一条直线上时（如图2），

则．

因此．

综合①、②，得．

即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．

【探究】平移的辅助线构造方法

【探究一】平移共端点

1. 两线段相交有交点

【变式1】如图，，，，，则线段的长为       ．

【解析】如图，3．

2. 两线段相交无交点

【变式2】如图，，，，，则线段的长为       ．

【解析】如图，．

3. 过中点平移

如例1

【探究二】平移使重合

1. 平行

【变式3】已知平行四边形对角线上有点，连接、，且，求证：

平行四边形是菱形．

【解析】如图，四边形为等腰梯形，对角线相等可得．

2. 共线

【变式4】在凸四边形ABCD中，∠BAD + ∠CBA ≤ 180°，点E、F为边CD上的两点，

且DE = FC．求证：AD + BC ≤ AE + BF．

【解析】 利用平移，如图(1)，将△ADE沿着DC的方向平移，使得DE和FC重合得到△GFC，

故AD + BC = GF + BC，AE + BF = GC + BF，可证AD + BC ≤ AE + BF .

上图中的面积关系依次是：；；；；

；

【例3】         ⑴如图，、、三点共线，分别以、为边向直线同侧作正方形和，若AB=a，BC=b，则△ADF的面积        ．                  （十一学校期中）

⑵如图，在矩形中，过上一点分别作矩形两边的平行线和，那么图中矩形的面积，矩形的面积         ．  

【解析】       ⑴ 连接，可知，∴

⑵∵，，，

∴．

【例4】         如图，矩形内有一点．

求证：⑴ ；

⑵ ．

【解析】       ⑴ 如图1，过点作，分别交、于点、．

，

同理可证．

 ⑵ 方法一：如图1，在、、、中

，，，

∵，，∴．

方法二：如图2，过点作且，连接、．

可知四边形、是平行四边形

∴，，∵

∴利用任意对角线垂直的四边形的对边平方和相等的结论可得

，即．

【备选】如图，当点在矩形外时，S△BPC、S△PAD、S△PAB、S△PCD有什么关系？AP2、CP2、BP2、DP2 又有怎样的数量关系？

【解析】       ，

，

证明方法同例题4

【例5】         正方形ABCD边长为2，若P为BC边上任意一动点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为F、G、E，请求出DE+CG+BF的最值，并说明理由．

【解析】     

，

，

∵，

∴．

最值问题主要是利用三大变换实现线段的集散，解题核心思想：①两点之间线段最短；②点到直线之间垂线段最短；③三角形两边之和大于第三边．

【例6】         ⑴ 如图1所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（     ）

A．        B．        C．         D．

⑵ 如图2，边长为6的菱形中，，、分别为、边上的动点，则的最小值为     ．                         （人大附期中）

⑶ 如图3，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ）

A．       B．       C．       D．

图1                                图2                       图3

【解析】       ⑴  A．分析：．

⑵ ，如图，将点对称到点，过点作垂线，垂足即为，    

交于点．．

⑶ 先把问题转化成平面上两点间线段最短问题．故需要把长方体的

表面展开，有三种可能：

①       按右上展开

②       按右前展开

③       按后上展开．

综上，选B．

【例7】         如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．

⑴证明：

⑵当点在何处时，的值最小，并说明理由；

⑶当的最小值为时，则正方形的边长为        ．

(2013清华附期末)

【解析】       ⑴∵是等边三角形，∴，.

∵，∴，即.

又∵，∴（SAS）

⑵如图，连接，当点位于与的交点处时，的值最小．

理由如下：连接，由⑴知，

，∴.

∵，，

∴是等边三角形，∴.

∴

根据“两点之间线段最短”，得最短

∴当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长

⑶正方形的边长为  

过点作交的延长线于，∴90°－60°＝30°.

设正方形的边长为，则，.

在中，∵，∴

解得，（舍去负值）.∴正方形的边长为

【分析】本题实质为寻找三角形的费马点，而找费马点的过程即为旋转的过程，其旋转角为60°，而60°旋转不论是在三角形还是四边形中都为常考内容，需要同学们熟练掌握．此题在题干部分已提示作法，并通过⑴⑵两问进行了逐步引导，具有很强的可操作性和训练价值，程度好的班级可适当拓展费马点的相关知识点．

训练1.        如图，在中，，点在上，且，在上，且，与相交于．求证：．

【分析】       由45°角想到等腰直角三角形，所以平移使其过点或点，或者平移使其过点或点，将离散的线段集中在特殊三角形中，就能解决问题．

【解析】       方法一：如图1，分别过、作、的平行线相交于点，连接，可得到弦图模型的全等、平行四边形以及等腰直角三角形，从而可证

方法二：如图2，分别过点、点作平行线，可得、平行四边形、

等腰直角三角形．从而可证．

方法三四：如图3，4，分别过、点作平行线．从而可证．

训练2.        已知：如图1，为边长为2的等边三角形，、、分别为、、中点，连接、、．将向右平移，使点与点重合；将向下平移，使点与点重合，如图2．

⑴设、、的面积分别为、、，则      （用“、、”填空）

⑵已知：如图3，，，设、、

的面积分别为、、；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【解析】       ⑴ ．

⑵ 结论成立．证明：如图，延长到使，

延长到使，连接．

∵，

，，

∴是等边三角形．

∵，∴．

在上取点，使．

∵，

，∴．

在和中，

∴．同理可证：，∴，．

由图形可知：，

∴，即．

训练3.        如图，中，，、是、上的点且．求证：．

【分析】       方法一：通过构造平行四边形把和平移成共顶点的线段（如上图，作中位线，利用斜边大于直角边）．

方法二：通过构造平行四边形平移，使得和共顶点．

【解析】       下面写出方法二的解析：（如下图2）

过点作，且，连接、．

∴，

又∵

∴

∴    ∴

即，当且仅当为的中位线时，取到等号．

另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．

训练4.        如图⑴，四边形中，若，则必然等于．

请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形中取一点，使得，求证：．

【分析】       此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若和，位置为时可得出和相等（本质为四点共圆）．图⑵中，与关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使与成形，我们可有如下四种方法．

【解析】       分别过点、作，，交于点，连接．

∵，

∴，，，

∵，    

∴，

∴四边形为平行四边形    

∴

∵      

∴≌

∴

在四边形中，

∴    

∴

题型一   平移 巩固练习

【练习1】如图，将一块斜边长为12cm，的直角三角板，

绕点沿逆时针方向旋转90°到的位置，再沿   

向右平移，使点刚好落在斜边上，那么此三角板向右

平移的距离为__________．

【解析】         ．

题型二   面积 巩固练习

【练习2】如图，□ABCD中，、交于点，作□，连结交于点，作□，连结交于点，……，以此类推．若，，，则□的面积是               ．

（2013人大附期中）

【解析】      

【练习3】⑴如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；

⑵若点E在BC的延长线上，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、ＣH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

                       图1

【解析】       ⑴证明：过E点作EN⊥CH于N．

∵EF⊥BD，CH⊥BD，

∴四边形EFHN是矩形．

∴EF=NH，FH∥EN．

∴∠DBC=∠NEC．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，且互相平分

∴∠DBC=∠ACB． ∴∠NEC =∠ACB．

∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°，

又EC=EC，

∴△EGC≌△CNE．

∴EG=CN．

∴CH=CN+NH=EG+EF  

⑵ 猜想．

题型三   最值问题 巩固练习

【练习4】如图，长方体的边长为2，宽为，高为，蚂蚁从点A沿着正方体

的表面爬到点B，需要爬行的最短距离是       ． （假设下面能爬）

【解析】       前上（后下）两面展开的最短距离一样；

前右（后左）两面展开的最短距离一样；下右（上左）两面展开的最短距离一样．

综上，最短距离为．

【练习5】如图，，点位于内，，点、分别是射线、上的动点，求的最小周长．

【解析】       分别作点关于、的对称点、，连接、、，

显然的周长，

由两点间线段最短，，故的最小周长为，

∵，，∴是等边三角形，∴．